把握度量本质,拓展分数意义——以“分数的意义（2）”的教学为例

江苏省南京市建邺实验小学分校 饶正凯

一、案例背景

学生在三年级初步认识了分数，知道把一个物体、一个图形或几个物体组成的整体平均分成几份，其中的一份或几份可以用几分之一或几分之几来表示。在此基础上，学生在五年级学习“分数的意义和性质”单元第一课时时，进一步抽象出单位“1”的概念，概括分数的意义，同步认识分数单位。实践表明，如此教学容易造成学生对“假分数”等概念的理解困难。因此，教材再次激活学生已有的度量经验，引导学生基于度量的视角理解分数，从而自然生成“假分数”，为后续探究分数序列的其他知识奠定坚实的基础。

度量的核心是度量单位的产生、发展以及累加的过程。因此，分数的度量意义不仅要强调分数也是数，是数轴上的一点，还要强调分数的产生过程是对分数单位的计数或累加，这在本质上与整数、小数的计数方法是一致的。因此，笔者创设真实的问题情境，引发学生的度量需求，并在实际的度量操作中自然生成合适的度量单位，深度建构分数的度量意义，丰富学生对分数意义的理解。在此基础上，通过分数单位的累加认识“真分数”与“假分数”，扩展“分数”概念的外延，使学生体验假分数与真分数、整数的内在关联。

二、案例描述

（一）片段一

著名儿童心理学家皮亚杰说过，智慧从动作开始，学生的多种感官参与认知活动，可以使信息不断地刺激细胞，促使思维活跃，便于储存和提取信息，同时易于激发好奇心和求知欲，产生学习的内驱力。因此，教师要设计操作活动，通过测量激活学生的度量经验，使学生体会分数单位产生的必要性,深入理解单位“1”的内涵。

1.问题引入，激活经验

课件出示：

（指名学生读一读）

师：你觉得有什么要提醒其他同学的？

（在学生交流的基础上明确：以粉彩带为标准）师：以粉彩带为标准，紫彩带有多长？

（学生交流后，课件演示测量过程）

师：以粉彩带为标准，就是把粉彩带的长度看作单位“1”。（板书：1）

师（追问）：紫彩带的长度可以用哪个数表示？如果紫彩带有3 个这样的1 根呢？4 个这样的1 根呢？100 个呢？

师（小结）：几个1 是几。[板书：几个1 是（ ）、结果、自然数、单位]

【设计意图：从一个实际问题引入，在明确问题实质的基础上唤醒学生的度量经验——“以粉彩带为标准”就是把粉彩带的长度看作单位“1”，用粉彩带去量紫彩带，紫彩带中包含几根粉彩带的长，就可以用几表示，从而进一步激活学生的整数计数经验，为后续探究活动埋下伏笔。】

2.基于度量，再认分数

（1）设置冲突，引发需求

课件出示：

师：我们继续以粉彩带为标准，黄彩带有多长？现在还能以这根粉彩带作单位来量吗？有什么好办法？

（同桌讨论）

师（小结）：可以把粉彩带平均分，用每份的长度作单位来量。

（2）创生单位，自主测量

①示范测量

②创生单位

课件演示：把粉彩带平均分成3 份、4 份、5 份，得到不同的单位。（板书：

③尝试测量

师：选哪个作单位能量出黄彩带的长度呢？

（学生尝试测量，同桌交流）

（指名学生展示测量过程）

④再度体验

课件出示：

师：你能像刚才那样选择合适的单位量一量蓝彩带的长度吗？

出示小组合作要求：

选：选择合适的分数单位量一量。

想：蓝彩带是几分之几根粉彩带的长？

说：小组内交流自己的想法。

（学生活动，汇报交流）

⑤初步对比

课件出示：

师（小结）：它们的分数单位不一样，分数单位的个数也不一样。

（3）丰富认识，比较分类

①看数填图

师：李阿姨去比萨店买了一些比萨回来分给家人（出示：4 个比萨），小明想吃个比萨，哥哥想吃个比萨，爸爸想吃个比萨，李阿姨会怎么做？

②看图写数

师：他们三个人一共吃了多少个比萨？

课件动态演示：

（指名口答，说明理由）

③比较分类

师：刚才我们认识了这么多分数，你能把它们分分类吗？

（学生交流）

师（小结）：分子比分母小的分数叫真分数，分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫假分数。（板书：真分数、假分数）

