APOS理论视角下的初中数学概念教学

摘  要：概念教学旨在通过引导学生经历概念探究的完整过程，提高学生的数学核心素养.文章通过APOS理论研究，对“认识三角形”的教学再设计，改进了原有的教学模式.

关键词：认识三角形；概念教学；初中数学

中图分类号：G632    文献标识码：A    文章编号：1008-0333（2024）02-0002-03

收稿日期：2023-10-15

作者简介：崔园园（1999.7-），女，江苏省盐城人，硕士，中学二级教师，从事初中数学教学研究.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在对“会用数学的思维思考现实世界”的解释中指出：通过经历独立的数学思维过程，学生能够理解数学基本概念和法则的发生与发展，数学基本概念之间、数学与现实世界之间的联系［1］.基于此，如何有效进行概念教学是数学教师值得研究的问题.

1 问题提出

从教育者的角度来看，教师虽然意识到概念教学的重要性，但要形成一节完整的概念教学课耗时较多，若留给学生大量的探究时间，则会减缓教学进度.反之，大部分教师更愿意将时间花费在解题上，通过题海战术来实现学生对概念的巩固与理解.从学习者的角度来看，初中学生的数学抽象水平仍处于一个较低的层次，教师如果不能引导学生经历一个完整的概念形成过程，很难培养学生发现问题与提出问题的能力.

因此，在进行概念教学时，教育者需要参考已有的相关研究，改进教学模式，充分调动学生的主动性.

2 APOS理论概述

APOS是美国学者杜宾斯基提出的建构主义学习理论，该理论的前身是皮亚杰的“自反抽象”，自反即“反自”，意为抽身而出，对于自己结束的活动进行观察与反思，从而最终经过抽象得出一个比较严谨的结论［2］.之后，杜宾斯基对于这一理论进行了再认识，最終形成 “APOS”理论.该理论主要分为四个阶段：Action（活动阶段）、Process（程序阶段）、Object（对象阶段）以及Schema（图式阶段）.

3 教学案例

本文以“认识三角形”为例，将APOS理论融入初中数学概念教学过程中.

3.1 操作阶段

操作阶段又为“活动阶段”，学生通过一系列的活动，初步建立对于所学概念的直观感知.此处的活动不局限于观察、操作、探索及归纳等外显活动，还包括内隐活动，即学生对于头脑中已有的经验性知识进行回忆与反思.

①外显—观察

问题1：请同学们观察课件上两张图片，你能从中看出哪些熟悉的图形？

问题2：除了上述图片，你能从日常生活中再找出一些熟悉的三角形的实物吗？

②内隐—回忆

问题1：请你们尝试着回忆小学阶段中已经学习过的三角形的相关知识.

问题2：有学生会问，为什么我们之前已经学习过三角形，现在还要学习？那么我们回顾之前获得这些知识的过程，发现大部分知识都是通过观察得出的，数学是一门严谨的学科，那么这些知识是否正确？你该如何验证？

设计说明：首先，引导学生从生活实例中抽象出几何图形，引出本节课的课题，并依据几何图形想象出所描述的实际物体，初步建立学生的空间观念；其次，提问学生已经学习的三角形的相关概念，学生回忆在小学阶段已经学习过三角形的概念，师生共同归纳出结构框图，也建立起几何概念的学习体系.

3.2 程序阶段

程序阶段是指对于活动阶段进行反思，对活动中所得的经验进一步抽象，从而得出概念本质特征.

活动1：规范定义

①内隐—回忆

问：我们刚刚回忆时谈到三角形的概念，请你说说什么叫三角形？

学生回答各不相同，但基本上不能完全准确地说出三角形的概念.

②外显—操作归纳

师：请同学们拿出木棒搭建三角形，并从搭建好的三角形中挑选出“特殊”的图形.

学生按照教师提示拿出木棒搭建三角形，并将自己搭建好的三角形与课件上两张图片对比，从而完善三角形概念.

活动2：符号表示

①外显—观察

问：观察课件上的屋顶框架，指出其由几个三角形构成，分别是哪些？

②内隐—思考

问题1：回忆三角形构成要素.

问题2：类比角的符号表示，用符号表示三角形并完善表格，最终解决①中的问题.

问题3：屋顶框架是由哪些三角形构成的？

活动3：明确分类

①内隐—回忆

问题1：结合所学知识，你能给三角形分类吗？

问题2：有学生提到按角可以分为钝角，锐角和直角三角形，也有同学提到按边可以分为等腰三角形和等边三角形，请思考：这两位同学各自的分类是否能够包括所有的三角形？如果不能，请你指出哪一种分类存在瑕疵？

师生共同归纳三角形的准确分类.

②外显—操作

课件出示一些三角形的图片并进行分类.

