应用齐次化解决解析几何中定点定值问题

摘要：应用齐次化方法解决圆锥曲线定点、定值等问题，成为近年来高考试题的主流趋势.这是一种新型创新方法，倍受高考命题者和高中教师青睐.本文中尝试从斜率基础知识讲起，结合例题力求将齐次化方法讲明白.

关键词：齐次化;平移;构造;二次曲线;定点；定值

文＼中，详尽论述了圆锥曲线上不共线三点定理关于定点、定值的问题，提到了利用原点平移法解决复杂的计算.文＼中，阐述了如何突破解析几何中的超量运算问题.两篇文章中均是研究如何破解解析几何中复杂运算的方法.然而最近几年高考中考查圆锥曲线定点、定值等问题，仍然是焦点，面对复杂的运算，如何将题目背景、考查思维方式分析透彻成为一种主流趋势.应用齐次化方法解决高考中圆锥曲线定点、定值等问题，应运产生.这是一种新型创新方法，倍受高考命题者和高中教师青睐，但一部分教育教学人员对此意义、使用原理存在疑问，了解不全面.因此，本文中尝试从基础知识开始讲起，结合例题，争取把齐次化方法的原理讲清楚.

1 预备基础知识

（1）直线l上两个不同点P（x，y），P0（x0，y0），满足x≠x0，此时直线l的斜率存在且为k=y－y0x－x0；当

x0=0，y0=0，即P0为原点O时，斜率k=yx.

（2）对于二次曲线Ω：f（x，y）=Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0（A2+B2≠0），文中主要考虑C=0，即f（x，y）=Ax2+By2+Dx+Ey+F=0（A2+B2≠0）的情形.

当过点P0（x0，y0）作两条直线与二次曲线有两个不同交点M（x1，y1），N（x2，y2），且f（x0，y0）=0时，则k1=y1－y0x1－x0，k2=y2－y0x2－x0，k1+k2=y1－y0x1－x0+y2－y0x2－x0，k1·k2=y1－y0x1－x0·y2－y0x2－x0.

（3）直线方程有几种设法，用常数“1”代换，转化为二次齐次化方程.一般直线不过定点（x0，y0），如

λ（x-x0）+μ（y-y0）=1（λ，μ∈R）.①

再如y－y0=k0（x－x0）+m，即

（y－y0）－k0（x－x0）m=1（m≠0，m∈R）.②

（4）当直线方程代入二次曲线时，如何把方程齐次化？下面给出一般情况：

A［（x－x0）+x0］2+B［（y－y0）+y0］2+D＼5［（x－x0）+x0］·1+E［（y－y0）+y0］·1+F=0.

上式可化成

A（x－x0）2+B（y－y0）2+（2Ax0+D）（x－x0）·1+（2By0+E）（y－y0）·1=0.③

又f（x0，y0）=Ax20+By20+Dx0+Ey0+F=0，再将直线方程①或②的左边看成一个整体1代入③式.

如代①式，其中x－x0≠0，关于y－y0x－x0的一元二次方程有两不等实根，即③式化为

［B+（2By0+E）μ］y－y0x－x02+［（2Ax0+D）μ+（2By0+E）λ］y－y0x－x0+［A+（2Ax0+D）λ］=0.④

令t=y－y0x－x0，a=B+（2By0+E）μ，b=（2Ax0+D）μ+（2By0+E）λ，c=A+（2Ax0+D）λ，则④式转化为关于t的一元二次方程at2+bt+c=0（a≠0），其判别式Δ=b2－4ac>0.

2 典型例题应用

引例  （2022年全国新高考卷理第21题）已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan ∠PAQ=22，求△PAQ的面积.

解析：（1）由题意易得双曲线方程为x22－y2=1.

（2）方法1.双曲线方程平移为（x－2）22－（y－1）2=1.

设直线l的方程为y=kx+m，则

y－kxm=1（m≠0）.⑤

平移后的双曲线方程整理为

2y2－x2+4x·1－4y·1=0.⑥

把⑤代入⑥，齐次化为

2－4myx2+4+4kmyx－1+4km=0 ，

2－4m≠0，Δ=4+4km2+42－4m1+4km>0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

由韦达定理，得

kPA+kAQ=y1x1+y2x2=4+4km2－4m=0.

解得k=－1.

方法2：双曲线的方程可化为［（x－2）+2］22－［（y－1）+1］2=1，变形整理，得

（x－2）2－2（y－1）2+4（x－2）·1－4（y－1）·1=0.⑦

直线l不过点A，设其方程为

m（x－2）+n（y－1）=1（m，n∈R）.⑧

把⑧代入⑦，得（4m+1）（x－2）2－（4n+2）＼5（y－1）2+（4n－4m）（x－2）（y－1）=0.

整理为（4n+2）y－1x－22－（4n－4m）y－1x－2－（4m+1）=0，其中4n+2≠0，Δ=（4n－4m）2+4（4n+2）（4m+1）>0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理得kPA+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=4n－4m4n+2=0，即m=n.

所以kPQ=－mn=－1，即直线l的斜率为－1.

评注：2022年全国新高考数学卷中考查到定值问题即kPA+kAQ=0，则直线PQ斜率为定值.相对通法通解，利用齐次化法解决与直线斜率有关的定值、定点等问题很奏效，因此倍受關注.这种方法主要是绕过常规运用韦达定理比较复杂的运算，但实质还是使用代数的方法把和直线与曲线相交的点的斜率齐次化，使用齐次化后新的一元二次方程的韦达定理，本质上与原命题等价.这也体现了解析几何处理问题形式简捷、对称的数学美学思想.

