核心素养导向的初中数学项目化学习探究——以“如何设计与破解密码”为例

毛淑宁 (邮编:315608)

浙江省宁波市宁海县黄坛镇初级中学

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出:数学课程要培养的学生核心素养主要包括“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”三个方面.[1]因此笔者在核心素养“三会”目标的导向下开展“如何设计与破解密码”项目学习实践:学生从实际情境中提出驱动性问题“如何设计与破解密码?”,之后小组合作研究四类密码,最后为学校数学文化节设计解密游戏.在此过程中,发展数学核心素养(抽象能力、推理能力、运算能力、应用意识、创新意识等)、跨学科素养(密码学、英语、信息技术等)与团队协作素养.

图1 项目学习案例设计框架

1 项目学习背景

1.1 项目学习内容

本项目学习内容属于初中“数与代数”领域.学生研究的恺撒密码(加法密码)、乘法密码、仿射密码、因式分解密码等四类密码涉及实数运算、代数式运算、二元一次方程、因式分解等数学知识,“一一对应”的映射思想,以及密码学、英语、信息技术等跨学科知识.

1.2 学生学情

本项目学习适用于七年级学生,他们已经具备所需的数学、英语等知识.而且学生对密码学有强烈的好奇心和探究欲,能够积极主动地参与到本项目学习中.

1.3 项目学习目标

目标1观察现实情境,提出本项目学习的驱动性问题“如何设计与破解密码”,提高发现和提出问题的能力,学会用数学的眼光观察现实世界.

目标2通过小组合作,灵活运用实数运算、代数式运算、二元一次方程、因式分解等数学知识和英语、信息技术、密码学等跨学科知识研究恺撒密码(加法密码)、乘法密码、仿射密码、因式分解密码等四类密码,学会用数学的思维思考现实世界,提高推理能力、运算能力、分析与解决问题的能力,提升团队协作素养.

目标3为学校的数学文化节设计解密游戏, 学会用数学的语言表达现实世界,增强应用意识与创新意识.

2 项目学习实践

本次项目学习分为入项、研项、出项三个阶段.

2.1 入项

学生在谍战片中经常看到这样的情节:在传递情报的过程中,间谍会想尽各种办法隐藏情报的真实内容,即使敌人截获情报也无法看懂,从而确保了信息安全.由此提出问题:如何设计与破解密码?全班学生对此问题充满好奇心与探究欲,以此作为驱动性问题开展项目学习.

设计意图谍战片和密码都是学生感兴趣的话题,学生从实际情境中抽象出数学问题,提高发现和提出问题的能力,学会用数学的眼光观察现实世界,同时也能够激发对数学的学习兴趣.

2.2 研项

环节1了解密码学的基本概念

学生发现浙教版数学教材七年级下册第4章有因式分解密码,全国各地初中的期中试卷、期末试卷甚至中考卷也出现“密码”相关试题.学生通过查阅资料了解密码学的基本概念:密码学是研究如何隐密地传递信息的学科,是研究编制密码和破译密码的技术科学,它涉及的学科包括数学、计算机科学、信息论等.如图2所示,在通信过程中,信息发送者通过某种特定的算法对明文(未加密的能够直接代表原文含义的信息)进行加密使其变成密文(已加密的隐藏原文含义的信息)再将密文传输给信息接收者.这种特定的算法用到的关键数据称为密钥(用于加密解密算法的秘密参数),信息发送者将密钥告知给信息接收者,那么信息接收者就能够快速准确地将密文解密成明文.而其他人不知道密钥,所以就很难破解密文,这样就确保了通信安全.

图2 密码学的基本概念

环节2学生小组合作分别研究四类密码

全班学生分为8个小组,通过阅读教师提供的资料以及上网搜索资源等方式分别研究四类密码:第1,2组研究恺撒密码(加法密码);第3,4组研究乘法密码;第5,6组研究仿射密码;第7,8组研究因式分解密码.

