大单元教学视角下章复习课的设计与思考*——以“不等式与不等式组”为例

段振富 ,赖家美

1.福建省福州教育研究院(350005) 2.福建省福州第十六中学(350007)3.福建省福州教育学院附属中学(350004)

《义务教育数学课程标准(2022 版)》以下简称《2022 版课标》明确提出教学要关注整体性和阶段性[1].单元整体教学理念成为落实新课标精神的有效渠道,教师对教学目标设置、教学内容选择、教学过程设计,都进行整体处理与大单元设计,充分关注学生知识生成、思维发展的整个过程.目前在章起始课、章复习课的教学设计方面都有深入的实践,并逐步形成科学的操作流程,对一线教学有明显的帮助和指导.

章复习课要梳理知识脉络,建立知识框架,形成复习体系,使学生从整体视角感受知识发生发展的过程[2].因此章复习课的教学目标设置要既见“树”又见“林”,避免出现教学目标层次低、维度缺失、知识结构化不足等问题.章复习课的例题选择要既能巩固概念又能启发学生思考,在生生互动、师生互动中培养学生自主建构本章知识体系结构图,在大单元视角下如何有效地进行章复习课教学,以使大单元教学理念得以完善,进而实现“育树成林”的目标,是需要深入研究的问题.现以“不等式与不等式组”章复习课(第1 课时)为例,从大单元教学的视角对章复习课的教学设计进行分析.

1 设计思想

“不等式与不等式组”是在一元一次方程、二元一次方程组的内容基础上的类比与延续.本章既是前面所学相关知识的拓展,也是后继学习“一次函数”、“二次函数”相关知识,以及“相等关系与不等关系”、“从函数观点看二元一次方程组、一元二次方程和一元一次不等式”等内容的基础,具有承上启下的作用[3].

章复习课教学设计首先要求教师从课程标准的高度去分析教材的主题(单元)大概念,确定主题(单元)的教学目标,然后在单元(主题)大概念的牵引下,分解单元教学目标,有规划的分配到每个课时的子目标和子任务中,设置问题串和师生的系列活动来达成单元教学目标,使教学从零散的点状结构走向具有前后关联性和系统性的大单元教学.基于此,在进行本章复习课教学设计时,尝试用“函数观点”去认识解一元一次不等式,从“数”与“形”两个方面进行动态分析,以大概念为统领,串联整合知识要点.“不等式与不等式组”章复习课可分为两个课时.第1 课时以夯实本章基础知识为主,整体建构知识体系结构图,从利用不等式的性质解不等式转换到从函数视角认识解一元一次不等式,以函数与方程与不等式的关系、数形有机结合的思想为主线,感悟知识之间的内在联系;第2 课时要体现数学来源于生活最后必须回归到生活中去,解决生活中的最优化问题,以建模思想为主线,深切感受“数学是研究现实世界数量关系和空间形式的一门科学”[4].

2 教学目标

(1)通过绘制思维导图的方式构建不等式与不等式组单元知识体系,体会等式与不等式之间的联系,进一步掌握类比的方法,发展迁移能力.

(2)分别通过自主学习、探究学习、合作学习的方式,对不等式(组)求解过程中的易错点进行纠错训练,分析错因找到解决的办法,达到单元复习补缺补漏的目的.

(3)在解决方程和不等式问题的过程中,从大单元视角、以大概念为牵引渗透方程与函数思想,感悟转化与化归、数形结合等思想,从“掌握数学知识”到“掌握学习数学的方法”,提升学习能力.

3 教学过程

3.1 绘制导图,构建体系

师生活动将学生绘制的思维导图以视频动画形式展示(见图1).重点在体现学生学完章节知识之后,能够由点到线,由线到面的把本章知识进行融会贯通,形成一个有机的整体,最后教师通过投影展示本章知识体系结构图(见图2),目的是为给学生提供一种整体把握本章知识的范式.

图1

图2

设计意图在课前让学生通过回顾与小结自行梳理本章知识,将所学知识融会贯通,绘制成思维导图,构建本章知识体系的框架结构图,培养学生的数学逻辑思维与动手能力.

3.2 互助学习,共同进步

环节1 课前检测,数据分析(见图3)

图3

习题1 解下列方程和不等式,并将不等式的解集表示在数轴上.

习题2 解下列不等式组,并将它们的解集分别表示在数轴上.

