复数场景创设，几何意义应用

孙宝庆

摘要：复数的几何意义是复数自身的延伸与拓展，也是“数”“形”结合的很好例证.结合复数几何意义应用的一些常见场景实例，结合概念、运算、综合问题以及创新问题等方面，剖析复数几何意义应用的内涵实质，归纳总结解题规律与技巧，本文中指导数学教学与复习备考.

关键词：复数；几何意义；概念；运算；综合

通过建立平面直角坐标系，引入复平面，就可以把相应的复数（代数问题）转化为复平面内的点（几何问题）来分析与研究，建立了数形结合的通道，实现“数”与“形”的结合，为进一步利用复数来解决相应的数学问题提供了方便.建立了复平面内的点Z（a，b）、向量OZ=（a，b）与复数z=a+bi（a，b∈R）三者之间的一一对应关系，为我们用复数方法解决几何问题、复数方法解决向量问题、向量方法解决复数问题，以及它们反过来解决对应的问题等创造了条件.

1 复数中的概念问题

例1  在复平面内，复数z=－sin 2－icos 2的共轭复数所对应的点位于（  ）.

A.第一象限      B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

分析：根据题设条件，结合三角函数的概念、性质，确定对应三角函数值的正负，再利用共轭复数的概念，进而确定对应复数的实部与虚部的正负，利用复数的几何意义等判断相应点的位置.

解析：因为2弧度对应的角的终边在第二象限，则有sin 2>0，cos 2<0.

又复数z=－sin 2－icos 2的共轭复数为z=－sin 2+icos 2，可得－sin 2<0，cos 2<0.

结合复数的几何意义，知复数z=－sin 2+icos 2所对应的点位于第三象限.

故选：C.

点评：借助复数的几何意义，合理构建起复数z=a+bi（a，b∈R）在复平面内的对应点的坐标Z（a，b），结合复数的概念，利用点Z（a，b）所满足的条件来判断复数所对应的点的几何特征等.涉及复数的基本概念问题，要充分把握概念的实质，挖掘概念的内涵，不要產生混淆，否则容易出错.

2 复数中的线性运算问题

例2  已知复数z1对应的向量OZ1的终点在第四象限，复数z2对应的向量OZ2的终点也在第四象限，那么复数z1+z2对应的向量OZ的终点在（  ）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

分析：根据题设条件，结合两复数所对应的向量的终点均在第四象限，利用复数的几何意义以及对应的复数的加法运算，从几何视角来直观分析与处理，进而确定两复数的和所对应的向量的终点位置.

解析：依题意可知，复数z1对应的向量OZ1的终点在第四象限，复数z2对应的向量OZ2的终点也在第四象限，结合复数的加法运算的几何意义，借助平行四边形法则，可知复数z1+z2对应的向量OZ的终点一定在复数z1，z2对应的向量所在的直线的之间位置，即其终点也是在第四象限.

故选：D.

另解：设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）.

由题意可知，复数z1对应的点在第四象限，则a＞0，b＜0.

同理c＞0，d＜0.

又z1+z2=a+bi+c+di=（a+c）+（b+d）i，所以a+c＞0，b+d＜0.

故z1+z2对应的向量OZ的终点在第四象限.

点评：直接抓住复数加法运算的几何意义，从“形”的视角切入，将复数问题转化为对应的向量问题，直观明了，易于分析.特别地，涉及两个复数的加法运算，借助对应的几何意义解题时，既可以使用平行四边形法则，也可以使用三角形法则.

3 复数中的综合运算问题

例3  复数z=1+i在复平面内对应的点为A，将点A向右平移一个单位长度得到点B，将点B绕坐标原点按逆时针方向旋转90°得到点C，再将点C向上平移一个单位长度得到点D，则点D所对应的复数为.

分析：根据题设条件，结合复数的几何意义，由条件中给出的复数确定对应点A的坐标，利用复平面内点的平移变换、旋转变换等依次确定对应点的坐标，进而由点的坐标还原对应的复数.

解析：依题意可知，点A为（1，1），将点A向右平移一个单位得到点B（2，1），而将点B绕坐标原点按逆时针方向旋转90°得到点C，结合对称性知，点C为（－1，2），再将点C向上平移一个单位长度得到点D（－1，3）.

所以点D所对应的复数为－1+3i.

故填答案：－1+3i.

点评：熟练掌握平面直角坐标系中点的平移变换、旋转变换（以90°旋转等）、对称变换（以坐标原点为对称中心的中心对称变换，以坐标轴、象限的角平分线等为对称轴的轴对称变换）等，巧妙融入复数或平面向量的相关知识，借助复数的几何意义加以综合.

4 复数的综合问题

例4  已知复数z=3+ai（a∈R），且满足|z|<4，则实数a的取值范围是.

分析：根据题设条件，结合复数的模的条件，可以从代数思维与几何思维视角切入，分别通过模的代数运算与不等式求解，以及复数的几何意义的应用等来分析与解决，各有千秋，殊途同归.

解法一：代数思维.

依题意可知，z=3+ai（a∈R），可得|z|=32+a2.

由已知可得32+a2<42，即a2<7，解得－7

所以实数a的取值范围是（－7，7）.

故填答案：（－7，7）.

解法二：几何思维.

如图1所示，由|z|<4知，复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界）.

由z=3+ai知，复数z对应的点在直线x=3上，所以线段AB（除去端点）为动点Z的集合，由图可得－7

所以实数a的取值范围是（－7，7）.

故填答案：（－7，7）.

点评：涉及复数的模的综合问题，有其“数”的基本属性，也有其“形”的结构特征，具有对应的几何意义.借助复数的几何意义来解决一些与复数的模相关的综合问题，可以进一步拓展复数中的代数本质，以更直观形象的视角来挖掘复数中的几何内涵，为综合问题的解决提供更加广阔的空间.

5 复数的创新问题

例5  18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|z|=|OZ|，也即復数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离.已知复数z满足|z|=1，i为虚数单位，则|z+3－4i|的最小值为.

分析：根据题设条件，由题设场景中给出的复数z的模的几何意义，将复数问题转化为对应的几何问题，利用图形直观，结合点与圆的位置关系加以分析与判断，进而确定相应的最值问题.

解析：依题意可设z=x+yi（x，y∈R）.

由题意可知|z|=1，利用复数的模的概念可知，x2+y2=1，其几何意义为以O（0，0）为圆心，半径为r=1的圆.

由于|z+3－4i|的几何意义是圆O上的点到定点P（－3，4）的距离，又

|OP|=32+42=5，因此根据点与圆的位置关系可知，|z+3－4i|的最小值为|OP|－r=5－1=4.

故填答案：4.

点评：我们知道，复数的概念、复数的模、复数的四则运算等都具有各自对应的几何意义，有其“形”的几何特征，充分挖掘并利用这些相关要素的几何意义，可以很好地将相应的“代数”问题巧妙转化为“几何”问题，从不同思维视角、不同知识层面等方面来分析、解决问题，实现问题的突破与应用.

复数的几何意义是复数中的“数”与几何中的“形”之间衔接的桥梁，是“数”与“形”结合的体现.通过复数几何意义的引入与应用，淡化了繁琐的数学运算和技巧方法训练，可以更好地体会数学体系的建构过程、数形结合思想以及理性思维在数学发展中的作用，达到利用复数几何意义的“形”的意识，结合复数的基本概念、四则运算等，明确现实生活中存在的“数”，真正达到数形结合.