环节3各小组交流分享研究成果

每个小组派代表上台分享研究成果,包括密码简述、加密解密样例和其他相关内容,使全班学生都掌握这四类密码.以下为各组分享内容:

(1)恺撒密码(加法密码)

恺撒密码是2000多年前罗马帝国的恺撒大帝与将军们交换信息时使用的密码.在恺撒密码中,明文中的所有字母在字母表中按照固定数目移动后被替换成密文,也称为加法密码.如表1所示,26个字母分别对应数字1-26.如图3所示,若约定密钥为“7”,在对字母c进行加密时,首先观察到它在字母表中对应数字3,接着进行运算3+7=10,数字10对应字母j,所以字母c加密后变成字母j.在对y加密时,它对应25,进行运算25+7=32,但是32不在1-26范围内.有学生提出字母表是以26为周期的循环,所以32等价于6,6对应f,所以y加密后变成f.还有学生通过查阅资料发现这是关于26的模运算,即32≡6(mod 26).根据加法与减法运算的互逆关系,在对k解密时,它对应11,进行运算11-7=4,4对应d,所以k解密后变成d.在对a解密时,它对应1,进行运算1-7=-6,但是-6不在1-26范围内.有学生提出:在以26为周期的循环中,-6等价于20,数字20对应字母t,所以a解密后变成t.还有学生提出:1等价于1加26的整数倍,可以利用方程进行解密,“□+7=1+26△”其中□表示明文字母对应的数字(1-26范围内),△表示整数.这个二元一次方程的结果是□=20,△=1,所以明文字母对应的数字是20,明文字母为t.

表1 字母与数字对照表

图3 恺撒密码加密与解密案例

一位学生给出密钥为7的恺撒密码密文“kv vul aopun ha h aptl, huk kv dlss.”,其他学生破译出明文“Do one thing at a time, and do well.”其含义为:一次只做一件事,做到最好.

在不知道密钥的情况下,如何破解恺撒密码呢?第1组学生制作了恺撒密码盘(如图4),外圈是明文字母,内圈是密文字母,二者一一对应,只需要转动内部的轮盘,就可以轻松地加密解密,最多尝试26次就能够破解恺撒密码.第2组学生利用Python编写程序,在计算机的帮助下快速破解恺撒密码.

(2)乘法密码

乘法密码是将明文的字母所对应数字乘某个特定数字后被替换成密文.如图5,若约定密钥为“3”,在对a加密时,它对应1,进行运算1×3=3,3对应c,所以a加密成c.在对r加密时,它对应18,进行运算18×3=54,在以26为周期的循环中,54等价于2,2对应b,所以r加密成b.根据乘法与除法运算的互逆关系,在对x解密时,它对应24,进行运算24÷3=8,8对应h,所以x解密成h.在对h解密时,它对应8,学生进行运算8÷3=8/3,不是整数怎么办呢?有学生提出8等价于8加26的整数倍,利用方程进行解密,“□×3=8+26△”其中□表示明文字母对应的数字(1-26范围内),△表示整数.这个二元一次方程的结果是□=20,△=2,所以明文字母对应的数字是20,明文字母为t.学生发现若密钥为“3”,则每个字母的加密结果是不同的,所以“3”是好密钥.但是若密钥为“2”,则有些字母的加密结果是一样的(例如a,n加密结果均为b),所以“2”是坏密钥.学生通过尝试、猜想、验证的方式发现:与26互质的数字是乘法密码的好密钥,其他数字为坏密钥.

一位学生给出密钥为3的乘法密码密文“hqs xocle cbo fohhob hxcp spo.”,其他学生破译出明文“Two heads are better than one.”其含义为:三个臭皮匠顶个诸葛亮,强调团结合作的必要性.

