2023年安徽省中考数学第10题的解法探究

侯立田 朱文东 (邮编:230071)

安徽省合肥市五十中学天鹅湖教育集团天鹅湖校区

薛祖蓉 (邮编:237100)

安徽省六安市裕安区梅花小学

1 原题再现

(2023年安徽省中考数学试题第10题)如图1,E是线段AB上一点,△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形,点P,F分别是CD,AB的中点．若AB=4,则下列结论错误的是( )

图1

C．△CDE周长的最小值为6

2 试题解析

本题源于课本,题干简约,构思巧妙,内涵丰富,综合性强,能深入考查学生的“四基”“四能”和数学核心素养．考生读完试题后,很容易产生恐惧感——四个选项都是几何最值问题．初中阶段的最值问题并没有系统完整的构架,更多的是基于“两点之间线段最短”或“垂线段最短”的几何最值,还有基于函数模型的代数最值,以及少许的不等式最值问题,结合安徽省历年中考真题的特点,最值问题基本是一题一问．事实上,近几年中考试题的难度不大,本题设置为今年中考选择题的压轴题,不无一定的道理．仔细逐项审题,不难发现选项设置的关联性,A,B选项为几何最值问题,均为“将军饮马”模型,解题的关键在于探索动点P的运动轨迹;C,D选项为求周长和面积的最值问题,深入分析可知,二者均与CD的长短有关联,从而简化了推导,四个问题分别是求线段、周长和面积的最值问题．

(1)对于选项A、B,分别求PA+PB的最小值和PE+PF的最小值．

对于PA+PB的最小值:点A,B均为定点,动点P的运动轨迹是怎样的呢?

点P始终是线段CD的中点,通过倍长EP,可构造平行四边形,点P也成了它的另一条对角线的中点．当然,延长AD和BC同样可构造这个平行四边形．其中AD和BC的延长线的交点是一个定点,而点E又在AB上运动,所以点P的轨迹就是平行四边形2条对角线的交点的运动轨迹,即所构造大三角形的中位线．

对于PE+PF的最小值:在已知点P的运动轨迹基础上,PE+PF的最小值可看作类似“将军饮马”问题．选项B就迎刃而解了．

(2)对于选项C、D,C△CDE=ED+EC+CD=AB+CD=4+CD,CD何时达到最小值?

无论C、D如何运动,△CDE的∠CDE大小不变,ED+EC的长度不变．点E的位置决定了CD的长短,所以可通过设置变量(AE=x)来表示线段CD的长度,进而可利用函数的性质解决这个几何最值问题．

换个思路分析:再看点C、D分别在AE、BE的中垂线上,从此出发能否打开其它的解题思路呢?

对于选项D． 求四边形ABCD的面积,作为一个不规则四边形,通常需要用割补法进行转化．

3 解法探究

针对选项A、B,分别求PA+PB和PE+PF的最小值．

如图2,延长AD、BC交于点Q,则四边形DECQ是平行四边形,所以点P是线段QE的中点．

图2

因为点E在线段AB上运动,所以点P的运动轨迹是△QAB的中位线．

如图3,作点A关于直线l的对称点A',连接A′B,PA′．

图3

则PA+PB=PA′+PB≥A′B,即A′B为所求PA+PB的最小值．

如图4,点F与点Q关于直线l对称,易知FQ⊥AB．连接EQ,PF=PQ,则PE+PF的最小值就是EQ的最小值．

图4

图5

如果无法联系到“将军饮马”模型,可以尝试让点E取不同的特殊点,比如,点E点A重合,点E点F重合,点E点B重合等,观察可得点P的运动轨迹是平行于AB的线段,进而把问题作特殊化处理,当点E点F重合时,PA+PB和PE+PF取得最小值．

针对选项C、D,分别求△CDE周长和四边形ABCD面积的最小值．

在图6中,无论是线段CD、还是△CDE的周长或四边形ABCD的面积都与点E位置有着密切的联系,所以可通过设立参数,建立函数模型来求解．

图6

过点D,作DH⊥CE于点H．设AE=DE=x,则CE=BE=4-x．

则△CDE的周长=ED+EC+DC≥6,即△CDE的周长的最小值为6．

在图7中,可以运用不等式求△CDE周长的最小值．

图7

过点D和C分别作AB的垂线,再过点P作以上两条垂线的垂线,垂足分别为M、N．

图8

4 教学启示

结合近几年安徽省中考真题对几何最值的考查,中考复习教学需要从以下几个角度思考:

(1)立足基础知识,构建知识框架

基本图形(三角形、四边形和圆等)是几何最值问题命题的出发点,日常教学需夯实基础,各个击破．如2022年第14题是两个正方形问题,主要考查平行线、三角形的全等与相似、三角函数等多个知识点,因此,中考数学复习教学不仅要注重基础知识的掌握情况,还要引导学生构建知识框架,形成自己的知识认知体系．

(2)深入理解题目,注重方法渗透

解决最值问题的第一步是认真读题,而不是被题目本身的陌生感和难度吓到,要通过读题明确题目所考查的知识点,然后全方位、多角度地寻求解决问题的途径与方法,比如:正向思维与逆向思维的转换、代数方法和几何方法的转换、数形结合、化归思想和特殊化法等等．能够较好地进行自我监控,促进学生思维的灵活发散,做学习的主动探究者．

(3)善于归纳总结,谨防思维固化

随着近几年中考数学试题的变化,做真题研究真题应该是后期复习必不可少的环节,正如俗话说“给学生一杯水,自己要有一桶水”,更需要的是一泉活水.若要让学生解决最值问题得心应手,归纳总结是学习中不可或缺的重要环节．动点的最值问题要以探究动点运动轨迹为主要的研究内容,动点的运动轨迹又主要以直线和圆为主要考查内容．但是,从2023年安徽省各地区的中考模拟试题来看,有时会有一些非典型的最值问题出现,比如,结合几何变换命题,还有一些“反套路”的最值问题,善于总结可以较好地解决一类问题.然而,任何问题都有一些特殊情况的存在．总结不是形成刻板的记忆,而是归纳概括解题的思想和方法,但是思想和方法又不能机械的、单一的,否则就会形成高级思维固化,这不是数学教学的根本追求．