基于贝叶斯滤波理论的目标命中概率估计与判决方法研究

2024-03-20井沛良蒋双双

计量学报 2024年2期

井沛良, 段宇, 蒋双双, 高宏

(1. 中国人民解放军 32180部队，北京 100072；2. 中国人民解放军第四军医大学空军特色医学中心，北京 100037)

1 引言

作为攻击类武器打击精度的重要评估指标之一,目标命中概率指标[1～3]在武器装备试验与评估活动中被广泛应用。目前工程中大量采用假设检验方法,比如序列概率比检验方法[4～7],对目标命中概率指标进行评估。这些方法存在一个显著缺陷,即仅在目标命中概率可能取值区间[0,1]上选取2个数值点构建假设进而依据观测进行判决。而仅选取2个数值点难以构成完备假设空间[8～13](目标命中概率在区间[0,1]上任一取值对应一个假设,其取满区间[0,1]上所有点的假设集合,即为假设空间)。现实中目标命中概率恰好为所选的2个参数点之一的概率极低,这意味着假设检验操作依据观测事实仅对假设空间中无穷多个假设中的有限个假设进行可能性计算和判决,其结果缺乏严密的理论支撑。因此,传统假设检验类方法在对目标命中概率指标进行判决时其错误率较高。

针对上述问题,首先对目标命中概率问题进行了分析,假设目标命中概率为一先验分布未知的随机变量,并给出了统计数学建模;其次基于贝叶斯滤波理论[14～17],推导了目标命中概率这一指标参数的后验概率密度函数的解析表达式,并进一步推导得到目标命中概率的最小均方误差估计量的解析表达式;最后提出了基于最小均方误差估计量的目标命中概率判决方法。与传统假设检验类判决方法相比,所提方法判决错误率有明显的降低。

2 实验原理及过程

2.1 目标命中概率统计建模

影响目标命中概率的因素除了特定装备和目标命中条件外,还包括气候环境、装备随时间的磨损老化等,以上因素均可作为试验条件进行明确。使用变量x∈[0,1]来表征目标命中概率,x为一个可能取值遍布于区间[0,1]的随机变量。

观测结果仅依附于目标命中这一事件的相关要求和条件。每一次射击试验或目标定位试验结束后,便依据目标命中事件的要求和条件对试验结果进行判定,得出目标命中与否的观测结果。用z[n]表征第n次试验的观测结果,z[n]=1表示目标命中,z[n]=0表示目标未命中。

使用伯努利试验对目标命中概率与观测结果的逻辑关系进行建模,具体关系如下:

(1)

假设不同次试验观测结果间是统计独立的,即当m≠n时,z[m]和z[n]之间是统计独立的。对于多次观测(设观测总次数为N),目标命中概率x与观测结果之间的逻辑关系可以使用二项分布进行表达,即:

p(z[1],z[2],…,z[N],N;x)

(2)

2.2 最小均方误差估计量的求解

贝叶斯相关理论已经证明待估计参数的最小均方误差估计量就是后验均值估计量[10]。因此,为了求取最小均方误差估计量,必须首先求解其后验概率密度函数。其先验概率密度函数可设置为:

f(x)=1,x∈[0,1]

(3)

式(3)为固定观测结果时,目标命中概率的似然函数,依据贝叶斯后验概率式可以求解目标命中概率的后验概率密度函数,具体过程如下:

f(x|z[1],z[2],…,z[N],N)

(4)

依据二项式定理,对任意的非负整数m,有下列式子成立:

(5)

(6)

(7)

将式(6)和式(7)分别代入式(4),可得求解目标命中概率的后验概率密度函数为:

f(x|z[1],z[2],…,z[N],N)

x∈[0,1]

(8)

目标命中概率后验均值估计量为:

(9)

及估计量xEAP的均方误差为:

eMS(xEAP)

(10)

图1 不同观测结果求取概率密度函数曲线Fig.1 The derived probability density function curves of different observation results

对应的最小均方误差估计量及其均方误差分别如表1和表2所示。

表1 不同观测结果下最小均方误差估计量估计结果Tab.1 The minimum mean square error estimation results of different observation results

表2 不同观测结果下最小均方误差估计量的均方误差Tab.2 The minimum mean square error of the estimation results of different observation results

2.3 基于后验均值估计的判决方法

相较于序列概率比检验方法,基于目标命中概率后验均值估计的判决操作较为简单。对于预先设置的目标命中概率最低可接受门限值p,当依据公式(9)求解xEAP大于等于p时,即可判决目标命中概率指标合格;反之则判决不合格。

3 试验结果与分析

为了评估所提方法的应用性能,以文献[7, 8]为参照进行了对比实验。文献[7, 8]中算法设置鉴别比为1.3,生产方风险为0.26,使用方风险为0.26。依据不同的真实目标命中概率生成观测数据(观测总次数N=8),设置不同的最低可接受门限值p,得到传统方法与所提方法的判决错误率分别如图2和图3所示。判决错误包含2种情况:1) 真实目标命中概率大于等于p,但判决方法依据生成观测数据判决目标命中概率指标不合格;2) 真实目标命中概率小于p,但判决方法依据生成观测数据判决目标命中概率指标合格。进行多次判决试验,并把判据错误次数与判决试验总次数的比值即定义为判决错误率。为了保证判决错误率的统计精度,在每一真实目标命中概率与最低可接受门限组合条件下,均对2种对比算法进行了20 000次试验。同时为了保证对比的公平性,使用了完全相同的生成数据对2种算法进行试验。在生成观测数据时,真实的目标命中概率取值范围为[0.1,0.9],步长为0.005。最低可接受门限值p取值范围为[0.7,0.9],步长为0.005。

图2 传统方法与所提方法在不同命中概率与最低可接受门限组合条件下的错误曲面图Fig.2 The wrong judging rate surf of the proposed method and the traditional method under different target hit probability and the lowest acceptable threshold

对比图2(a)和图2(b)可发现,图2(a)中曲面高度整体要高于图2(b)中曲面高度,这说明传统算法的判决错误率整体大于本文所提算法。对图2(a)和图2(b)中曲面分别进行积分,并除以曲面在水平面上的投影面积,从而得曲面平均高度分别为0.542 4和0.154 3,即传统算法和本文所提算法在平均意义上的判决错误率分别是54.91%和15.43%,说明所提算法的平均判决错误率约为传统算法的1/3(0.5491/0.1543=3.5594),性能优势较为明显。