布卢姆教育目标分类学视野下的高中数学教学探析

广东省东莞松山湖未来学校(523000) 蒋美衡

1 问题的提出

长期以来,“如何教”一直是广大一线数学教师教学实践中的第一关切,而对“教什么”的重视和研究却不够.问题是,如果没有“教什么”这一内容的准确把握作为前提,“如何教”无异于空中楼阁.

《普通高中数学课程标准(2017 年版)》提出:在问题解决的过程中,理解数学内容的本质,促进学生数学学科核心素养的形成和发展.章建跃博士也指出:“教师‘四个理解’(理解数学、理解学生、理解教学、理解技术)的水平是提高数学教学质量和效益的决定性因素,“四个理解”是落实数学核心素养的关键[1].”

理解数学,就是要把握数学内容的本质,对显性的知识目标和隐性的能力素养目标都要有准确的掌握,强调的是对“教什么”的研究和界定;理解教学,则是要求教师掌握教学的基本原则,强调的是对“怎么教”的思考.体现在课堂上,就是教师如何根据课程标准,围绕核心素养,准确界定课堂教学目标,设计教学活动,评估教学目标的达成情况.

本文拟基于布鲁姆教育目标分类学(修订版)理论,围绕高中数学课堂教学目标设定、教学活动设计,以及教学成效评估等方面进行探析.

2 布鲁姆教育目标分类学(修订版)

修订版布卢姆原教育目标分类学更关注分类体系的运用,强调在教学目标、活动和测评的应用分类体系以及三者的一致性.

2.1 二维分类框架表

修订版在原来“认知”基础上新增“知识”维度,构成一个二维框架.依照具体到抽象,将知识主要分为事实、概念、程序和元认知四大类别;认知过程是指学习时学生所要达到的学业行为表现,依据认知复杂程度由低到高顺序排列为记忆、理解、应用、分析、评价和创造六大类别,每一个层次的认知要求都与每一种类的知识相互作用,这样就构成了一个二维目标分类框架[1].

表1 布卢姆教育目标(修订版)分类表

2.2 教学目标、活动、评估三者的一致性

修订版强调教学目标、教学活动和教学评测三者的一致性.根据二维目标分类框架,检验时将教学目标、评价方式、学习活动归类放入分类表中,如果一个单元格中同时有这三者,那么教学具有高度的一致性;如果一个单元格中只有这三者中的两者,那么教学的一致性较弱;最坏的情况是目标、教学、评估分别在不同的单元格,那么这就造成了教学的严重不一致性.一致性分析,能帮助教师分析自我教学设计与实施效益.

3 布卢姆分类学(修订版)视野下的教学案例

以高中数学“函数的概念”的教学为案例,具体阐述布卢姆分类学视野下的教学目标、教学活动、教学评估的设计过程.

3.1 明晰教学目标

以二维分类框架为依据,根据教材内容所属知识类型及认知过程要求,以“动词+名词”的形式,对教学目标进行明确清晰的描述.

高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)中明确说明了“函数的概念”的学习目标:

(1)在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.

(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.

(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.

评析目标1 中有三个子目标.目标1.1 是“建立函数的概念”.这里目标中动词是“建立”,即为“理解”,属于认知过程的第二层次,名词“函数的概念”属于概念性知识,目标1.1应该放入分类表B2 单元格.目标1.2 是“了解构成函数的要素”.目标动词“了解”,即为知道,属于记忆层次,名词“函数的要素”则属于事实性知识,目标1.2 应该放入分类表格A1.但是再做进一步分析后发现,了解构成函数的要素并不是要学生机械的记住“定义域、值域、对应关系是构成函数的三要素”这一事实,而是能够在记忆的基础上理解“三要素”,在适当的时候从记忆中提取该知识并进行合理运用,如判断两个函数是否相等.此时“了解”应当归属到“理解”层次,“要素”应当归属到“概念性知识”类别,因此目标1.2 也应该放入分类表格B2.目标1.3“能求函数的定义域”.目标动词是“求”,即为运用,属于认知过程的“应用”层次,名词“函数的定义域”为程序性知识,目标1.3 应该放入分类表格C3 中.