设计意图教师通过智学网试卷进行课前检测,借助智学网教师端数据分析学生对解不等式与不等式组的掌握情况,透过数据可以发现这4 道题每题设置25 分,可以发现习题1 两个小题均正确的学生比例为77.8%,习题2 两个小题都做错的占比44.4%,通过这样的数据测试,明确复习方向,从而进行针对性的复习.

环节2 作业点评,归纳小结

练习1 以小组为单位,共同点评以下六位同学的作业(见图4).

图4

设计意图从课前检测练习中针对性的选取6 位同学作业,前5 份作业出错的步骤分别对应解不等式的五个步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,在纠错的过程中巩固解不等式的五个步骤,同学6 是解答工整且正确作业,作为优秀范本.通过生生互动纠错的环节,让学生更加明晰解题时的易错点在哪,这种方式较教师讲解更加印象深刻.最后请学生总结解不等式(组)的易错点,强化对知识点再认识,在表达的过程中也有助于学生内化知识.

3.3 小试牛刀,不断进步

练习2 解下列不等式(组),并将它们的解集表示在数轴上.

设计意图在知识梳理之后,及时巩固纠正错误,提高学生对不等式求解的熟练程度,以及在求解的过程中加深对不等式性质的理解.

3.4 似曾相识,串点成线

师:前面环节我们是利用不等式的性质来求不等式的解集,实际上我们还可以利用平面直角坐标系从图形的角度去认识解一元一次不等式.

练习3 已知二元一次方程2x-y=1.

问题1 完成下表,使上下每对x,y的值是方程2x-y=1 的解:

追问1 ①二元一次方程有多少个解? ②二元一次方程的一组解与上面哪些概念会形成对应关系呢?

问题2 若将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应平面直角坐标系中一个点的横坐标,未知数y的值对应这个点的纵坐标,这样每一个二元一次方程的解就可以对应平面直角坐标系中的一个点,请将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标,在所给的平面直角坐标系中描出这五个点.

设计意图基于已有知识经验,学生能够从“数”的角度理解二元一次方程的解,故该环节的主要教学任务是引导学生将二元一次方程的解与平面直角坐标系内的有序数对建立对应关系,从而在平面直角坐标系中用点的坐标来对应二元一次方程的解,达到“数”与“形”的结合,帮助学生思维从“一维”向“二维”转化,为下文借助平面直角坐标系认识解一元一次不等式做铺垫.

问题3 观察如图5 这五个点的位置,你发现了什么?

图5

追问2 这五个点都在同一条直线上,请思考,这条直线上其它点的坐标是否对应二元一次方程的一组解呢?

追问3 直线外的其它点的坐标呢? 会对应二元一次方程的一组解吗?

追问4 这条直线上的所有点都对应二元一次方程2x-y=1 的解,那是否可以不解方程,从图像直接得到二元一次方程的解?

设计意图问题3 和追问2、追问3 是引导学生将二元一次方程的解与平面直角坐标系内点的坐标建立联系,从而得到结论:“直线上的所有点的坐标都唯一对应二元一次方程的一组解;反之,二元一次方程的所有解对应的点的坐标,形成的图象都是一条直线”,使学生由“数”到“形”地初步感知一次函数.追问4 则是前面环节的逆向思维,让学生经历由“形”到“数”的抽象,通过直线上的点对应二元一次方程的解.通过“数”与“形”的相互转换加深学生对二元一次方程的解的理解,也为接下来借助图像得到不等式的解集埋下伏笔.

问题4 ①在平面直角坐标系中如何表示y=3? ②直线y=3 的上方部分表示什么? 直线y=3 下方部分又表示什么?

追问4 了解了y=3,y＞3,y＜3,那么x＞3 表示的部分在哪里? 你还可以想到什么?

设计意图将学生视线从个体(点)引向整体(线),这对“解集的概念”生成起到了直观引导作用.通过问题层层剖解,学生探究过程中认知从“解的概念”向“解集的概念”生长.教师在讲解过程中,借助希沃白板动态演示,加以色块区分展示,更有助于学生理解(见图6).

图6

问题5 对于二元一次方程2x-y=1,用含x的式子表示y得到:____.

设计意图用函数理解方程和不等式是数学的基本思想,虽然初一的学生还未接触函数,但通过问题引领学生从“数”的角度理解函数就是二元一次方程转换形式而来的,帮助学生建立新旧知识间的桥梁,感受数学知识间的内在联系.

