直观先行推理为本，选材导学素养是根

喻立杨 赵一凡 王先义

课题信息：四川省教育科研课题“情景教学视域下的高中数学‘教-学-评一致性研究”，课题编号为YB2023010.

摘要：2023年高考全国甲卷数学试题体现了高考“一核四层四翼”的评价要求，突出考查高中数学六大核心素养，尤其着重考查了直观想象素养，全卷23道题中有15道涉及数学直观，涵盖高中数学的各大主题，分值占比60%以上，这类问题可从直观寻求突破，再用逻辑推理加以论证.

关键词：核心素养；直观想象；逻辑推理

2023年高考全国甲卷数學试题紧跟党的二十大精神，贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，促进五育并举，反应新时代基础教育课程理念，突出体现了高考“一核四层四翼”的评价要求.试题延续了注重基础性、考查必备知识的传统，突出关键能力和学科素养的考查，尤其是数形结合能力和数学直观素养.

总体上，本套试卷有以下几个特点：

①通过恰当的背景，落实五育并举，如第6，9，19题；

②创设合适的情境，考查关键能力，如第1题集合，第2题复数，第9题计数等；

③设置丰富的试题，注重直观想象，如第4题向量，第11，18题立体几何等；

④猜想验证相结合，注重逻辑推理，如第20题解几，第21题导数等.

1 试题评析

1.1 精简试题情境，传达五育精神

与往年的命题情境相比，2023年显得更为精简.常见的考题情境包括生活情境、科学情境以及纯粹的数学情境，试卷中第6，9题为生活情境，19题为科学情境，其余考题均是纯粹的数学情境.总体感觉题目“短小精悍”.

其中，第6题以报名足球与乒乓球俱乐部为情境，传达了体育教育；第9题以志愿者参加社区服务为情境，传达了德育以及劳动教育；第19题以探究药物的作用为情境，也传达了德育以及劳动教育.

总之，试卷既传达了五育并举的教育要求，又回归了对数学学科本身的考查.

1.2 突出素养导向，落实学科价值

根据高考评价的要求，必备知识、关键能力、学科素养、核心价值是高考考查的四个层次的内容.同时，发展学生的学科素养也是教学的重要目标.试题对学科素养的考查充分突出.

例1  （第1题）设集合A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，U为整数集，则瘙綂U（A∪B）=（  ）.

A.{x|x=3k，k∈Z}

B.{x|x=3k－1，k∈Z}

C.{x|x=3k－1，k∈Z}

D.

本题虽考查集合的运算，但渗透了分类思想，蕴含“同余”概念.终边相同的角的集合中蕴含着同余思想，故该考题源于教材.此题要求考生从集合的“符号语言”中抽象概括集合的含义，故本题是考查数学抽象的典型试题，体现了描述法表示集合的优势，即高度抽象.

例2  （第2题）若复数（a+i）（1－ai）=2，则a=（  ）.

A.－1

B.0

C.1

D.2

本题考查复数代数形式的运算，考点单一，不难求出a=1，是考查数学运算的典型试题.本题不考别的，只考运算，精准命题，目标明确，体现一个“准”字.

例3  （第7题）“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的（  ）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

本题以同角关系为背景，考查常用逻辑用语中的充分条件与必要条件，是考查逻辑推理能力的典型试题，体现一个“隐”字.

数列解答题也能充分体现逻辑推理.

例4  （第17题）已知数列{an}中，a2=1，设Sn为{an}的前n项和，2Sn=nan.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求an+12n的前n项和Tn.

第（1）问中，当n≥2时降阶相减得到（n－2）an=（n－1）an－1，接下来无论用累乘法，还是转化为常数列，都需要把n－2作为分母，因此n=2需单独处理，n≥3时才能把n－2作为分母，可见试题用隐蔽的细节鉴别考生逻辑推理能力，体现了一个“隐”字.

例5  （第9题）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（  ）.

A.120B.60C.40D.30

本题方法多样，但最简解即A35=5×4×3=60.问题可抽象为从5个元素中取3个，分别只参加周六、只参加周日及两天都去，符合排列的概念，从而秒杀此题.本题是考查数学建模的典型考题，体现一个“精”字.

例6  （第19题）略.

