数学教学问题情境创设个案问诊与重建*

扬州大学数学科学学院(225009) 王莹 陈算荣

1 引言

数学问题情境是数学知识传播的载体,也是学生从事数学教学活动的环境.《义务教育数学课程标准(2022 年版)》强调教师应帮助学生在探索真实问题情境所蕴含的关系中发现和提出问题,运用学科的知识与方法分析和解决问题[1].可见问题与情境是发展学生核心素养的重要载体,影响着学生的知识建构和思维发展.问题情境教学最早可追溯到古希腊苏格拉底的问题教学法,后来也有许多教育家主张问题情境教学,如杜威提出问题情境教学模式:“设置问题情境—确定问题—拟定解决方案—执行计划—总结与评价”[2].创设合理的问题情境能够激发学生的学习动机,使学生快速进入学习状态,形成高度集中的注意力,有助于教学目标的实现[3].目前,许多中学数学教师致力于问题情境教学的探索,尝试把学生感兴趣的和可以主动探究的学习内容融入到情境创设的相关环节中,为数学教学营造更加轻松愉悦、具有活力的课堂氛围.然而,在教学实践中,发现问题情境创设存在不少问题,下面将借助案例诊断分析的方式阐明问题情境创设的问题所在以及如何改进,以期给一线教师提供教学参考.

2 问题情境创设个案问诊与重建

2.1 问题情境脱离实际背景

荷兰数学教育家弗莱登塔尔认为:“数学来源于现实,必须扎根于现实,并且应用于现实”.与生活实际紧密联系的情境可以较好地激发学生的学习兴趣和热情[4].反之,无实际背景的问题情境则比较枯燥乏味,由于缺乏实际意义,学生无法从中获得积极的情感体验.

案例如在“二分法求方程近似解”的课堂上,某位教师创设如下情境:问题1:你会求方程lgx=3-x的根吗? 问题2:请根据已学的零点定理求出上述方程根的大致范围;问题3:通过阅读教材,你能否进一步缩小零点所在的范围?

分析“问题1”学生能够发现无法利用已有的解方程知识求解,“问题2”教师提出运用零点定理找到根的大致区间,在教师的明示下学生大多能达成要求,但是“问题3”中二分法的引入方式过于直接,采用了强加的方式让学生采用书中介绍的“二分法”,这样的新知导入无法让学生产生积极的学习体验.应设置具体的实际情境,使学生体验和感悟该方法在实际问题解决中的意义.

重建情境1:某商场举办有奖竞猜活动:商家给出洗衣机的价格区间(200-1000 元),在三次内猜中价格的人可获得奖品.某获奖顾客首次猜测600 元,商家回应“高了”,接着猜测400 元,商家回应“低了”,最后猜测500 元,答对并获得了奖品.该顾客是采取怎样的方式实现目的的?

情境2:“观看实验(视频):60 枚金币中有一枚假币,质量较轻,只有一个无砝码的天平,如何用天平测量出假币? 测量方法:①将金币平均分成两份放在天平的两端,每份30枚,假币会在天平较高的那一端;②再把这30 枚金币平均分成两份,每份15 枚,放在天平两端,假币仍会在天平较高的那一端;③照此方法不断重复,假币就能找到,你能解释这个方法的原理吗? 两个情境中的方法有何共同点?

问题3:用我们现在所学的解方程知识,无法求出lgx=3-x的根,你能用已有知识获得其根所在的区间吗? 当我们知道根所在区间,能否借鉴上面案例中的方法获得根的近似值呢?

设计意图通过这两个情境,让学生从生活问题的解决中获得二分法,并感受其应用价值.接着再给出“问题3”,学生在已学零点定理的基础上能够求出方程lgx=3-x的根所在区间(1,3),借鉴前面两个情境中的解决方法,利用二分法去缩小根的区间就水到渠成.

2.2 问题情境与新知学习关联牵强

激发学生的学习兴趣是问题情境设计和选择的策略和目标[5].而许多问题情境没有激起学生对新知的渴望,学生学习的动机不强烈.

案例如在“弧度制”的课堂上,某教师创设如下情境:中国上海到日本长崎大约850 公里,两国之间隔着东海,也可以说中国到日本长崎大约460 海里(1 海里=1.852 公里).所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是海里制.我们已经学习了角度制,思考是否还有其他关于角的度量制度呢?

分析《普通高中数学课程标准(2017 版)》在教学与评价案例部分明确要求让学生体会引入弧度制的必要性:弧度制的本质是用线段长度度量角的大小,从函数定义的要求上,只有统一了三角函数自变量和函数值的单位,之后才能进行基本初等函数的运算,从而使三角函数具有更广泛的应用性.用海里、公里这两种不同的距离度量制来类比到角的度量制度上,学生会纳闷:距离有多种度量制,角度就必须得有不同的度量制吗? 这样的情境引入实际上没有体现引入弧度制的必要性.

重建观察下列算式,它们在计算上有何差别? (1)75.12+22.51=;(2)369.23-26.45=;(3)75°12′+22°51′=;(4)359°23′-26°45′=;同桌一人计算(1)、(2)两小题,另一人计算(3)、(4)两小题,比一比,谁完成得快,准确率高?

