单元循同构 类比渐生长——以沪科版“一元一次不等式与不等式组”章节起始课为例

刘维全 (邮编:230000)

安徽省合肥市合肥一六八玫瑰园学校

大单元教学早已为教师熟知,但现实仍然停留在“以赛促研”的推动阶段,实际的教学中,教师固守教材,无动于衷的不乏其人.尤其是对章节的起始课关注不够,对结构教学还不能驾驭.课堂组织者应该以整册书或者整个学段的视角统筹设计,使得节与节、章与章、册与册形成贯通的知识结构体系,这样培育数学核心素养才更有现实意义.数学核心素养的成分隐藏在知识体系、知识结构之中,难以在单个的知识点上表现出来[1].因此,开展大单元教学是形成数学核心素养的必然选择,笔者结合自己上过的一节新授课,从学段的角度,重构单元教学,通过类比迁移的思想呈现知识与能力共生长的课堂.

1 基于课标,整体规划

1.1 课标对“一元一次不等式与不等式组”这部分内容的确定

(1)结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质.

(2)能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.

(3)能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题[2].

其中目标1和2贯穿于不等式学习的始终,是后续学习函数,理解函数与方程、不等式之间关系的基础,通过解不等式,体会其中蕴含的化归思想.目标3是核心素养落实的着眼点,通过问题情境、数学建模、问题解决的过程,感受数学的价值,从具体的实际问题出发,教会学生用数学的思维看待生活,理解不等式,理解数学.

1.2 章引言 章头图的解读

章引言是全章的开篇概述,是开门见山的导引,是“未成曲调先有情”的乐章.学生沿着该序曲能够先行统览,提前预知本章学习的地位和作用,进而激活探索欲,唤醒内驱力,激发学习场.

章头图展示的是一架倾斜的天平,结合生活感悟,天平联想到公平和正义,从数学的眼光可以理解为“相等”关系.倾斜的天平,告诉我们平等和自由之外还有法制和边界.预示着数学中的“不等”关系也普遍存在.对于等量关系,可以用方程、方程组来刻画,对不等量之间的关系引入不等式、不等式组来刻画就顺理成章.

1.3 教材内容分析

教材分为3大节和一个综合实践(排队问题);第一节是不等式及其性质;第二节是一元一次不等式;第三节是一元一次不等式组;本章是学生学习过实数的大小比较之后的新的章节,已经涉及到数的相等和不等关系,通过数与式的同构关系,类比一元一次方程(组)学习的基础上将对不等关系进行探讨.教科书从生活实际问题出发,让学生通过观察、思考、探究等活动,了解到现实世界中除了相等关系之外,还有不等关系,要想合理的解释这些现象,就需要对不等关系进行学习和探讨.数学知识的学习都有它内在的规侓,方程是等量关系的模型,不等式是不等关系的模型.通过类比,由旧知迁移到新知,在温故的基础上新知自然生长.章头图天平秤重物,简明扼要的点明数学与生活的联系,教材的选材都与我们的生活息息相关,体现了数学的应用价值,一个个实际问题的解决增强了数学的应用意识.本章安排了观察、思考、探究、交流及数学活动为学生的数学思考、解决问题、情感态度的发展提供了空间,让学生拥有了自主思考的空间.通过解决实际问题中的“审”“设”“列”“解”“验”“答”环节,领悟不等式模型化思想,体会符号化意识.理解转化思想的必要,借助数轴求不等式组的解集,再次感悟数形结合的思想.

基于课标的界定,统览现行的沪科版教材,对本章做出如下整体规划:

单元起始课:利用知识迁移,类比形成本章的知识结构(充分利用章引言和章头图及相关情景形成本章学习的知识结构体系,把本章学习的层次性凸显出来,形式知识结构(图1),其中包括不等式、不等式的性质,一元一次不等式(组)的具体知识.