本题以探究某药物对小鼠的生长作用为情境，给出了对照组和实验组各20只，共40只小鼠的体重数据，在第（2）小题中要求考生求出这40个数据的中位数.不少考生表示“眼睛花了”“头大了”.事实上，考题中两组数据都已按照从小到大的顺序排好，考生抱怨可见其数据处理能力不足.数据处理作为数学核心素养之一，要求考生既掌握原理，又做好实践，考生的表现说明数据处理核心素养的培养任重道远.本题体现一个“理”字，数据处理，落脚在“理”.

上面例子呈现了考题对数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模、数据处理核心素养的考查，考查的内容相对单一，注重基础性，体现应用性.

1.3 重视数学直观，区分关键能力

直观想象也是核心素养之一，对数学直观的考查是本卷的亮点和重点，本卷中体现数学直观的考题较多，综合性强，具有创新性.

体现数学直观的试题有15道，超过了试题总量的一半，涉及众多章节，按总分160分算占106分（选做题第22题、23题二选一，各10分），占比66.25%，这些题目构成试卷的主体，决定试卷的考查效果，罗列如下.

由表1可见，试卷高度重视数学直观.不少试题可以直观“秒杀”，也有虽不能秒杀，但可以“猜想”，然后通过逻辑推理证明猜想，其模式可概括为“直观先行，推理为本”.

例7  （第4题）向量|a|=|b|=1，|c|=2且a+b+c=0，則cos〈a－c，b－c〉=（  ）.

A.－15

B.－25

C.25

D.45

图1

注意到a+b+c=0，如图1，由和向量为零向量构造“闭合回路”△PQR，根据三边长知，△PQR为等腰直角三角形，建系写坐标即可秒杀此题.画图方式不唯一，但不画图用公式算其运算量大，而且计算时抽象空洞.此题体现了数学直观的重要性，完美呈现了式与图、数与形的美妙互译.

例8  （第10题）已知函数f（x）为函数y=cos2x+π6向左平移π6个单位所得函数，则y=f（x）与y=12x－12图象交点个数为（  ）.

A.1

B.2

C.3

D.4

得到y=f（x）的解析式后，只要图象（如图2）画得标准，就可以直接看出交点个数为3，秒杀此题，也可以借助计算关键点处的函数值，通过比较大小推理验证猜想.本题隐蔽地考查了“作图”能力.

例9  （第18题）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距离为1.

（1）证明：AC＝A1C.

（2）若直线AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.

如图3，本题中CA，CB，CA1两两垂直，以它们为x，y，z轴建系，看似方便，但由于CA，CB，CA1长度未知，关键点坐标不能直接写出，陷入困境.设坐标A（a，0，0），B（0，b，0），A1（0，0，c），其中a，b，c均大于0，通过待定系数法虽然也能解题，但是字母运算让人心存敬畏.

本题两个问题均以距离作为已知条件，在历年的试题中是少见的，需要考生通过降维把“空间距离”转化为“平面距离”，实现立体图形的“平面化”，在平面多边形中计算关键数据.借助空间平行、垂直的相关定理，通过转化，可知△A1CA是等腰直角三角形，△A1BA是等腰三角形.若能够实现上述转化，就能看透该几何体的结构特征，简化求解过程.本题对数学直观的要求较高，区分度很好.

此题用坐标法、综合法都能求解，但都不简单，可谓“一举两得，一题多考，方法取舍见高下”.

作为试卷中难度较高的如下两道解答题，通过数学直观也能很快得出猜想.

例10  〔20题第（2）问〕F是抛物线y2=4x的焦点，M，N为抛物线上的两点，且MF＼5NF=0，求△MNF面积的最小值.

如图4，如果过点F任意作两条相互垂直的直线，得到四边形MNM′N′被对角线分为4个符合题意的直角三角形，直观察觉，当M，N都在点F左侧时，三角形的面积较小，猜想当△MNF为等腰直角三角形时面积最小，从而迅速入题.

证明时，可以用坐标法，但运算量大;若用焦半径的夹角公式，运算量会极大降低.这体现了几何直观的优越性.

设MF与x轴的夹角为，∈0，π4，则|MF|=21+cos ，|NF|=21+sin ，且S△MNF=12|MF||NF|，即S△MMF=12＼521+cos ＼521+sin =4（1+sin +cos ）2=41+2sin+π42≥4（1+2）2=12－82，当且仅当=π4，即△MFN为等腰直角三角形时，面积取得最小值.

