水平划分视域下初中生几何直观能力的培养策略

摘  要：在新课程标准下，随着课程目标从知识本位转向素养本位，明确数学课程要培养学生的核心素养.几何直观是初中数学核心素养之一，发展学生的几何直观能力有助于其更好地理解概念的本质及探索规律，将抽象的数学对象直观化、显性化.几何直观能力的培养有助于思维能力及创新能力的发展.文章基于几何直观能力的水平划分，给出了相应的教学策略.

关键词：初中数学；水平划分；几何直观；培养策略

中图分类号：G632    文献标识码：A    文章编号：1008-0333（2024）02-0035-03

收稿日期：2023-10-15

作者简介：王焕然（1996.1-），男，研究生，中学二级教师，从事初中数学教学研究.

基金项目：本文系福建省厦门市思明区教育科学“十四五”规划 2022年度课题“初中生几何直观能力培养的策略研究”的阶段性研究成果（课题编号：W2022Z0031）

在初中数学教学中，学生能力的培养离不开几何直观.几何直观能力不仅在“图形与几何”领域的学习中发挥着重要作用，而且也可以在“数与代数”领域借助图象的直观来研究函数的有关性质；在“统计与概率”领域可以借助统计图的可视化来解决实际问题；在“综合与实践”领域也可以通过数学化抽象出几何模型解决地理、经济中的跨学科问题.

1 几何直观的内涵及其形成的载体

《义务教育数学课程标准（2022年版）》新增了“增加代数推理，加强几何直观”的要求［1］，由此可以看出几何直观的重要性.几何直观是由“几何”和“直观”两部分组成，而“几何”最早在古希腊时期实际所指的就是“土地”与“测量”［2］，显然，几何直观与实际问题是息息相关、不可分割的.由此可见，培养学生几何直观能力，对于学生解决一些实际問题是有帮助的.反之，学生在实际问题的解决中也会进一步加深对几何直观的理解.

例如，在学习“数与代数”时，学生可以借助数轴的方向性直观地理解正负数所代表的含义——具有相反意义的量；在学习“实数”时，学生可以利用数轴直观证实2，π等非有理数是真实存在的；在学习“方程、方程组”时，可以借助画图让学生直观地感受二元一次方程中两个变量之间的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是其对应的二元一次方程组的唯一解；在学习“不等式（组）”时，学生可以利用数轴直观地表示不等式（组）解集；在学习“函数”时，学生可以结合函数图象研究函数的性质.在“形”中猜想，在“数”中证明，使函数的学习更加完备；在学习“统计与概率”时，数据收集、数据分类、数据整理与数据表达的有关内容主要借助统计图直观描述数据，使学生更加清晰地分析问题和解决问题；而在解决抽样与数据分析、随机现象发生的可能性、随机事件的概率等问题时，可以利用散点图、树状图等直观地分析可能性.由此，可以利用几何图形分析实际情境，解决数学问题，促进学生几何直观的形成与发展；在学习“综合与实践”时，在解决有关科学、技术、金融问题的过程中，可以建立相关的数学模型，通过对模型的分析得出相应的结论.

2 基于水平划分几何直观培养策略

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对每个核心素养的表现作了精确的界定.分别对其从“内涵”和“表现”两个方面作出描述.表现又分为关键能力、必备品格、价值观念三个方面.学者喻平认为，对于关键能力表述可以把数学核心素养划分为三级水平：知识理解（水平1）、知识迁移（水平2）、知识创新（水平3），得到了下表具体描述［3］.

基于以上划分，结合教学实践，可以提炼以下教学策略.

2.1 “看图”索骥，明确组成要素

例1  如图1，四边形OACB的四个顶点的坐标分别为（0，0），（0，6），（4，6），（4，0），对角线OC与AB交点D，则D的坐标为.

本题考查目标属于知识理解（水平1）层面，主要考查学生能否抓住关键条件解决问题，即在解决问题时要从四边形OACB的边入手.通过调查发现，学生缺乏这种问题解决意识，对坐标的意义理解不足，无法把坐标之间的数量关系转化为点之间位置关系.两者之间的转化，可以帮助学生在空间中更直观地理解和刻画点之间的相对位置.

在初中数学教学中，教师要注重培养学生系统性思维的习惯，引导学生能够将问题和信息放入一个整体框架中进行思考，关注问题之间的相互关系和影响，能够从整体和细节两个层面来分析问题.对于图形的初步认识，就是要先看到图形的基本组成元素，即要判断给定的图形是平面图形还是立体图形，是直线形还是曲线形.若为直线形，有几条边，有几个角.在教学中，教师要引导学生从整体和局部等不同角度去观察图形的特征、性质以及组成要素等，明确元素之间的位置关系、大小关系，用发现的眼光看图形，加强学生的观察能力和判断能力的锻炼.最后，根据图形特征对图形进行系统分类，有助于学生对图形的认识和理解.