设计意图由于角度采用六十进制,与实数的和差运算相比学生体验到要麻烦些,且容易出错.在这样的体验下,教师顺势引导:刻画角度的大小能否采用十进制的实数呢? 如果能,角度这个量在生产生活中的应用是不是更加方便? 这样的设问会激发学生的极大热情,增强学生的学习动机.

2.3 问题情境中的问题表述过于抽象

实际课堂中常常存在这样的现象:教师创设的问题情境过于抽象,难度较大.

案例如在“导数的概念”课堂上,设置如下问题情境:“某跳水运动员的运动轨迹为:H(t)=-4.9t2+6.5t+10,问:(1)求t0时刻的瞬时速度;(2)求(t0,t0+Δt)的平均速度;(3)什么情况下瞬时速度等于平均速度? ”

分析该情境中的几个问题比较抽象,学生理解比较困难.对于难度较大且较为复杂的数学问题,应该考虑为之设置更具层次性的问题情境[6].

重建情境1:在一起汽车肇事案中,车辆经过事发路口时,警方测得该车车速达195.2km/h.交警是怎么鉴定这个速度的? 从一份鉴定报告书中,监控视频的两次抓拍过程中,汽车移动的距离是3.615m,时间间隔为通过计算,发现交警鉴定的速度是用位移除以时间.问:交警的这种用平均速度来计算瞬时速度的方法合理吗?

情境2:跳水运动员从10m 跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设ts 后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试求:(1)t在[2,2.1]内的平均速度;(2)t在[2,2.01]内的平均速度;(3)t在[2,2.001]内的平均速度;(4)有何发现?

设计意图通过“交警用平均速度来计算瞬时速度”的实际案例让学生先思考其合理性,再利用“跳水运动员”案例引导学生通过计算来检验自己的想法,这样创设的问题情境具有层次性,由浅入深地提出问题,促进学生思考,学生能够自主发现当Δt→0 时,平均速度→瞬时速度,达成教学目标的同时,提升学生对知识的理解与掌握.

2.4 问题情境脱离学生的“最近发展区”

“最近发展区”是指学生已达到的知识水平和将要达到的知识水平之间所形成的最小差异区域.从新旧知识联系的角度设计问题情境,有利于学生知识的结构化与系统化,新旧知识过渡自然合理[7].而实际教学中许多问题情境的创设忽视学生已有经验知识基础.

案例如在高中“函数的概念”课堂上,某教师创设如下情境:问题1:下表是1950-1959 年我国的人口(单位:万人)的数据资料,年份y与人数x之间的关系.

表1 人口统计

问题2:如图是某市2019 年某天自零点至24 点气温变化情况,温度与时间点的关系

图1 气温变化

问题3:某趟高铁列车以350km/h 的时速匀速行驶,行驶的路程y(单位:千米)与其行驶时间x(单位:小时)之间的关系.

分析教师想通过列举几个例子来直接引入函数的概念,学生存在疑惑:这与初中学习的一次函数、二次函数以及反比例函数有何区别? 如此设计不利于学生系统地掌握函数知识.应基于学生的已有水平与能力,创设一系列问题或活动来激起学生的已有认知,为新知的学习以及问题的解决作铺垫.

重建情境1:某列车加速到350km/h 后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t;(1)请将自变量t和因变量S的取值范围分别用集合A和B表示出来;(2)对于集合A中的每一个t,在集合B中是否有唯一的S值与之对应?

情境2:某公司要求员工每周工作至少1 天,至多6 天.工资标准是每人每天350 元,且每周付一次工资.(1)该怎样确定一个员工每周的工资? 一个人的工资w(单位:元)是他的工作天数d的函数吗? (2)请将自变量d和因变量w的取值范围分别用集合A和B表示出来.对于集合A中的每一个d,在集合B中是否有唯一的w值与之对应?

问题3:情境1 和情境2 中的函数对应关系相同,它们是同一个函数吗? 为什么?

设计意图“情境1”与“情境2”涉及学生已经学过的熟悉的一次函数,可以帮助学生回顾初中所学的“变量说”;再利用情境中的小问引导学生从已学的集合角度重新解读函数的概念,为之后讲解函数概念的“对应说”做准备;“问题3”引导学生意识到解析式和自变量的取值范围都是确定函数的要素.如此设计更有利于学生系统地掌握函数知识.

3 小结

问题导致学生产生认知障碍,而情境激发了学生的认知需求,因此在教学中创设问题情境能够帮助学生产生解决问题的动机,促进学生积极主动地从事问题解决活动.在创设问题情境时,所选的现实生活情境的素材必须有利于学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界;在创设问题情境时,要紧密联系数学知识的核心内涵,引导学生了解知识是如何产生的,是用来解决什么问题的,让学生真正体会学习该知识的必要性;在创设数学问题情境时,要注意问题间的逻辑层次,让学生在数学学习中真正感受到数学的严谨性.新课标背景下的高中数学情境创设,要求教师立足实际学情,创设符合当前阶段学生身心发展规律的情境.最后,希望教师能够创设满足上述条件的问题情境,使学生获得源源不断的学习动力,不断提升数学综合能力.