从一个实际问题引入，在明确问题实质的基础上激活学生的度量经验——“以粉彩带为标准”就是把粉彩带的长度看作单位“1”，用粉彩带去量紫彩带，量出紫彩带中包含几根粉彩带的长。度量单位和度量值是度量的核心要素。因此，从度量角度认识分数，关键是建立“分数单位”和“数出分数单位的个数”之间的联系。基于学生已有的度量经验，笔者设计层次不同的测量活动，让学生充分经历分数单位累加得到大小不同的分数的过程。第一层次“半扶半放”，通过课件演示，帮助学生进一步明晰测量的方法，然后自选合适的单位初步尝试测量；第二层次“由扶到放”，学生基于新生成的测量经验，再次体验测量的过程，获得测量结果，直观感知分数单位的累加得到大小不同的分数；第三层次“完全自主”，在既有的单位无法准确测量的情况下，学生尝试寻找新的单位来测量。学生在学习活动中体会到分数的产生是实际测量的需要，并进一步从度量的角度丰富了对分数的意义的认识。

（二）片段二

小学生并未进入形式运算阶段，还不能在头脑中很好地将形式和内容分开，不能进行较抽象的逻辑推理。因此，总体而言，对于小学阶段的分数学习，教师应该结合学生的年龄特征，从多个方面帮助他们加强对分数不同意义的理解。

1.数形结合，深化理解

（1）简单应用，发展数感

课件出示：

师：仍然把粉彩带看作单位“1”，你觉得绿彩带的长度是真分数还是假分数？谁来估一估，你觉得用哪个单位来量最合适？

（学生估计，指名验证、交流）

（2）适度抽象，直观感知

师：刚才我们都以粉彩带为标准，若干根这样的粉彩带前后连接，并在一起，再压缩就成了我们熟悉的数线（演示：两根粉彩带并在一起，再隐去粉彩带最终出现数线）。那么，在哪呢？

（请学生指一指，说明理由）

课件相机出示：

师：在数线上，你还能找到哪些分数？在这些分数中，真分数有几个？假分数又有几个？

（指名交流）

师（小结）：分数单位为

（3）关联小数，沟通联系

课件出示：

师：如果把1 平均分成10 份，你想到哪个数？还可以用哪个数来表示？师：当把1 平均分成10 份时，每份不仅可以用这样的分数来表示，还可以用0.1 这样的小数来表示。（板书：小数0.1）

师（追问）：2 个0.1 是几？7 个0.1 呢？14 个0.1 呢？

（学生交流回答）

师（小结）：几个0.1 是几点几。（板书：0.2，0.7，1.4）

【设计意图：在学生从度量的角度充分感知分数的意义后，教师将彩带抽象成数线，借助数线引导学生进一步体验分数单位的累加得到大小不同的分数，并直观比较真分数、假分数的大小，同时与小数的认识关联，有效沟通分数和整数、小数计数方法之间的联系，帮助学生构建完整的认知结构。】

2.回顾反思，统整认识

师：同学们，通过今天的学习，你有什么收获？

（学生自由交流）

师：以前，我们是把单位“1”平均分，然后用分数来表示部分与整体的关系。今天，我们认识分数的角度发生了一些变化，你觉得和以前比，我们现在更关注什么？

师（小结）：无论是自然数、分数还是小数，在计数的时候，都是数有几个这样的计数单位，累加起来结果就是几。（板书：累加）今天，我们对分数的意义有了进一步的认识。（板书课题：分数的意义）关于分数的知识远不止于此，今后我们还要继续研究。