下面再通过两个例题具体解释利用齐次化方法解决问题的详细过程和注意要素.

例1  （2021年高三模考）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点A（0，1），离心率为22.

（1）求椭圆C的方程.

（2）若过点A作圆M：（x+1）2+y2=r2（r>0）的两条切线分别与椭圆相交于点B，D（不同于点A）.当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

解析：（1）易得椭圆的方程为x22+y2=1.

（2）把原点平移到点A，点A坐标为（0，0），则新坐标系（下面均指新坐标系下的问题）中，椭圆的方程可化为x22+（y+1）2=1，圆M的方程可化为（x+1）2+（y+1）2=r2（r>0）.设过点A与圆M相切的直线方程为y=kx，则r=|k－1|1+k2，即

（r2－1）k2+2k+r2－1=0.⑨

由于点A在⊙M外，故0

0=2y2+x2+4y·1=2y2+x2+4y·（mx+ny），即（4n+2）y2+4mxy+x2=0，两边同除x2（x≠0），得

（4n+2）yx2+4myx+1=0.⑩

方程⑩中4n+2≠0，Δ=16m2－4（4n+2）>0.由韦达定理，得y1x1·y2x2=14n+2=1，即n=－12，m≠0.代入直线BD：mx+ny=1，得mx－12y=1，故直线BD过定点（0，－2）.还原到原坐标系，直线BD过定点为（0，－3）.综上所述，直线BD过定点（0，－3）.

评析：本题坐标平移是为了在代入直线方程时易于齐次化，且把直线斜率化为yx的形式，从而利用直线AB，AD与圆M相切时找到题中隐含条件y1x1·y2x2=1.一般地，椭圆上三个不同点，其中一个为定点，另两个为动点，若斜率之积为定值，则两动点所在直线过定点［1］.最后注意，新坐标系下点的坐标要还原.另外，也可以通过直接构造而不通过坐标平移来齐次化，即x22+［（y－1）+1］2=1，直线BD方程为mx+n（y－1）=1，由y1－1x1·y2－1x2=1，可直接得到直线BD过定点（0，－3）.

下面再看例题2，仔细体会.

例2  （2022年高三模考）已知轨迹E上任一点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和M到定直线l：x=4的距离之比为22.

（1）求轨迹E的方程，并说明轨迹表示什么图形？

（2）设过点A（0，－1）且斜率为k1的动直线与轨迹E交于C，D两点，且点B（0，2），直线BC，BD分别交圆x2+（y－1）2=1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，问是否存在实数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由.

解析：（1）轨迹E的方程为x28+y24=1.

（2）椭圆方程可化为x28+［（y－2）+2］24=1，将直线CD的方程y－2=k1x－3化为（y－2）－k1x－3=1，代入椭圆方程，化简可得2（y－2）2+x2+8（y－2）·（y－2）－k1x－3=0，整理为

2y－2x2－8k1y－2x－3=0，B11

其中Δ1=64k21+24>0.

设直线PQ：y－2=k2x+m，即（y－2）－k2xm=1（m≠0），代入

x2+［（y－2）+1］2=1，得

1+2my－2x2－2k2my－2x+1=0，B12

其中Δ2=2k2m2－41+2m>0.

由题意知，方程B11和B12是同解方程，于是21+2m=－8k1－2k2m=－31，解得m=－65，k2=85k1.

故存在λ=85满足k2=λk1.

评注： 本题的解法没有进行坐标的平移，而是通过构造法构造关于y－2x的一元二次方程，运用点B，P，C和点B，Q，D分别三点共线，转化为对应的方程B11和B12是同解方程，从而实现系数成比例的转化，达到最终目的.注意，若所设的直线方程为斜截式，可构造常数1=（y－y0）－k（x－x0）m（m≠0），同时，曲线方程可转化为f（y－y0，x－x0）=0，其中（x0，y0）为题中直线所过的定点.由例1不难发现，所设直线方程的形式为斜截式、一般式比较容易构造出常数1，为将直线方程代入曲线方程齐次化处理作准备.

3 总结

齐次化构造一元二次方程，必须考虑二次項系数非零、判别式为正，保证后续运用韦达定理的正确性.对于二次系数为零的情况要注意讨论.这种方法的出现，既体现了命题者的智慧，也体现了答题者精巧、简捷的思维.而教育教学人员更是心有灵犀一点通，将命题与答题巧妙结合实施教学启发，进一步锤炼、加工，未来使齐次化方法变成新的通解通法.

利用齐次化方法解决直线与曲线相交问题中，定值、定点问题相对目前公认的通法通解来讲，运算过程易于把握，可减少出错的可能，但是新的方程下的使用也必须满足一元二次方程有两个不等实根.而对于圆锥曲线的其他问题，如点的坐标、线段、三角形、多边形面积的范围或最值等，就一筹莫展了.因此，通法通解有其广泛性.使用齐次化方法解决问题时，力求用好用准，同时注意问题的等价转化.随着高考改革的深入，伴随国家选用人才方式的调整转变，高考数学所考查的解题方式也发生着深刻变化，因循守旧、照本宣科行不通了.这需要我们数学教育教学工作者具有创新意识，在创新中解决新的变化，共同推进新时代背景下数学核心素养的发展新格局.

参考文献：

［1］刘小树.探究原点平移变换解决圆锥曲线上不共线三点问题＼.中学数学，2021（1）：53-54，56.

［2］刘小树.例谈如何突破解析几何的超量运算＼.中学数学，2021（5）：39-40.