欧拉不等式一个加强的再改进

福建省福清第三中学

何 灯 (邮编：350315)

设△ABC的三边为a、b、c，外接圆和内切圆半径分别为R、r，则有著名的欧拉不等式R≥2r.文[1]中建立了如下三角形式的加强.

定理1 设R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，则有(Σ表示循环和)

①

当且仅当△ABC为正三角形时取等号.

定理2 设R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，则有

②

当且仅当△ABC为正三角形时取等号.

r(R-2r)(400R3-2452R2r+4243Rr2-1230r3)≥0

③

由于R≥2r，且