(3)仿射密码

仿射密码是加法密码与乘法密码的结合.先选择乘法密码的一个好密钥a(a与26互质),再选择加法密码的一个密钥b,那么数对(a,b)为仿射密码的一个密钥.利用它加密时,先乘a,再加b,接着关于模26化简.如图6,若约定密钥为(3,7),在对a加密时,a对应1,计算1×3+7=10,10对应j,所以a加密为j.在对r加密时,r对应18,计算18×3+7=61,在以26为周期的循环中,61等价于9,9对应i,所以r加密为i.在对n解密时,n对应14,可以利用二元一次方程“3×□+7=14+26△”其中□表示明文字母对应的数字(1-26范围内),△表示整数.这个方程的结果是□=11,△=1,所以明文字母对应的数字是11,明文字母为k.

图6 仿射密码加密与解密案例

图7

(4)因式分解密码

因式分解密码需要编制密码本(如表2),使每个汉字对应一个代数式,若要对“富强民主”加密,先在密码本中找到这四个汉字对应的代数式分别为:11,m,m+n,m-n,接着利用整式乘法进行运算:11m(m+n)(m-n)=11m3-11mn2,所以“富强民主”加密为“11m3-11mn2”.若要对“xym2-xy”解密,先对其因式分解xym2-xy=xy(m+1)(m-1),接着在密码本中找到x,y,m+1,m-1这四个代数式对应的汉字,所以“xym2-xy”解密为“文明和谐”.如表3所示,学生将社会主义核心价值观进行加密解密,增强对社会主义核心价值观的情感认同并融入到行为习惯中.

表2 密码本

表3 因式分解密码加密与解密案例

环节4归纳总结

学生在教师的指导下进行总结,四类密码涉及实数运算、代数式运算、二元一次方程、因式分解等七年级数学知识,“一一对应”的映射思想,以及密码学、英语、信息技术等跨学科知识.

设计意图在研项阶段,学生先了解密码学的基本概念,再小组合作、交流分享四类密码,接着由师生共同总结四类密码.学生学会用数学的思维思考现实世界,提高了推理能力、运算能力、分析与解决问题的能力以及团队协作素养.此过程充分凸显学生的主体地位,而教师在恰当的时机为学生提供学习支架,发挥主导作用.

2.3 出项

每个小组为学校的数学文化节设计一份解密游戏方案,由学生和教师一起选出最受欢迎的方案.按照此方案将本班级布置成为解密游戏场馆,在数学文化节时邀请其他班级学生来体验解密之旅.

设计意图学生将项目学习的成果公开展现在全校师生面前,收获成就感和满足感,提升数学学习的自信心.

3 项目学习评价

本项目学习的评价贯穿于整个项目过程,既关注项目成果,更关注学生个体与团队的学习过程,具有多元化的评价主体(教师、学生、家长等)、多样化的评价方式(形成性评价与终结性评价、定量评价与定性评价等)、多种评价工具(评价量规、数学题、项目化作业、学习单等).

4 项目反思与总结

4.1 项目设计应契合课标要求

从学习目标分析,本项目学习紧密围绕“三会”目标开展“入项、研项、出项”三阶段,致力于让学生学会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界,符合新课标对数学课程目标的要求.

从学习内容分析,现代密码学的算法对于初中学生来说太深奥,所以本项目学习选择恺撒密码(加法密码)、乘法密码、仿射密码、因式分解密码这四类最简单的密码进行研究,其中涉及的知识与方法都在七年级学生可接受的范围内,符合课标对教学内容的要求.

从学习方式分析,本项目学习以问题解决为导向,整合数学与密码学、英语、信息技术等学科的知识和思想方法,让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题,感受数学与其他学科领域的融合,积累数学活动经验,体会数学的科学价值,提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力,发展应用意识、创新意识和实践能力.[1]

4.2 项目设计应考虑学生需求

学生对密码学非常感兴趣,积极主动地参与到本项目学习中,体会数学在生活中的广泛应用,获得四基,发展四能,提升数学核心素养、跨学科核心素养以及团队协作素养,提高对数学学习的兴趣和自信心,而且学生在解决“密码”相关试题时也更加得心应手.另外,学生设计的密码包含社会主义核心价值观与励志的名人名言等,是对学生品格的熏陶.