基于传统文化的向量问题设计

于 博 (邮编:200062)

华东师范大学教师教育学院

1 引 言

《普通高中数学课程标准》[1]中提出,要落实立德树人根本任务,发展素质教育,继承和弘扬中华优秀传统文化.数学不是一门孤立的学科,它与我们的文化和历史息息相关.伴随着历史长河的缓缓流淌,向量与中华优秀传统文化产生了密不可分的联系,通过对向量“前世”的挖掘,我们惊觉向量源于物理学的发现,流于数学的创想,更涤荡着文化的芬芳.特别地,在近年中华优秀传统文化进课程的引领下,我们有理由探寻来自西方的向量与中华优秀传统文化之间的交集.数学史是一座丰厚的宝库,通过对中国传统数学的历史挖掘,我们能够从中寻觅到向量的踪影;同时运用数学的眼光,我们能够从代表中华优秀传统文化的艺术、民俗等中抽象出向量.再者,从新高考的改革趋势来看,中华优秀传统文化走进课堂、融入试题势在必行.向量作为沟通高中数学几何与代数的桥梁,与中华优秀传统文化中的若干思想和理念相关联.若能将向量与中华优秀传统文化较好融合,在问题中渗透中华优秀传统文化,或将提升问题的文化性、素养性和深刻性,同时让学生在问题探索中感悟前人智慧,对学生文化自信的培养具有潜移默化的影响.

本文从有关中算史料以及其他传统文化素材出发,设计若干高中数学向量问题,为教学提供参考.

2 研究问题与框架

本文所探讨的向量问题设计,包括了考试题、练习题以及课堂问题.关于向量部分的高考题,已有许多文献做过分析(如[2-6]),关于向量教学中的问题,也有许多文献进行过探讨(如[7-10]),但是有关数学文化尤其是传统文化背景的向量问题设计却少之又少.因此,本文的主要研究问题是:如何借助传统文化素材,设计向量问题?

基于上述文献的整理和分析,梳理出本文的研究框架,如图1所示:

图1 研究框架

3 基于中华优秀传统文化的向量问题设计

3.1 依托中算史图形

自2021年教育部颁布《中华优秀传统文化进中小学课程教材指南》以来,如何将中华优秀传统文化融入学科教学,成了学术界和一线教师十分关注的课题.就数学学科而言,中国传统数学的历史(以下简称中算史)是中华优秀传统文化的重要组成部分之一,要让中华优秀传统文化进入数学课程和教学,教师首先需要充分利用中算史的资源.中国传统数学有着悠久的历史、辉煌的成就和丰富的内容,中算史既是数学教学的目标,也是数学教学的工具,其潜在的教育价值有待于人们去挖掘.[11]

从《九章算术》《周髀算经》等中国古代数学典籍中[12][13]我们可以找到诸如弦图、勾股容圆、勾股容方等有价值的图形,依托此类图形,可以设计颇具数学文化色彩的问题.

赵爽弦图

东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时,撰写了一篇“勾股圆方图注”,其中运用了一幅用于证明勾股定理的图形,后世称之为“赵爽弦图”.现今,中国数学会(CMS)的会徽就是在弦图的基础上进行设计的,这无疑体现其深厚的文化价值.

如图2所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形图案.从边长关系看,只要确定一个直角三角形任意两边长,即可确定整个弦图中所有线段的长度;从角的种类看,弦图中只有两类锐角,知其一可得二.

图2 赵爽弦图

基于已有问题提出新问题,可运用三种策略[14]:

(1)条件式策略,即改变给定情境(图形)的条件而保持其目标不变;

(2)目标式策略,即改变给定情境(图形)的目标而保持其条件不变;

(3)自由式策略,即同时改变给定情境(图形)的条件和目标.

以问题1为例,运用上述三种策略,可提出新问题,具体示例如下:

变式6已知E是AH中点,请找出图中所有的相等向量.(自由式)

在本章节“依托中算史图形”中,后续设计的一系列问题均可采取以上三种策略,对原问题进行改编,后文将不再赘述.

除弦图外,中算史的其他证明勾股定理的图形,用作设计向量问题的载体,也不失为一种好的选择,下文展示一例.

勾股容圆

勾股容圆是中国古典几何的一个重要命题,阐述了直角三角形的内切圆问题,出自《九章算术》第九卷《勾股》章第十六题:“今有勾八步,股十五步.问勾中容圆,径几何?”术文给出容圆公式:

①

如图4所示,“勾股容圆”可以看成三对全等的直角三角形拼成的大的直角三角形,其中一对为等腰直角三角形,并且这三对直角三角形有一条直角边相等,大小等于内切圆半径,只要给定大三角形的任意两边长,就能确定图形中所有线段的长度.因此,在向量问题的设计中,给定两个不共线的向量作为一组基底,以及大三角形任意两边长的比,即可将“勾股容圆”图中任一向量以给定基底线性组合的形式表示.

除“勾股容圆”外,还有诸如“勾股容方”“勾中容横,股中容直”等一系列图形可作为载体.以下是根据《九章算术》问题“已知勾弦差和股弦差,求勾,股,弦”的解法,设计的向量问题.