本题既要埋头算，更要用眼看，体现一个“悟”字，真是直观先行，推理为本.

例11  〔21题第（2）问〕已知f（x）=ax－sin xcos3x，x∈0，π2.若f（x）

本题利用以下两种直观感知可得出猜想.

一种是利用三角函数线（或面积），当∈0，π2时，sin <（如图5）.

考虑a＞0时命题成立的必要条件是asin x－sin xcos3x

动静结合，辩证看图，其实，图5中还蕴含着limx0sin xx=1，limx0tan xx=1两个重要极限，因此本题也可以取极限得到必要条件.

另一种是端点效应，切线与曲线的相互近似代替.

令g（x）=ax－sin xcos3x－sin 2x，x∈0，π2，注意到g（0）=0，由导数的几何意义，直观感知得到“g（x）<0，在x∈0，π2上恒成立”的必要条件是“g′（0）≤0”（如图6）.

而g′（x）=－4cos2x+2cos2x－3cos4x+2+a，故g′（0）=a－3≤0，得a≤3.

以上两种直观方法都能求出必要条件，但都需要验证充分性，只需要放缩即可.

本题将三角函数与一次函数整合，利用导数工具研究其性质，难度较高，但通过直观感知不难获得猜想，既可以用直观放缩转化，也可以用直观端点先行，体现一个“活”字，降低了难度.

2 反思与建议

2.1 深挖问题，就题论道

从2023年高考全国甲卷中可以发现，试题背景熟悉，问题常规自然，考查内容基础，主要考查考生对相关问题的通性通法的掌握，此类问题占比超90%，例如理科第17，18题的数列和立体几何，亦是对相关问题通性通法的考查.“背题型，背套路”的刷题本质上是没有理解“套路”背后的原理，考生一旦遇到题目“化妆”（如第18题已知距离，证明线段相等），就不容易找到解题策略.因此，在平时的复习备考中，学生不仅要掌握基础知识和训练基本技能，也要能够挖掘知识的广度、深度以及表达；不仅要掌握其中的套路，更要逐渐内化成数学思想和方法，获得活动经验，实现从“解题”到“解决问题”，从知其然到也知其所以然，达到从“就题论题”到“就题论法”再到“就题论道”，让试题价值最大化，实现“做一题，得一法，会一类，通一片”.

2.2 立足课堂，落实素养

试卷中诸多试题可以利用数学直观巧妙破解，但这需要考生通过日常的学习养成直观想象的习惯和意识.美国著名的教育家杜威说：“教学必须从学习者已有的经验开始，学生是学习的主体，是课堂的主人，一切教学都是为了学生的发展.”学生是课堂教学的主体，课堂作为日常教学的主阵地，占据学生学习的大部分时间，是学生活动、思维、实践和创新的关键战场，因此这是扎实学生基础知识，培养、锻炼和塑造学生能力，养成必备的数学素养的重要战场，需要教师在日常教学中关注学生，因材施教，对学生进行整体和个性的教育，从而促进核心素养的落实.

2.3 关注命题，科学备考

新高考命题模式对一线教师来说是一个挑战，需要深入研究新高考试卷特点与命题动向.2023年新高考全国卷在考试内容改革、题型创新、试卷结构以及科学调控难度方面作出了进一步探索.在内容改革上，以新课标为命题依据进行命题，仍然突出对理性思维和关键能力的考查，通过设计真实问题情境，融合数学文化，渗透德智体美劳的育人理念，全面贯彻“立德树人”的教育方针.在题型创新方面，坚持开放创新，能力立意，在考查内容不变的情况下，改变问题的类型和考查要点.在试卷结构方面，大题布局变化较大，破除导数压轴的定势，如新Ⅰ卷第19题导数，再次验证了“反刷题”；坚持以新教材为依据进行命题，坚持考教衔接，如新Ⅰ卷第3，10和21题等.在科学调控难度方面，全面贯彻“低起点，多层次，高落差”策略，部分试题设计科学，起点低，入口宽，面向全体学生，考查基础知识，个别试题对考生的思维能力有较高的要求，要求學生具备解决复杂问题的综合素养.这些特点和趋势为我们在“三新”背景下，关注新教材教学，科学平稳过渡新高考提供了极有价值的信息.