整体观视角下数学境脉教学模式实践与探索<br/>——以“用二分法求方程的近似解”为例

整体观视角下数学境脉教学模式实践与探索
——以“用二分法求方程的近似解”为例

2024-03-03张召生王瑞菲邮编273165

中学数学教学 2024年1期

张召生王瑞菲 (邮编:273165)

曲阜师范大学数学科学学院

按照Mario Antonio Kelly博士的定义,境脉是指,“学生和教师组成的一个具体班级中,由包括课堂的物理环境(软硬件基础设施)、学生的家庭背景、认知特点、心理素质和班级的精神面貌等诸多因素结合在一起的协同作用”[1].境脉包含学生生理、心理、思维、认知、知识,以及文化、社会等多个方面.境脉教学的本质就是在教学目标的指引下,教师以学生为主体,以素养为导向,设计出一脉相承且交互性强的教学情境.境脉教学的设计带给学生全身心的参与感和沉浸式的体验感,促使学生从“获得知识”转向“参与知识”.

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课标》)指出“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质.”[2]可见,创设好情境是数学教学的关键问题之一.情境是多样的、多层次的,《课标》提出“教学情境包括:现实情境、数学情境、科学情境,每种情境可以分为熟悉的、关联的、综合的.”[2]境脉教学符合课标要求,“脉”字体现主体性、系统性、整体性,不仅指内容的整体结构(概念及其相互联系),以及前后一致的由内容反映的数学思想方法[3],更涵盖学生在境脉中所构建的认知体系、学生心理和班级风貌特点等.因此,境脉教学符合教学和学生发展的规律,应多加探索和实践.《课标》要求教师“在教学实践中,要不断探索和创新教学方式”“在教学活动中,应勇于创新,包括教学方式的创新,也包括从教学实践中总结经验……实现对自身数学教学经验的不断反思和超越”[2].教师应在实践中不断反思与提升,最终超越原经验教学.所以教师应积极探索,将学生经验、心理、知识与环境等因素整体纳入教学,搭建教学境脉,形成境脉教学.

整体观是指从全局考虑问题的观念,在整体意义上体察事物,所有因素都被纳入系统中,相互连接、结合,从而得到更优的结论.在整体观视角下,设计四条境脉,利用四种线索形成教学境脉,从而得到整体观视角下数学境脉教学模式.在教学比赛中,作者根据该模式设计“用二分法求方程的近似解”一课,学生反馈良好,取得不错的教学效果.在此展示教学模式和教学实践,一起研讨交流.

1 整体观视角下数学境脉教学模式的构建

如何构建境脉教学呢?首先要搭建四条境脉:经验境脉、心理境脉、知识境脉与环境境脉.教师要关注学生的经验境脉,即学生整体已有的认知结构与认知特点、数学学科核心素养发展水平、数学学习经验等;了解学生的心理境脉,即学生心理发展阶段特征以及学生对本节课学习的兴趣、态度、情绪等;解析课程的知识境脉,即知识本身、知识的发展历史、知识的实际应用、知识间的结构脉络、知识背后的思想方法、与其他学科知识间的融合等;熟悉教学的环境境脉,即班风班纪、教室环境、配备的数字化设备、虚拟空间、线上交流平台等.

构建教学境脉,教师需以整体观视角,审视、解析并把握教学现实和教学内容,立足于对教学现实和教材内容的全局掌控之上,展望数学核心素养的要求.教学境脉旨在推动有意义学习,帮助学生从四条境脉中获取所需,经历知识再创造的过程,促进新知融入已有的认知结构中.

整体观视角下数学教学境脉的设计,可分为四种线索:情境线索、活动线索、知识线索和素养线索[4].由情境线索引导活动线索,借助活动成果抽象知识线索,这本质上是数学化的过程,以此达到素养线索的目标.同时,四种线索灵活组合且要确保内容不偏离脉络.再者,境脉设计有三种结构,分别为:串联型、并联型和复合型[4],由此保障教师可根据教学要求设计出整体最优化的境脉教学.基于此,得到整体观视角下数学境脉教学模式,如图1.

图1

2 整体观视角下“用二分法求方程的近似解”境脉教学案例设计和实践

2.1 整体观视角下“用二分法求方程的近似解”境脉教学案例设计

以“用二分法求方程的近似解”为例,展示整体观视角下境脉教学设计和实践.

(1)整体导向,构建四条境脉

“用二分法求方程的近似解”是人教A版必修一第四章第四节《函数的应用(二)》的第二节课.基于本节内容,设计四条境脉,分析如下(如图2):

图2

首先,若以第四节为整体,二分法是零点存在定理的深入和升华;若以必修一为整体,其核心内容是高中数学四大主线之一的函数,本节课作为函数的应用而展现,以函数的观点认识方程,突出函数思想;若再以整个高中数学为整体,二分法的操作程序中蕴含算法思想,这将为必修三的学习做好铺垫.其次,在学习本节课之前,学生对近似计算有所掌握,接触过函数思想、数形结合思想,数学核心素养也有一定的发展水平.再次,高中生意志力增强,面对困难迎难而上,目标坚定努力上进,兴趣广泛而稳定,对新奇事物充满探索欲.最后,教师应了解授课班级的精神风貌、班级学风,了解教室的空间布局、设备设施等.本节课涉及到特殊函数图象、二分法迭代过程的体现,可借助GeoGeBra、几何画板等数学软件予以直观的呈现.