以此类推,目标2 中有两个子目标.目标2.1“选择合适的表示方法”.选择属于“理解”、“运用”层级,“表示方法”属于概念性知识,放入分类表B2、B3.目标2.2“理解函数图象的作用”放入分类表B2.目标3 中有两个子目标.目标3.1“了解分段函数”放入分类表B2、目标3.2“应用分段函数”放入分类表B3.

表2 二维分类框架下的“函数的概念”教学目标分析

3.2 设计教学活动

根据上述确定的目标及其对应的认知要求,设计以下教学活动.

第一天

活动1:回顾旧知识,激活新思考.

活动1.1 自主学习:请写出几个初中学习过的具体函数,并陈述初中函数的定义.

活动1.2 合作探究:y=x和是同一个函数吗?请说明判断的理由.

评析1 活动1.1 回忆初中具体知识,属于A1 单元格;活动1.2 学生暂时无法回答,但引发新的认知冲突,为“对应说”奠定一定基础.目的是帮助学生建立完整函数概念.属于概念理解,放入B2.

活动2:研究教材(人教A 版)四个实例(复兴号列车问题、工人工资问题、北京空气质量指数变化图问题、恩格尔系数表格问题等),组织学生合作探讨回答教科书上的归纳栏目:“上述问题1～问题4 中的函数有哪些共同特征? 由此你能归纳出函数概念的本质特征吗? (教师可以视情况给出如下空表格,以帮助观察共性)”,由四个实例抽象出函数的概念,教师对概念加以解释,明晰函数概念的本质和内涵.

表3 四个案例的共同特征

评析2 在已有知识基础上,通过实例分析比较、归纳、概括出函数的概念,同时为函数“三要素”的提出做好了铺垫.属于概念理解,放入B2.

活动3:学生讨论:为什么说定义域、值域、对应关系称之为函数的三要素呢? 引导学生回看前面四个案例表格,以及函数概念的描述,让学生理解函数是一个整体,它必须具备:两个集合(定义域和值域),一个对应(从定义域到值域的对应).

评析3 分析、理解“三要素”对函数的影响,加深函数概念理解,属于B2.

活动4:概念辨析活动.

活动4.1 判断对应“f”是否是函数.

活动4.2 ①面积S与边长a关系S=a2和②函数y=x2,③函数y=t2是否同一个函数?

评析4 活动4.1 考查对函数概念的理解程度,属于概念运用,放入B3 单元格;并利用函数概念求解函数定义域问题,属于程序性知识的运用,放入C3 单元格.活动4.2 判断函数是否相等,属于概念运用,放入B3 单元格.

第二天

活动5 函数概念相关复习.

(1)y=f(x)与y=f(a)的辨析.

(2)对应关系是否是函数关系(是否是函数图象).

(3)函数定义域求解.

(4)函数相等的判断

评析5 活动5 是活动4 的延续与深化,其目的是通过具体事例,加深对函数概念的理解,以及对求解函数定义域与函数相等的判断.应放在B3 和C3 单元格.

活动6 在实际情境中选择恰当的方法.

教材P67 例题4 用函数的三种表示法表示购买x个笔记本的费用y(元),并分析三种表示方法的优劣.

评析6 不少学生认为表格、图象表示的对应关系不是函数关系,此题的学习有利于帮助学生消除这一误差.让学生意识到三种方式都能表示函数,而且各有特点.解析式是精确的,图象是直观的,表格是直接的,他们各有用处.该题既属于概念知识的运用,也属于概念性知识知识辨析,放入B2、B3.

活动7 分段函数的简单应用.

教材P72 课后练习2 改编.某市“招手即停”公共汽车的票价问题.可在学生完成教材问题后,将线路总里程由具体数量改为xkm,更具一般性.

评析7 从从实际问题情境中抽象出分段函数,再运用分段函数的知识解决更一般性的问题.属于概念理解及运用,放入B2、B3.

3.3 拟定学习评估

评估1:函数概念的理解

1.是否是函数图像的选择.

2.教材P72 习题3.1 2 是否是同一个函数的判断.

3.教材P72 习题3.1 5 函数概念的简单应用.

评估2:求函数的定义域

4.教材P72 习题3.1 1 求列函数定义域.