《海岛算经》中的图形

《海岛算经》是魏晋时期刘徽所著的一部测量数学著作,他以应用问题集的形式,运用测望法研究有关高与距离的测量问题,共九问,其中不乏许多诸如日高图、望邑图、松高图和清渊图等有趣的图形,下面以“松高图”为例,改编向量问题.

图6 松高图

3.2 基于中国象棋跳马

中国象棋是中国棋类文化的经典代表,也是中华民族的文化瑰宝,因其趣味性浓厚,基本规则简明易懂而源远流长.在象棋游戏中,象棋棋盘可以看作一个坐标系统,每个棋子的位置可以用坐标表示,不同棋子的移动受到特定规则限制,因而有其特定的移动方式和范围,这些移动规则可以与向量的方向和长度对应起来.同时玩家需要充分考虑棋局的整体和局部的关系,这涉及到评估棋子的价值、分析棋盘的局势和预测对手的行动等方面,具备良好的向量思维可以帮助玩家思考棋局中的方向、趋势和变化,从而制定更有效的战术.下面以象棋跳馬为例,浅谈关于向量问题设计的思考.

象棋棋盘是由九条竖线和十条横线组成,棋子在这些交点上行走,“馬”由于其行动路径的特殊性(馬走日),常常令人捉摸不透.接下来,我们通过对馬行动路线的研究,尝试设计向量问题.对于棋盘上的馬,行动一步,共有八种路线,如图7所示.

图7 马的行动路线

若将馬的每一步行动看作一个向量,可得到向

经过简单的向量加法运算可以得到如下关系:

②

③

由向量加法的交换律可得,馬的移动次序可以更换,并且合成方式不唯一,即馬有多种方式可以向右移动一步,或者向上移动一步,所以馬从棋盘中任一位置出发,可以遍历棋盘.

下面讨论馬从某一位置出发,需要经历多少步才能回到原来位置这一问题.

④

k1·(2,1)+k2·(1,2)+

k3·(-1,2)+k4·(-2,1)=(0,0)

⑤

(2k1+k2-k3-2k4,k1+

2k2+2k3+k4)=(0,0)

⑥

由⑥式可得

k2-k3=2(k1+k4)

⑦

k1+k4=-2(k2+k3)

⑧

考虑步数之和

k1+k2+k3+k4=

k1+k4+k2-k3+2k3

⑨

等式右边为三组偶数之和,还是一个偶数,故等式左边也是一个偶数.即馬从某一位置出发,一定经历偶数次跳跃才能回到原位置.

基于上述思考,进行如下问题设计.

问题6在象棋中,不同棋子有其独特的移动方式,我们知道“車”和“炮”可以移动到棋盘的任意位置,“卒”“象”“士”“将”因移动范围受限,不能遍历棋盘,而“馬”的移动方式十分特别,是走“日”字,那么“馬”究竟能否走遍棋盘呢?尝试给出你的理由.

问题7在中国象棋中,“馬”可谓八面威风、八面玲珑,在某个恰当的位置,“馬”可以有八种走法.假设“馬”在O点准备跳出,再跳回O点,则“馬”跳的步数可能是( )[15]

A. 5,6 B. 4,7 C. 6,8 D. 7,8

3.3 融合传统文化背景

在近年全国各地的高考模拟题中,其实已有传统文化背景下的向量问题出现[16][17].尽管多以附加式背景出现,去掉文化背景并不会对解题产生影响,即都是在与传统文化相关的模型基础上抽象出数学图形,文化与数学是可分离的,但一定程度上增添了问题的文化韵味.对于此类问题设计的建议,若能巧妙添加一些现实情境,或将提高问题的趣味性、可做性.

图8 问题8图

4 结语

本文从“依托中算史图形”“基于象棋跳马”“融合传统文化背景”三个方面阐述了在向量问题设计中融入传统文化的若干思路与方法,提出三条在向量问题中融入传统文化的策略:

(1)古图今用式策略,以中算史图形为载体,添加向量条件与目标,形成向量问题.同时,可灵活运用条件式策略、目标式策略以及自由式策略对已有向量问题进行改编,提出新问题.

(2)寓教于乐式策略,如结合中华传统棋类规则,设计向量问题.此种策略下的问题设计可以偏开放式,关注学生的思维训练,在解决问题的过程中感悟传统文化的思想内涵,体会“探究之乐”.

(3)附加情境式策略,选取传统文化素材作为载体,将向量这一抽象的数学概念与现实生活联系,解决生活中的向量问题.

中华优秀传统文化博大精深,历久弥新,本文所讨论的向量问题设计仅仅是“冰山一角”,由点及面,若在数学问题的设计中,巧妙地将数学与传统文化交融,定会使数学问题的层次提到一个新的高度.数学教师的职责不仅要“教书”更要“育人”,新课改后“育人”的重要性被反复提及,反复强调,如何体现数学学科的育人价值,是当下数学教育工作者需要共同思考的问题,而传统文化的融入无疑提供了一条可行、有效的途径.