新知的学习离不开必要的练习。练习从最基本的“在图形中涂色，表示它下面的分数”开始，教师引导学生对所学分数进行分类，进而认识真分数和假分数，在此基础上再用“看图写数”及时巩固学生对真分数和假分数的认识。“单位”是贯穿“数与代数”“图形与几何”两大领域的核心，在“数与代数”领域关注的是计数单位，在“图形与几何”领域强调的是计量单位，但两者的道理是一致的。课尾，在学生系统回顾一节课的学习收获的同时，教师进一步引发学生沟通计数单位与计量单位之间的联系，引导学生整体建构小学数学核心知识。

三、案例分析

“分数的意义”作为“数的认识”系列知识的核心内容，一直是教学研究的热点。为帮助学生精准建构分数的度量意义，笔者力求打通不同学段、不同领域内容之间的关联，充分凸显数学学习的整体性与一致性。

（一）聚焦：把握核心与本质

分数的度量单位即分数单位，分数单位在本质上与自然数的计数单位是一致的。不过，它随着单位“1”被平均分成的份数的变化而变化，因而，学生理解起来感到抽象、困难，但这并不妨碍分数单位在建构分数意义时的核心地位。

课中，笔者创设简洁明了的问题情境，以粉彩带的长度为标准，引导学生表示其他几种彩带的长度。学生充分调动已有的数学活动经验，创造不同的分数单位，并选择合适的分数单位，通过度量描述各种彩带的长度，从而创生出大小不同的分数，真分数与假分数的认识便水到渠成，有效改善了以往单一地从“部分—整体”角度理解分数的困境。可见，突出分数单位便抓住了分数序列知识教学的核心和本质，唯有这样，才能事半功倍。

（二）打开：历练思维与经验

“分数的意义”有许多经典的设计“深入人心”，这导致不少教师上课时受到许多有形、无形的束缚，课堂相对封闭。理想的课堂应向四面八方打开！课堂向四面八方打开意味着给予学生更为广阔的活动空间，激活学生思维，积累丰富的数学活动经验。

认识分数，既要理解它的内涵，又要认识它的外延。因此，在学习“分数的意义”时，认识真分数和假分数是教学的应有之义。本节课，对于真分数和假分数的认识，笔者利用长短不同的彩带这种简约的学材，放手让学生自主表达。学生在已有计数经验的同化下，生长出“几个几分之一就是几分之几”的新经验，从而在不经意间认识了假分数。如此教学，没有囿于教材静态的编排和过往陈旧的经验，而是提供适合的学习材料，营造适宜的学习氛围，充分发掘学生的潜能，让学生在真实发生的学习过程中历练思维、习得方法、丰富经验、积淀素养。

（三）融通：凸显结构与方法

数学知识逻辑严谨，在日常教学中，教师要帮助学生建立起知识之间的联系，使新知识与原有认知结构中的旧知识相互发生作用，实现新旧知识意义的同化，从而使原有的认知结构发生积极变化。基于此，学生要更好地理解分数序列知识，而有效的途径就是以分数的意义为核心构建一个结构网络，融通所学知识。

本课在分数“份数定义”的基础上从分数单位累加的角度再认分数，这样便将分数的认识与自然数的认识融为一体了，学生从中也充分感受到认数方法的一致性。不仅如此，课尾，笔者还将“数与代数”领域的“计数单位”和“图形与几何”领域的“计量单位”适度勾连，引发学生进一步的思考。这无形中增进了学生对知识整体的理解。因此，在日常教学中，教师不仅要关注知识的生长点，还应注重相关知识的连接点与延伸点。这样不仅有利于学生理解所学知识的内涵，还能更好地揭示数学知识之间的内在关联，有利于学生从整体上理解数学，构建数学知识结构。

总之，为适应基于核心素养的教学，备课之初，教师应基于单元视角，提升教学立意；教学时，教师应聚焦核心知识，适度打开课堂，融通关联内容，从而有效凸显数学课程的整体性与一致性。