评估3:函数的三种表示方法

5.已知小明今年前6 个月的收入情况如下:1 月份为1千元;从2 月份起每月的收入是其上一个月的2 倍.用表格、图象、解析式三种形式表示小明1 月份至6 月份的月经济收入y(千元)与月份序号x的函数关系,并指出函数的定义域、值域、对应关系.

评估4:分段函数的简单应用

6.如图,在边长为4 的正方形ABCD的边上有一点P,沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动,设点P运动的路程为x,ΔAPB的面积为y.

(1)求y关于x的函数关系式

(2)画出函数y=f(x)的图像.

3.4 一致性分析

将上述教学目标、教学活动、教学评估分别放入二维分类表对应的位置.如表所示.

表4 二维分类框架下的“函数的概念”一致性分析

从上表可以看出,目标、活动、测评的对应关系非常清楚.B2 概念理解、B3 概念运用、C3 程序性知识运用等三个单元格内,三者均同时出现,一致性程度非常高.在B3 概念运用单元格中,相对目标而言,活动数量较多,原因在于这些活动分布与前后两个课时中,在第二课时活动5、活动6 都有上一节课的延续和深化,在概念运用过程中加深对概念的理解.A1 单元格缺少评估,目标1.2、活动1.1 的一致性不强.目标1.2 是函数三个具体要素的名称,活动1.1 是回忆初中已经学过的具体的函数,这二者关联性不太强.不过对于目标1.2,直接记忆的意义不大,更多体现在对它的理解,在B2 单元格中有很好的一致性体现.

4 布卢姆教育目标分类学理论对数学教学的启示

数十年来,布卢姆教育目标分类学影响巨大,修订版的二维目标分类框架,为一线教师们提供了一套强大的教学工具,来帮助教师进行更专业的教学设计与实施,对高中数学教学具有很重要的启示和指导意义.

4.1 指导教师全面理解和精确设置教学目标

二维目标分类框架将目标分为由低到高的六个层次,能帮助教师根据知识维度不同,针对学情制定更加精确、合理的目标.可以帮助教师从学生角度审视目标,为了达到哪个层级的目标,学生需要掌握哪些知识或技能,是仅仅需要列举“事实性知识”,还是需要了解这些事实内在结构的“概念性知识”等.分类框架还能帮助教师建立起目标中知识与认知过程之间的联系,有利于教师全面考虑目标的确定.

表5 布卢姆教育目标分类学引领教学思考

4.2 指导教师设计合适教学活动,选择最优教学路径

二维目标分类框架中,可以清晰看到不同知识类别应该达到的目标层次.这很有利于帮助教师针对不同维度知识,不同认知层次要求,其采取更具有针对性的教学策略和设计更有效教学活动.比如对于正余弦的降幂公式的学习.按分类框架来分析,这组公式本身属于事实性知识,其目标层次为记忆;同时,这组公式也属于原理和通则的知识,则又归属于概念性知识,其目标层次为理解、运用和分析.如针对事实性知识的记忆层次目标,教师首先应指导学生对比分析两个公式结构、符号等形式的特点,帮助学生认清;其次教师应在当节课,以及下一节课中设计对这两个公式的默写或是抢答等竞赛式活动,强化对这组公式的记忆.

4.3 指导教师深入思考目标、测评和教学活动的一致性

一致性是有效教学的基础.如本文第二部分所阐述,教师可以通过目标、教学、评估在分类表中的位置来分析其一致性,帮助更好进行教学设计或教学分析.目标设计是否过高? 活动是否围绕目标达成? 评估是否指向目标? 用分类表来指导实际教学,有利于教师将教学设计或者教学反思书面化,反过来又可可以更直观地指导教师教学.

结束语

布卢姆教育目标分类法为教师提供了一个用来规划教学、学习和评估的有力工具,构建了一个认知复杂性逐渐上升的体系,反映了学生思维发展的本质.既包含了对“教什么”的深度分析与思考,也包含了对“怎么教”的设计与指导,同时还引导教师对“教的怎么样”、“学的是否有效”等方面进行评估反思和优化.对于教师在一线教学实践中,提高教学效益、发展学生思维、落实核心素养等方面都具有很强的指导意义.