新情境下的解析几何综合题命制

刘粲辰 刘子奕 王桢宇

摘要：通过一道新情境下解析几何试题命制的过程，揭示解析几何试题对于直观想象、数学运算核心素养的培养价值，探索科学备考途径.

关键词：解析几何；试题命制；数学运算

1 原创试题

图1是一款新型多功能无人机，兼具航拍、监测、跟踪、定位、巡逻等功能.无人机机架采用对称排列结构便于抵消反扭距，所以旋翼多采用偶数对称排列.其机架形状的俯视图可看作曲线Γ：x4λ2+y4λ2=2x2y2λ2+1（λ>0）的一部分（图2）.

（1）求曲线Γ上一点到原点距离的最小值.

（2）过曲线Γ上一点P作两条直线l3和l4，与已知直线l1：y=x和l2：y=－x，有l2∩l3=A，l1∩l4=B，l3∥l1且l4∥l2.同时l3，l4分别与Γ交于两点C，D.曲线Γ是否存在无数个这样的点P，使得SOAPB=S△CDB.若存在，请求出该面积的值；若不存在，请说明理由.

2 设计思路

命题的初衷是以解析几何为载体，考查数学运算与直观想象核心素养，把高考的导向考出来，把

教学的成果考出来，把学生的能力区分开，把学生的努力考出来.考查内容为双曲线的图形、性质、直线的平行与垂直、斜率、点到直线距离公式、面积公式、直线与圆锥曲线位置关系等，涉及的方法主要是坐标法，即用代数的方法研究几何问题.由于设置了问题背景，因此需要学生通过阅读材料提取信息，并完成解答.

3 试题命制过程

3.1 学习探究阶段

命制思路来自于笔者研究的北京卷 “心形曲线”（图3），它其实是两个斜椭圆（图4）的拼接，站在椭圆的角度去理解題目，可以清晰看到设计思路，且容易完成解答.将焦点在坐标轴上的椭圆转化为斜椭圆，可以采用复数或向量的方法进行旋转，这均是课本内容，学生较容易理解，而通过旋转，可以将常规问题变得不常规，实现考查数学素养的目的.

3.2 类比迁移阶段

抛物线经过旋转可以变成我们熟悉的二次函数，在新教材人教A版选择性必修一第133页“探究与发现”中对该内容做过解释，那么等轴双曲线呢？等轴双曲线旋转过后就是反比例函数图象，在平面直角坐标系中，“旋转”的操作可以将解析几何和函数有机结合在一起，甚至在某些时刻二者可以互相补充，合力解决问题.

3.3 模型确定阶段

本题中研究的是等轴双曲线，并将面积定值问题确定为考查方向，这是反比例函数中比较常见的定值模型，但将反比例函数旋转变换后，对学生能力的要求就相应提高了.同样，在真正的运算求解中，本题也将“坐标法”确定为考查重点，这是强有力的数学工具，更是解析几何问题的核心.

最初确定方程为x2－y2=±2，然后推广到更一般的形式，即本题中的方程.

3.4 情境创设阶段

教育部《关于做好2021年普通高校招生工作的通知》指出：高考命题要坚持立德树人，加强对学生德智体美劳全面发展的考查和引导.要优化情境设计，增强试题开放性、灵活性，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，引导减少“死记硬背”和“机械刷题”现象.

所以在题目确定完毕后，笔者决定为其选择适合的情境，当时备选的是三个图形（图5），而无人机人尽皆知，背景公平，又有科技发展的导向性，于是选择“无人机曲线”.

4 试题分析

本题作为一道解析几何题，问题设置为两问，但学生认识问题需要经历三个阶段.

阶段1：方程解读.

学生需要理解题意，能够对曲线方程x4λ2+y4λ2=2x2y2λ2+1进行整理.如果完全遵从之前研究类似未知曲线的方法，仅从对称性、特殊点等方向入手，又会被复杂式子吓到，不敢化简，则无法进行后续的研究.

敢于化简该方程的学生，都不会遇到阻碍，尤其是有图2的辅助，原本容易发生的丢正负号的错误也会大幅减少.

阶段2：双曲线基本性质.

题目配图2已经提示了共轭双曲线的特征，这一点从方程也可发现.第（1）问设置较为简单，考查了双曲线上的动点到原点距离的最小值问题，这是双曲线的简单性质，视学生水平也可以将原点改为焦点，则计算稍稍复杂一点.

第（1）问并非简单意义的送分题，而是在考查性质的同时，给学生提供了坐标化的导向，这为第（2）问中面积的表示指明了方向.虽然题目背景较新颖，但考查解析几何计算的本质没有改变.

阶段3：数学运算与直观想象核心素养.

第（2）问是题目的主体部分，涉及点线较多，容易给学生造成心理压力，但其算理是非常清晰的，根据题目设方程、联立、求坐标、表示面积，并没有需要思维跳跃的地方，这也是由本题设计的初衷即考查数学运算素养的命题目标确定的.

同时，第（2）问也给了数学素养较高的学生以空间，审题时画出图形后，如果能够将试卷旋转一下观察就会发现，这是大家较为熟悉的反比例函数问题，口算即可完成.这需要学生有较强的直观想象能力，也正是命题中常说的多想少算原则.详见图6、图7中的思维导图分析.

