罗马尼亚数学杂志问题1132的再研讨

许卫国 (邮编:241070)

安徽省芜湖市善瑞中学

1 引言

设a,b,c,ra,rb,rc,wa,wb,wc,R,r,s分别△ABC的三个内角A,B,C所对的三边长,旁切圆半径,内角平分线,外接圆半径,内切圆半径与半周长,Σ,Π分别表示循环求和与循环求积.

2022年罗马尼亚数学杂志《Romanian Mathematical Magazine》刊登了由罗马尼亚人MarinChirciu提供的问题1132如下.

问题1132在△ABC中,证明:

①

印度人Soumava Chakrarborty Kolkata给出了不等式①的一个证明.[1]文[2]给出了不等式①的一个加强与逆向.

定理1在△ABC中,有

②

对问题 1132进行再研讨,我们得到不等式②的一个再加强.

定理2在△ABC中,有

③

等号成立当且仅当△ABC为正三角形.

2 两个引理

为证明不等式③,先给出两个引理.

引理1[3]在△ABC中,有

等号成立当且仅当△ABC为正三角形.

引理2[4]在△ABC中,有

等号成立当且仅当△ABC为正三角形.

3 主要结论的证明

应用引理2,有

由引理1、引理2等号成立的条件知,不等式③等号成立当且仅当△ABC为正三角形.

4 讨论

因为

≥0.

≥0.

所以定理2是定理1的加强.

≥0.

所以,定理2有如下推论.

推论在△ABC中,有

④

由欧拉不等式知,不等式④是不等式①的简洁、优美的加强.