问题6 根据问题5,对于方程2x-1=3,即y____,由图象得到方程的解为____.对于不等式2x-1＞3,即y____,由图象得到不等式的解集为____.对于不等式2x-1＜3,即y____,由图象得到不等式的解集为____.

设计意图前几个问题的铺垫,让学生从方法无序走向有序,逐步感受数形结合思想,学会不解方程、不解不等式,借助平面直角坐标系由“形”找“数”,得到方程的解、不等式的解集,从而达到章复习课的深度学习.

3.5 感悟联系,知识构建

问题7 通过本节课的学习,你能够谈谈函数、代数式、方程、不等式之间的内在联系吗?

师:通过这节课的学习,同学们体验了函数与代数式、方程、不等式之间的内在联系,感悟到数学知识不是孤立的个体,它们之间是相互联系相互转化的.对此,我们用一个结构图来表示本章的知识之间的内在联系(如图7).

图7

设计意图通过板书设计让学生能更加直观的把新、旧知识统一起来,寻找到函数、方程、不等式等知识的内在联系,将知识从点状(散乱型)向网状(紧密型)进行整合,使得学生通过章复习课的学习后,对知识的再认识不仅仅是在原来维度上,而是得到了系统的提升,有助于发展学生从整体上感悟数学的内在联系,领悟数学思想方法.[3]

4 教学思考

4.1 目标落地,教学过程基于目标而设置

章复习课要落实全章的教学目标,要立足于整体,从大单元视角围绕知识的系统性与结构性,把握课堂主线,设置有效问题,引导学生自主构建知识体系.对于章复习课的教学,首先要明确本章学了什么? 如何教会技能? 明确教学目标,教学中每个环节都围绕着目标的落实展开,本节课设计的三个教学活动:思维导图视频展示、学习小组互动纠错、似曾相识串点成线分别对应三个教学目标,通过活动让教学目标落地.

4.2 围绕主体,教学过程基于学情而生成

在章复习课的教学中,教师要“以学生发展为本”,关注“哪些才是本章学习存在的问题”.在授课前对教学班级进行的课前检测结果(见图2)发现学生对不等式组的求解掌握不理想.基于学生实际情况,不等式章复习课教学的第一个重点是强化不等式有关性质的一般概念,对于不等式与方程而言,它们的组成要素可以理解为:左边、右边及关系符号三部分,它们的性质就是在对左、右两边进行加减乘除运算中表现出来的不变的规律.

4.3 关注思维,教学过程基于素养而拓展

在落实了不等式的解法之后,再与方程组建立联系,通过图像寻找不等式的区域问题,以基础知识为载体指向学生思维能力的培养.教学过程中通过演示几何画板,引导学生建立“二元一次方程的一组解”与“平面直角坐标系内的一个点——唯一对应的有序实数对(即点的坐标)”之间的对应关系,帮助学生建立“数”与“形”相互转换的思维,让学生能够由“数”到“形”去重新认识方程与不等式,再从“形”到“数”去求解方程与不等式.

4.4 注重联系,教学过程基于系统而设计

章复习课的教学要注重知识发生发展的过程,把握知识“生长点”与“延伸点”,合理搭建脚手架,帮助学生提升思维,积累有效学习经验.而函数是用来刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型,在八年级“一次函数”的学习中,大部分学生能做到单独理解函数解析式“数”的特征或者函数图像“形”的特征,却难以建立一次函数“数”与“形”的联系,这种将函数“数”与“形”割裂开来会导致后续学习其他函数,学生的识图、用图能力差,数形结合意识薄弱.因此本节课教学的第二个重点是从大单元视角引导学生用函数的观点再认识解不等式与解方程,通过活动三似曾相似串点成线,引导学生从“数”到“形”去认识方程与不等式,再从“形”到“数”去求解方程与不等式.借助问题串层层递进,启发学生思考方程、不等式、函数三者之间的内在关系,感悟其中蕴含的数学思想方法,进而达到知识结构化.

总之,本节课的教学旨在引导学生用联系、发展的眼光去看待函数、方程、不等式这三者之间的联系,充分让学生体验这个学习的过程,感悟数学知识的内在联系,进而使学生对用函数与方程思想解决数学问题产生探究兴趣,也为后续学习一次函数打下良好基础.