图1

第一节新授课前复习等式的概念和性质,类比迁移得到不等式及其基本性质.回忆已经学习过的不等号“>”“<”,通过问题1弄清“≥”“≤”的意义.不等式的五条基本性质依然选择类比等式的性质进行比较,充分利用教材的数学活动,通过观察、实验、猜测、交流让学生亲自体验从动手实验到实验操作,从数字验证到数字抽象的过程.

第二节一元一次不等式的学习通过与方程的类比,依然可以知道不等号两边是整式,含有一个未知数,未知数的次数是1.区别就在不等式的解有解可能有多个,一元一次方程有解最多只有一个.利用数轴把不等式的解集表示出来,学生形象的看到不等式的解集一般是一个区间,教学中让学生熟练的进行符号语言和图形语言的互译.这节教材安排了大量的与生活实际联系紧密的例题、练习、习题,可鼓励学生挖掘身边的教材,自己编制一些一元一次不等式有关的题目,同学之间相互交流,共同解答,增强学习的主动性.

第三节解一元一次不等式组,就是求不等式组中每个不等式的公共部分,如何解不等式学生已经熟悉,因此,本节的重点是在解集的确定上,教学中,借助数轴的直观性将公共部分表示出来,表示不等式的解集也是教学的难点,利用数轴来解决难点是行之有效的方法.沪科版教科书第37页“交流”的内容,给学生充分讨论,教学中可引导学生根据字母a,b的大小将a,b在数轴上表示出来.转化的思想在一元一次不等式组学习中继续呈现,教学中引导学生合作交流,在主动学习、探究学习的过程中获得知识,培养能力,进一步提高对“解不等式(组)中蕴含的转化思想”的认识.

除了前三节内容,还一个综合实践,它还原生活中的排队问题,利用不等式的知识呈现顾客排队等待和排队现象何时消失等问题的探讨,涉及到方程与不等式的综合,探究的思维含量很大.教材中安排4组问题供学生探究,让学生经历从具体到抽象的思维过程,考察学生的阅读能力,数学应用意识等,渗透建模思想、归纳思想、分类讨论思想,增强分析问题、解决问题的能力,通过活动,了解数学的价值,提高学生学习数学的兴趣,增强学好数学的信心,具有初步的创新意识和科学态度.

2 单元循同构,类比渐生长

2.1 教学目标

(1)了解不等式的意义,理解不等式的解和解集的意义.

(2)探索不等式的基本性质;能运用不等式的基本性质探究一元一次不等式的解法.

(3)掌握一元一次不等式的解法;会用数轴确定不等式的解集,并能体会解法中蕴含的化归思想.

(4)了解一元一次不等式组及其解集;会解一元一次不等式组;会用数轴求出不等式组的解集;了解数形结合的方法.

(5)经历“问题情景、数学建模、问题解决”的学习过程,感受数学的应用价值;能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题[3].

2.2 教学重难点

重点:不等式的基本性质、解一元一次不等式(组).以一元一次不等式为工具分析问题、解决实际问题以及建立不等式过程中蕴含的建模思想和解不等式(组)过程中蕴含的转化思想.

难点:对不等式的基本性质的正确理解,尤其是基本性质3;不等式(组)解集的准确表达;由实际问题建立不等式的数学模型.

2.3 教学过程设计

2.3.1 从方程到不等式,初成结构

问题1:

师:同学们!还记得七年级上学期数学的前三章的标题吗?

生:有理数、整式的加减、一元一次方程(组)

师:这几个章节的内容之间有怎样的逻辑关系呢?它与今天要介绍的新课有何联系?请同学们先在小组内分享自己在课前梳理的关系结构图(图2),并派小组代表进行展示.

图2

预设通过小组代表交流,形成结构,教师点拨,逐渐梳理出本章知识学习的路径.

问题2:

师:下列方程那些是一元一次方程,判断一元一次方程的关键是什么?