(2)“用二分法求方程的近似解”教学境脉具体设计

这节课采用复合型课堂结构,基于整体观设计教学境脉:借助史料,引入二分法思想.通过生活情境,解释求近似解的必要性并引出如何求近似解的问题.设计查找电路故障的情境,设计问题串,建立二分法思维.而后拆解二分法过程,总结定义与操作步骤,进行变式练习,接着回归生活情境,反馈所学成果.课上还会介绍相关数学史、应用实例、思想方法、前后知识等,让学生真正地学深悟透.如图3.

图3

2.2 整体观视角下“用二分法求方程的近似解”境脉教学实践

环节1文化带动,引入二分法思想

师:《道德经》中有“道生一,一生二,二生三,三生万物”,《庄子》中有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.这都体现了怎样的思想呢?

学生回答,教师点评并解释,引入二分法思想.

设计意图引入体现二分法思想的古籍,激发学生兴趣.

环节2为什么需要求方程的近似解

师:小王在12点30分时为病人注射了2500毫克的新型药物.药物的使用说明上标注了两点:第一,只有在血液中药物含量大于等于1500毫克时,药物才能保持疗效;第二,药物在血液中以每小时20%的比例衰减.小王最晚需在几时几分之前再给病人补充药物呢?

学生演算后回答,教师点评.

师:人类求解方程的历史源远流长.我们学习过一元一次方程、一元二次方程的解法,数学家不满于此,探索高次代数方程,最终发现五次及更高次的代数方程没有一般的求根公式.自然,包含ax、lnx等的超越方程也没有求根公式.只需求方程的近似解.究竟该如何求方程的近似解呢?

设计意图设置在学生最近发展区内的生活情境,引入不等式和方程,激发求知欲,借助方程求解的数学史,引出求近似解的必要性.

环节3采用什么方法求方程近似解

2023年7月末,超强台风“杜苏芮”强势登陆广东,某县城的电力系统因台风而出现故障.如果在由100段线路组成电路网中,有一处线路发生了故障.

问题1请问你会如何检测故障点呢?

问题2采用什么方法才是最省时省力的呢?

问题3最多检测几次就可以确定故障点呢?

问题4你能否用数学语言表达检测过程?

问题5这一方法是否可以被用来求方程近似解呢?

学生思考、计算后回答,教师点评并讲解.

设计意图通过创设生活情境,通过问题串,凸显数学源于生活、寓于生活、用于生活.将检测电路故障的二分法过程数学化,建立其与“用函数的思想求解方程”的数学联系.

环节4温故知新,回顾上节课所学

师:上节课对方程lnx+2x-6=0进行了初步探究,请同学们回忆一下.

学生思考并得出最终结论:f(x)=lnx+2x-6只有一个零点,且零点在区间(2,3)内.可列表,如表1,或画函数图象,如图4(此函数图象局部与直线相似).

表1 xy1-42-1.306931.098643.386355.6094图4

设计意图接下来将对上节例题进行深入探究,体现教学的脉络性.引导学生将新知与已有的认知结构产生联系,同时这一步也体现了数形结合中的“由数到形”.

环节5脉脉相承,探索二分法步骤

师:下面要对这个零点做进一步的探究.如何才能求出这个零点的近似值呢?

生:首先缩小零点所在区间.

师:该如何进行缩小呢?刚才的二分法可以帮助我们解决这个问题吗?

生:将区间(2,3)类比为电路网,零点类比故障点.这样一来,就可以像寻找故障点一样来求解零点近似值了.

师:非常好!类比寻找故障点的过程,第一步将区间一分为二取中点,中点为x=2.5.第二步,该如何判断零点究竟是在(2,2.5)之间,还是在(2.5,3)之间呢?

生:这和判断零点在(2,3)之间道理相同.首先计算中点函数的近似值,得f(2.5)≈-0.084.然后判断区间中点和区间端点函数值乘积的符号,得f(2)f(2.5)>0,f(2.5)f(3)<0.由零点存在定理知,零点位于(2.5,3)之间.

师:但(2.5,3)这个区间还是相对较长,该如何做才能让区间更加接近零点呢?

生:重复操作,不断地取中点,将区间不断地缩小.

师:用数学软件给学生演示区间不断缩小的过程.如图5、6、7.

图5

图6

图7

师:要二分多少次才能停止呢?换言之,需将区间缩小到什么程度才能停止呢?

生:像之前的近似计算,最终满足题目给出的精确条件就可以了.