活动4：探究性质

①外显—操作

问题1：拿出5根长度分别为3 cm，4 cm，5 cm，6 cm，9 cm的吸管，任意取出3根首尾相接搭三角形，你可以搭出几种不同的三角形？

问题2：哪些情况下小木棒经过组合能构成三角形？哪些情况下小木棒经过组合不能构成三角形？

师：在经过上述问题的初步探究之后，我们有同学已经提出：三角形两边之和大于第三边.但在这个过程中数据量还是比较少的，接下来请看老师用几何画板进行的操作展示.

②内隐—思考

问题1：将三角形三边关系的文字语言转化为符号语言.

问题2：你能否用我们已经学习的知识来证明该结论？请同桌二人相互讨论.

问题3：在探索“三角形任意两边之和大于第三边”的过程中，你是否有其他结论？

问题：关于“三角形任意两边之差小于第三边”的证明，留给你们课后思考.

设计说明：在三角形概念引入的过程中，小学是直接通过观察，教师总结概念得出，因此在活动1中，对小学学习中三角形概念进行了进一步的完善，增加了“不在同一条直线上”；活动2通过三角形框架这一模型认知冲突，学生体会到符号表示的必要性，进一步认识三角形的基本元素，学生在这个过程中“会用数学的思维思考现实世界”.

3.3 对象阶段

对象阶段是对操作阶段和过程阶段的延续与拓展，这一阶段是对前面两个阶段得出的概念进行符号化，实现“压缩”和“解压缩”的过程.

例1  下列数据中，能组成三角形的有（  ）组.

① 3，8，10；② 5，2，7；③ 5，5，11；④ 13，12，20.

A.1     B.2     C. 3    D. 4

问题：在解决上述问题的过程中，有没有能够快速判断构成三角形的方法？

变式1：在三角形中，已知一边长是4 cm，另一边长是8 cm，求第三边a的取值范围；

变式2：在上述三角形中，若第三边是偶数，求第三边；若第三边是奇数，求第三边.

例2  已知等腰三角形的一边是5 cm，另一边是7 cm，求这个三角形的周长.

变式：若等腰△ABC周长为30，AB=6，求其余边的长.

设计说明：通过上述例题，引导学生在解决问题的过程中学会总结方法.在变式训练中，学生需要进行分类讨论，呈现知识的层次性.在这个过程中，学生逐步“会用数学的语言表达现实世界”.

3.4 图式阶段

图式阶段是对前三个阶段进行整合，学生在此阶段已经具备相应的知识与经验基础，该阶段主要是将新知纳入已有认知，对认知结构进行整合.

任务1：绘制出本节课学习内容的框架.

任务2：讨论本节课和之前学习三角形相关概念的区别.

设计说明：图式环节既巩固了前三个阶段，也引导学生发现前后学习内容的区别，学生的图式结构得到进一步完善.

4 思考与启示

在APOS理论的指导下，学生在活动中获取知识，在反思中理解概念，最终完成概念学习.在教学中，四个阶段运用APOS理论时需注意以下几点.

4.1 创设情境

活动阶段需要创设合适的情境，该阶段是学生学习新知识的起点，若以纯粹的数学性知识引入，学生会觉得枯燥乏味.首先，情境的创设要能够体现教学目标，有利于教学活动的展开；其次，情境的选择需要具有真实性，需联系学生的已有经验，否则会影响学生对概念探究的兴趣；最后，选择情境时还需注意情境的多样性.

4.2 巧设问题串

程序阶段要巧妙设计问题串.首先，问题串的设计需要体现出教学过程中的重难点，在整个过程中教师须发挥引导作用，通过问题串引发学生的认知冲突；其次，问题串的设计要具有層次性，后一个问题的提问是对前一个问题的补充和拓展，学生能够在问题串的回答过程中不断接近知识全貌，对学生自主探究概念的过程有一定的启发性.

4.3 变式教学

对象阶段是集“压缩”与“解压缩”于一体的过程，其主要功能是对“活动阶段”和“程序阶段”进行内化.该阶段主要是通过例题和习题呈现，但是题目的呈现不能是简单机械地重复，需要教师挑选出典型例题，对题目中的条件与结论进行变式，不断变换题目中的非本质特征.学生能不断抽象出概念本质特征，教师还应给予学生一定的自主性，引导学生自主对题目进行变式，也可以呈现出一些开放式的题目，多给学生一些反思和归纳的时间与空间.

4.4 灵活运用APOS

APOS理论具有一定指导意义，没有固定的模式，教师在进行教学设计时，应充分考虑知识结构及学生的学情，进行合理的分阶段设计，适当对四个阶段进行重组和补充.

5 结束语

通过应用APOS的四阶段理论来指导概念教学，学习者可以更好地理解概念的生成过程，主体性地位在进一步增强，从而提升了他们的思维水平.

参考文献：［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］ 张丽娟.基于APOS和知识迁移理论的初中数学概念教学研究［D］.济南：济南大学，2020.

［责任编辑：李  璟］