2.2 “画图”分析，建立数形关系

例2  已知点P（b，12-b）在第一象限内，且到x轴与y轴的距离相等，点B在y轴正半轴上，连接BP，过点P作BP⊥AP交x轴正半轴于点A，则OA+OB=  ．

本题考查目标为知识迁移（水平2）层面，解决本题时需根据已知条件画出符合要求的图形，由“数”到“形”，根据已知条件求出点P的坐标，然后利用全等三角形性质进行线段的转化与计算，最终求出OA+OB的长度.

画图是几何直观形成过程中必不可少的步骤之一. 在解决数学问题时，通过画图，可以有效提取题干中的数学信息，进而将文字信息加工成图形信息，然后借助图形处理、解决问题，这是培养学生几何直观的重要途径.正确画图是学生薄弱技能，在初中数学教学中，教师要引导学生仔细阅读题目，确保对已知条件中的相关信息有清晰的认识，然后根据已知条件绘制基本图形，添加细节，要引导学生细致、准确地绘制每个要素.最后进行校验和调整，把错误或不符合要求的地方，及时进行调整和修正，以确保绘制的图形与描述相符.

例3  已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠ABC＝67.5°，弧BC的长为22π．点P是射线BC上的动点，BP=m（m≥2）．射线OP绕点O逆时针旋转45°得到射线OD，如图2所示．点Q是射线OD上的点，点Q与点O不重合，连接PQ，PQ=n．

（1）求⊙O的半径；

（2）当n2=m2-2m+2时，在点P运动的过程中，点Q的位置会随之变化，记Q1，Q2是其中任意两个位置，探究直线Q1Q2与⊙O的位置关系．

本题主要考查知识迁移（水平2）层面，在问题（2）中探究点 Q 位置变化规律的思维过程有如下环节：①发现“垂径结构”，从而得到等腰直角三角形△OEC 的边、角信息；②基于对等式 n2=m2-2m+2 结构特征的观察，变形为 n2=（m-1）2+1，再结合图形中的线段数量，联想勾股定理，找到Rt△OEP，从而发现 OP=n=PQ；③发现“一线三直角模型”，并得到模型的性质；④观察与点Q有联系的线段长度或角度，发现QF＝CF，从而发现点Q在定直线上.上述环节中，②④是探究过程的关键点，也是难点.同时也充分反映了“数”与“形”之间的联系：观察代數结构特征，解释几何关系.

2.3 “用图”解题，运用图形分离

例4  探究活动

（1）知识回顾.如图3，王芳把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是  ．

（2）直观感知.如图4，李明把一块四边形的玻璃打成四块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是     ．

（3）问题探究.在平面几何里，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．类似的，我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形．也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等．

已知：如图5，在四边形ABCD与四边形A′B′C′D′中，AB=A′B′，BC=B′C′，CD=C′D′，DA=D′A′，∠ABC=∠A′B′C′．求证：四边形ABCD与四边形

A′B′C′D′是全等四边形．

本题考查目标属于知识创新（水平3）层面.首先，需深入了解实际情境，对问题的需求和限制要有清晰的认识；其次，分析图形，建立数学模型，对于四边形全等的问题，需利用类比思想方法将陌生问题转化为熟悉的数学问题；最后，验证和解释结果，建立实际情境和数学模型之间的关系.

在图形之间相互转化的过程中，要通过分析已知条件，重新绘制几何图形，感受图形由单一的几何图形到多个图形形成的组合图形的生成过程，从而发现复杂图形中的基本图形，进而找到组合图形中单一图形的性质与规律.

3 结束语

几何直观能力的培养对于学生的认知发展、问题解决和创新能力的培养都具有重要的意义.水平划分为教师提供了一个新的模式，对学生的学业成就进行具体刻画，也为单元作业设计、考试命题提供了可行性的方法.但是，在教学中要与具体教学内容建立联系，引导学生通过“看图”索骥、“画图”分析、“用图”解题等具有可操作性过程体会几何直观.

参考文献：［1］ 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社， 2022.

［2］ 蔡宏圣.几何直观：小学数学教学的视角［J］.课程·教材·教法，2013（5）：109-115.

［3］ 喻平.《义务教育数学课程标准（2022年版）》学业质量解读及教学思考［J］.课程·教材·教法，2023（01）：123-130.

［责任编辑：李  璟］