生: ①③是一元一次方程,判断的关键是只含有一个未知数,未知数的次数是1,等号两边都是整式.

师:如果把一元一次方程中的等号换成不等号连接,这样的不等式又该如何命名?

生:一元一次不等式.

师:说出一元一次不等式的定义.

追问:一元一次不等式组的又如何定义?

生:由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组.

问题3:

追问:上述等式性质中的等号换成不等号后,不等式两边“加”“减”“乘”“除”相同的数(式)呢?,不等号仍然成立吗?

生1:应该可以吧!

生2:要分类讨论,看具体情况才能确定不等号的方向.

问题4:

师:解一元一次方程的步骤是什么?

生1:去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1

生2:“消元”转化为一元一次方程

师:解一元一次不等式呢?如何解一元一次不等式组呢?

生:步骤和方法是相通的!

问题5:

师:利用一元一次方程解决实际问题的步骤是什么?

生:“审题”“设元”“列方程”“解方程”“检验”“作答”.

师:解决实际问题的一般思路都可以按照下面(图3)的步骤来进行!涉及到不等关系的实际问题应该如何解决呢?

图3

生:应该也是遵循这样解决问题的路径.

师:数式可以同构,不等式的学习也可以和方程一样开展类比性学习,从这章开始我们将学习“数与代数”模块中的不等关系的数学模型(教师板书:不等式及不等式组)

设计意图为了让类比思想在这节课贯穿始终,课前对数、式、方程的结构进行了梳理,具体到等式的性质、解一元一次方程和列一元一次方程解决实际问题的每个步骤.课中,师生合作,同伴互助形成共识,为接下来的学习培根固源,因为这样迁移学习更有力量.通过典型例题,唤醒学生的前概念,激活学生的类比思维.基于数与式的同构,方程和不等式也具有相同或相似的特征,在方程学习结构的基础上,引导学生,梳理出不等式学习的整体结构.由此及彼,借方程之石,攻不等式之玉,方程和不等式是“数与代数”中类比推理和类比思维的重要素材,在数学发展的历史长河中,占据举足轻重的作用,必须认真审视和对待他,最终实现数学学习中的“前后一致,逻辑连贯,一以贯之”.

2.3.2 类比转换 循序生长

师:下列式子哪些是不等式?哪些是一元一次不等式?

12x<20;②-2<0;③x=1;④x2-xy;⑤x-3<0;⑥x-1

生:①②⑤⑥都是不等式,①⑤是一元一次不等式

师:请同学们尝试列式表达下列数量关系

(1)a与1的和是正数:______;(2)a与3的和小于-3:______;

(3)a与-2的差不大于5:______;(4)a的5倍不小于10:______;

(5)某种植物生长的适宜温度不能低于18℃,也不能高于22℃,若设该种植物生长的适宜温度为x℃,则有不等式:______;

生:a+1>0,a+3<-3,a-(-2)≤5,5a≥10,18≤x≤22

设计意图把数、式用不等号连接起来,表示不等关系的式子叫做不等式,通过辨析,初步了解一元一次不等式.通过实际问题,把文字语言转化成符号语言,体会文字中不等关系对应的不等号,理解不等关系的关键词“大于”“超过”“高于”“小于”“不足”“低于”“正数”“负数”等对应的不等符号.学生的思维被唤醒后,逐渐在头脑中形成不等式的学习结构,后续学习同类知识和相关概念也会在类比、迁移、同化中自然生长.

2.3.3 类比尝试 同构生长

师:解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来．

设计意图本题作为例题示范,唤醒学生解一元一次方程的思想和方法,带领学生一起完成解答全过程,让学生在对比中发现解一元一次方程和一元一次不等式(组)的解法上的相同点和化系数为1的不同.在数轴上表示一元一次不等式(组)的解(集),直观的呈现方程的解与不等式的解的区别.同时让学生理解不等式的解集端点处的实心还是空心,初步感悟“若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点”这一教学难点.