师:这里用精确度表示精确条件.对于给定的ε,零点近似值记作x0,零点精确值记作x,只要|x0-x|<ε,就代表满足精确度.目前不知道x是多少,该如何判断|x0-x|是否小于ε呢?

生:二者都在零点所在区间内.若区间长度小于ε,那区间内任意两点之间的距离必然小于ε.

师:请大家用数学化的语言进行证明.

学生书写证明过程,教师点评.

师:由此推出了一个满足精确度的充分条件,即|a-b|<ε.

师:请同学们利用计算器求解f(x)=lnx+2x-6满足精确度为0.01的近似值.

生:7次二分后区间长度恰好小于0.01.如图8.区间(2.53125,2.5390625)内任意一点都可作零点近似值.也可将x=2.53125或x=2.5390625看作零点近似值.

图8

设计意图通过一脉相承的问题串引导学生探究.体现了数形结合中的“由形到数”,渗透了无限逼近的数学思想和程序化的算法思想.

环节6及时归纳,总结概念与方法

教师带领学生概括二分法定义、用二分法求零点近似值的步骤及口诀.如图9.

图9

师:二分法定义中提到了逐步逼近,是数学中十分重要的思想方法.我国古代数学家刘徽的“割圆术”、之后将会学习的函数求导,其核心思想都是逐步逼近.

师:感兴趣的同学课下可以了解程序框图的知识,尝试画出二分法的程序框图.

设计意图概括二分法定义,培养学生抽象能力.强调逼近取极限的思想,为之后的学习积淀经验,流程图又展现出了算法思想,归纳总结能帮助学生建构整体的知识体系.

环节7变式练习,辨析终止的条件

借助计算器,用二分法求解以下方程的近似解.

0.8x-1=lnx,精确度为0.1;

2x+3x=7,精确度为0.1;

2x+3x=7,精确到0.1.

学生计算,教师点评并讲解,着重区分两个概念:精确度与精确到.

设计意图借助变式练习区分相近概念,且变式练习可提高应变与应用的能力.

环节8情境再现,应用二分法解题

师:我们再来看最初小王遇到的难题,请大家小组合作得出最后的结果.

学生小组合作讨论得出结论,并上台展示,教师点评.

设计意图完成整节学习的闭环,且这一问题涉及函数、方程、不等式,真正实现了知识的应用,增强学生分析问题和解决问题的能力.

环节9西方历史中的二分法萌芽

在西方,二分思想同样有所发展,芝诺悖论之一便是关于二分法的.感兴趣的同学可在课下搜集资料,思考该如何来反驳芝诺的观点呢?

环节10各个领域内的二分法应用

第一,二分法应用于数据查找.因其具备程序性和高效性,面对由数字或字母组成、数据庞大且排列有序的数组时,可以用二分查找法来确定某一特定元素.在厚重的字典中查找单词,也可应用二分法.

第二,二分法应用于产品检验.大家可以思考如何利用二分法制定工厂检验次品的流程,且流程需具备可实施性、一定的准确性与高效性.

设计意图适当补充相关知识可开拓学生视野,凸显境脉的连续性与系统性.

环节11课堂小结,构建知识框架

师生进行本节课小结和整体知识框架的构建,如图10、图11.

图10

图11

设计意图有利于学生进一步理解、深入本节所学,以整体观反思所学.

3 整体观视角下数学境脉教学模式分析

好的教学设计不是一成不变的,而是全面吸收和整合利用各种资源的.整体观视角下数学境脉教学模式,以学生为中心,将学生经验、心理、知识与环境等各种因素都纳入教学,从整体上进行全面综合的教学设计,实现了“四跳出”,即“跳出讲台、跳出课堂、跳出教材、跳出教学”.跳出讲台,教师从知识的传授者转变为学习的组织者、引导者、合作者,不局限于三尺讲台;跳出课堂,从课前进行四条境脉分析及教学境脉搭建到课后及时反思,不局限于一方课堂;跳出教材,从学生经验、数学核心素养发展、知识应用、发展脉络、跨单元跨学段跨学科等方面整体设计,不局限于一本教材;跳出教学,从学生心理特点、学生认知特点、班风班纪、学习环境及设备等角度综合分析,不局限于原来某一种模式的教学.

本教学模式有以下特点:①丰富教学内容,激发课堂活力.因为整体宏观视角的指导,教师在备课时需要筹备比传统教学更多更广的内容,并以喜闻乐见的情境形式进行课堂导入,吸引学生持久的注意力,营造课堂活跃的学习氛围.②重塑课堂生态,重视学习体验.在境脉教学中,学生的主体地位得以巩固,且数字化在数学课堂中逐渐占有一席之地,教师要学会协调自身、学生和数字化三者之间的关系,打造课堂新形态.③指向完整的人,指向连续发展的社会.整体观指导下的境脉教学,其优势在于以学生为中心统筹教学的广度、深度、完整性和连续性,使学生的数学核心素养得到全面锻炼、连续发展与螺旋提升.