5 思维导图

第（1）问的思维导图（图6）：

方程转化性质分析距离表示化简消元求出最值

第（2）问的思维导图（图7）：

6 从试题解答看思维层次差异

第（1）问所求的最小值为λ（过程略）.下面重点分析第（2）问的解法.

方法1：基于点线关系的解析法.

解：设点P（x0，y0）在Γ上半支，则y20－x20=λ.设直线l3：y－y0=x－x0，联立x2－y2=λ，y－y0=x－x0，可得x2－（x+y0－x0）2=λ，解得xC=λ+（x0－y0）22（x0－y0），yC=λ－（x0－y0）22（x0－y0）.

同理，可得xD=λ+（x0+y0）22（x0+y0），yD=（x0+y0）2－λ2（x0+y0）.

由于CP⊥DP，因此S△BCD=12|BD|·|CP|.因为l1∩l4=B，于是联立y=x，y－y0=－（x－x0），解方程组可得xB=x0+y02，yB=x0+y02.根据两点间距离公式，算出|BD|=

x0+y02－λ+（x0+y0）22（x0+y0）2+x0+y02－（x0+y0）2－λ2（x0+y0）2，化简，可得|BD|=λ2|x0+y0|.

同理，可得|CP|=2λ|x0－y0|.

所以S△BCD=12·λ2|x0+y0|·2λ|x0－y0|=λ22|－λ|=λ2.

又l3∥l1，l4∥l2，且l1⊥l2，所以四边形OAPB为矩形.分别求出点P到l1和l2的距

离d1=|x0－y0|2和d2=|x0+y0|2，于是SOAPB=d1d2=λ2.

综上所述，曲线Γ存在无数个这样的点P，使得SOAPB=S△CDB=λ2.

上述方法1是学生容易选择的解法，这也是解析几何机械刷题的产物，并未注意观察图形结构以及合理简化运算.下面通过两个角度对方法1进行优化.

方法1-1：基于对称关系的解析法优化.

解：设点P（x0，y0）在Γ上支，由点P与点C关于y=－x對称，可得C（－y0，－x0），所以

|PC|=（x0+y0）2+（y0+x0）2=2|x0+y0|.

又由点P与点D关于y=x对称，得D（y0，x0），所以|BD|=22|x0－y0|.

因为点P（x0，y0）在Γ上支，所以y20－x20=λ.

通过该式代换|BD|，|PC|，可以得到与方法1相同的结果，因无需联立解方程组，所以计算过程要简单很多，后同方法1即可.

方法1-2：融入证明的解析法优化.

解：设点P（x0，y0）在第一象限Γ的上支，因为l3∥l1，l4∥l2且l1⊥l2，首先由对称性来证明面积相等.

因为S△BCD=12|BD|·|CP|且|PC|=2|PA|，|PB|=|BD|，

所以S△BCD=12|PB|·2|PA|=|PB|·|PA|=SOAPB.所以曲线Γ存在无数个这样的点P，使得SOAPB=S△BCD.后同方法1，证明面积相等后，则可以选择其中一个图形计算面积，其对计算过程的优化是非常明显的.

方法2：旋转变换法.

人民教育出版社普通高中教科书必修第二册第87页讲到了复数的三角表示及其几何意义.据此可以通过复数乘法将图8中的所有点顺时针旋转π4得到图9，进而在图9中研究该问题，可以大幅简化运算.

解：根据复数乘法的几何意义，可知点（x′，y′）逆时针旋转π4后变成

22（x′－y′），22（x′+y′），代入x2－y2=±λ，得变换之后方程为y′=±λ2x′（如图9）.

旋转变换之后，l1和l2与坐标轴重合，且所求图形面积不变，设P（x0，y0），则

SOAPB=|x0y0|=λ2.

因为C（－x0，y0），D（x0，－y0），结合S△CDB=S△OBC+S△OBD，可得

S△CDB=2×12|OB||DB|=λ2.

综上所述，曲线Γ存在无数个这样的点P，使得SOAPB=S△CDB=λ2.

7 试题测试反馈与分析

试题命制完成后，在我校高二年级的阶段学情调研中进行了考查，测试结果如表1所示：

从试题的解答来看，大多数学生并未受到情境的干扰，能较快地整理出双曲线方程，但题

干对于部分学生还是具有比较强的干扰性，这从大量的0分学生人数即可看出.从计算过程来看，思路比较明确，符合多想少算的原则，思维能力较强的学生能够轻松求解，而“机械刷题”的学生将面对巨大困难.

从学生解答来看，选择方法1的比较多，但只有极少数学生能够完成运算，满分学生大多都是通过方法1-1和1-2的方式简化了运算，体现了较强的思维能力.对于方法2的旋转变换，没有学生选择.当然，这和日常教学的导向有关，也和高考的考查方向有关，但是对于优秀的学生，还是要让他们认识到这些特殊的变换对解题有帮助.同样地，教学中也要经常呈现一些椭圆通过伸缩变换转化成圆解决问题的例子，这些还是要让优秀学生了解的.

以上是笔者对新情境下解析几何试题命制的思考，从做题的学生角色转换为命题的教师角色，切实感受到了视角不同带来的思维跃升，因而对解析几何有了新的理解，也逐渐尝试在学习解题的过程中，触摸试题的温度，体味命题者的思想.这真是奇妙的历程，或许更是学习的捷径.

我爱数学，未来一起加油！