2.3.4 梯度进阶 再度生长

师:为落实“五育”并举工作,某中学以体育为突破口,准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球,用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同,每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元,用相同的费用,购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3∶2．

(1)足球和篮球的单价各是多少元?

(2)根据学校实际情况,需一次性购买足球和篮球共200个,但要求足球和篮球的总费用不超过15500元,学校最多可以购买多少个篮球?

设计意图第一问是列方程解决实际问题,第二问是列不等式解决实际问题.通过对比,了解何时建立一元一次方程和一元一次不等式的数学模型,理解解题的关键是找清楚各数量之间的关系,正确列出对应的关系式.

5.反刍结构,设计作业(略)

3 反思评价

3.1 循序同构 类比贯通

数学教学必须超越"碎片化教学",帮助学生建构起整体性的认识,包括很好地掌握知识的整体性结构,并能逐步学会从层次的角度进行分析和思考[4].方程和不等式是“数与代数”领域中的两大模型,整体性需要建构、层次感有待挖掘.它们都在大概念“函数”的统领之下.随着后续对函数图象的认识,我们知道,函数图象与坐标轴的交点坐标对应着方程的解,与坐标轴交点以外的点的集合对应着不等式的解集.方程表示数量关系中的相等关系、不等式表示数量关系中的不等关系,函数是描述数量的变化关系.三者构成了“数与代数”中的核心大概念,彼此相辅相成,彼此补充,自成体系又和互为核心,数学思想上从特殊到一般,又从一般回到特殊,方法上互相借鉴,彼此正向迁移,是数与代数中类比、迁移学习中的经典案例.

在数学学习中,开展类比性学习,处处可见,大到学科间的互融,学段的螺旋上升,单元的层次递进,小到概念的同化,性质定理的比较,结论命题的推演.教学中,要适时抓住每一个教学契机,带领学生进行知识、方法、结构上的类比,牢牢抓住知识衔接点、教材结构连接处,学段的延伸枝,梳理出学习的“模式”,长时间的开展专长训练,练就学生触类旁通、迁移转换、主动建构的能力,以此来融会贯通学科知识,提升数学学科素养.

3.2 变构教材 循脉生长

教学主线是教师整节课或整个单元、章节谋篇布局的某种思路,是课堂教学中各个教学点连续互动、有效交融后构建起来的教学形态,决定着课堂教学活动的方向和有效性[5].现行每一套版本的教材都有自己的教材编写理念,章节间、学段间都有内在的教学主线和逻辑关系.但也有不尽完美的地方,需要教师带领学生一起读懂教材、读懂结构、循脉探路.按照知识生长的脉络,充分考虑学生的学情,对教材进行有规律的变构,再此基础上,学生才能更好的适应教学节奏,找到知识生长的本源.

数学的学习,思想的引领始终是一条暗线,促进着学生的学科素养的养成.对教材的变构,依然遵循这一规律,从特殊到一般,又从一般回到特殊.由数及形,由形及数.厘清数量之间的关系,体现分类的思想,潜意识中进行提炼,外显后形成分类标准.站在学段的高度,以数学思想为统领,循通性通法而生长,在散落的章节中找规律,逐渐形成数学学习的一般规律,培养数学学习的学科素养.

3.3 融合技术 设计作业

大单元教学中,信息技术的融合不可或缺,“双减”背景下的作业的设计也占据着重要的一环.怎样更准确的了解学生,实现精准教学,课后作业的质量,决定数学核心素养的丰富内涵.在现有的条件下,将信息技术与课堂深度融合,在课后作业环节中通过技术反馈问题,用大数据解释行为,智能推送并自适矫正偏差,进而掌控后续课堂的节奏,以此减少倒追原因所产生的沉重代价,通过优质的作业练习,学生形成抽象能力、推理能力和模型观念.发展几何直观和运算能力都会有较大的提升.