利用GeoGebra软件发展高中生直观想象素养的数学教学实践

【摘要】本文结合高中数学教学实践，论述在概念生成、图象探究、定理发现、公理探索、数学解题等教学环节利用GeoGebra软件，将几何与代数相结合，直观、动态地呈现教学内容，促进学生对数学知识的理解，发展学生直观想象素养的策略。

【关键词】直观想象 GeoGebra软件 几何直观 高中数学

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）32-0097-04

数学具有抽象的数学符号和语言，但是高中生将代数和几何相结合分析问题的意识不强，直观想象能力较为薄弱，不善于借助几何直观和空间想象分析数学问题。如今，随着大数据时代的到来，数学信息化教学已成为一种必然趋势。GeoGebra是Geometry（几何）与Algebra（代数）的结合，简称GGB。GeoGebra软件是一款免费的、使用便捷的、功能强大的数学软件，可以在Android、Mac、Windows等多个平台运行。GeoGebra软件提供了多个工作区，如绘图区、代数区、表格区、3D绘图区等，其应用范围几乎涵盖了数学教学的全部领域。GeoGebra软件强大的展示功能，使学生能够更容易洞悉数学本质，更容易理解抽象知识之间的内在逻辑联系。由于该软件具有免费且操作简单等特点，教师和学生使用的积极性高，这有助于推动教学和学习方式的变革。本文探讨在高中数学课堂教学中借助GeoGebra软件，通过概念生成、图象探究、定理发现、公理探索、数学解题等活动发展学生直观想象素养的途径。

一、概念生成

数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式，一般由数学符号表示，它是具象性和抽象性的统一，同时具有很强的系统性。学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同属性、关键特征的过程。数学概念的获得通常包括概念形成和概念同化两种方式。

例如教学人教A版高中数学选择性必修第一册“椭圆的标准方程”中“椭圆概念的生成”时，教师提出一个问题：圆是从平面内到圆心的距离等于半径的所有点的集合，那么，什么是椭圆？椭圆上任意一点有什么特征？

如图1，设置平面内的两个定点F1和F2，使得|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，通过滑动条c改变参数，当c=2时，|F1F2|=4，通过滑动条a改变参数，当a=4时，|PF1|+|PF2|=8，显示点P的轨迹，发现虽然|PF1|与|PF2|不断变化，但是|PF1|与|PF2|的和总是一个定值，即|PF1|+|PF2|=8，动点P的轨迹为椭圆。如图2，继续通过滑动条改变参数a和c，a=3.5，c=3，使得|PF1|+|PF2|=7，|F1F2|=6，仍然可以发现，动点P的轨迹为椭圆。按照这样的方法，学生继续改变a和c的值，操作发现，平面内到两个定点F1和F2的距离的和等于一个常数的点的轨迹为椭圆。也就是当a＞c时，|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|），此时，动点P的轨迹为椭圆。接着，教师可以继续改变参数，探究当a=c或者a

在椭圆概念的生成教学中，教师借助GeoGebra软件，通过滑动条改变参数的大小，引导学生发现椭圆的共同属性和关键特征。利用GeoGebra软件，向学生分别展示当a＞c、a=c、a

二、图象探究

函数的学习包括函数的概念、图象、性质和应用等，函数是高中数学中的重要组成部分，而学习函数图象则是学习函数的一个重要环节。在传统的教学中，教师通常是借助描点法指导学生认识函数的图象，这一方法虽然比较简便，但是学生只能了解函数图象的大致情况，故此方法不够严谨。教师可以借助GeoGebra软件引导学生探究函数图象，让学生借助几何直观更深刻地认识函数图象与概念之间的内在联系，认识数学本质。

例如，在教学人教A版高中数学必修第一册第五章第四节第一课时“正弦函数、余弦函数的图象”时，教材中首先呈现一道思考题：在［0，2π］上任意一个值x0，根据正弦函数的定义，怎么确定正弦函数sinx0，并画出点T（x0，sinx0）？教师带领学生解答此问时，首先可以引导学生复习正弦函数的定义。如图3，我们把点P的纵坐标y叫作α的正弦函数，即y=sinα。可以在GeoGebra软件中的绘图区域绘制图4，在单位圆上任取一个点B，度量角x0，描出任意一点T（x0，sinx0），拖动点T（x0，sinx0），引导学生观察点T的纵坐标sinx0等于点B的纵坐标y0的情况，引导学生建立正弦函数定义和图象之间的内在联系，最后显示点T的轨迹，就可以得到y=sinx，x∈［0，2π］的图象。

研究余弦函数的图象时，教师可以引导学生从诱导公式cosx=sin[x+π2]的角度思考，将正弦函数y=sinx图象向左平移[π2]个单位，就可以得到余弦函数y=cosx的圖象。如图5，借助GeoGebra软件制作动画，可以直观展现这一平移变换的过程，发展学生的直观想象素养。

教材在探究正弦函数和余弦函数的图象时，对知识的发生、发展过程给予了更多的重视。这时教师可以借助GeoGebra软件，通过动画呈现正弦函数的定义和图象之间的内在联系，生动地展示正弦函数图象的发生、发展过程，使学生深刻认识正弦函数概念与图象之间的关联，体现数学知识之间的关联性，从而发展学生的直观想象素养。在图象平移过程中，帮助学生感知图象的变化特点和位置关系，对发展学生的空间想象能力也有很大帮助。

三、定理发现

数学定理的获得需要经历观察、比较、类比、分析、综合、抽象、概括等过程，GeoGebra软件的3D展示功能有助于学生直观感知、操作验证、分析综合，进而发现定理，有助于促进直观想象素养的发展。

以教学人教A版高中数学必修第二册第八章第六节第二课时“直线与平面垂直”中直线与平面垂直的判定定理为例。教材提出一个探究活动：准备一块三角形的纸片ABC，经过它的顶点A将纸片翻折，折痕为AD，将翻折后的三角形纸片竖起放置在桌面上。折痕AD与桌面垂直吗？要使折痕AD与桌面垂直，应该如何翻折呢？为什么？

教师首先引导学生进行折纸操作探究，学生容易发现当AD与BD、CD都垂直时，折痕AD与桌面垂直。接下来，借助GeoGebra软件的3D展示功能对折纸实验进行验证。

如图6，改变点D的位置，当AD不垂直于BC时，观察∠ADC大小的变化情况。学生发现，在此情况下AD总是不垂直于桌面所在平面。教师可以让学生自主旋转桌面所在平面，进行360°全方位观察验证。

如图7，当∠ADC=90°时，AD⊥BD，AD⊥CD，通过控制滑动条，使得△ABD绕着轴AD旋转，保持∠ADC=90°。借助GeoGebra软件的3D展示功能，进行360°全方位旋转观察发现，无论△ABD旋转到何位置，总有∠ADC=90°，∠ADB′=90°，即AD⊥BD，AD⊥CD，这也能够说明，直线AD垂直于过点D的所有直线，符合直线与平面垂直的定义，所以，直线AD总是垂直于直线BD、CD所在的平面。最后，引导学生运用文字、图形、符号等三种语言叙述线面垂直的判定定理。

在定理教学中，教师借助GeoGebra軟件的3D展示功能，指导学生进行操作探索，让学生更直观地观察到空间几何图形的变化规律和特点，GeoGebra软件3D旋转的立体效果，能帮助学生更有效地发现定理、探索推理，有助于几何直观和空间想象能力的进一步发展。

四、公理探索

公理是基本命题，是无条件承认的、相互制约的规定，是对各个基本概念的相互关系和基本性质的阐述和规定，它是明显无误且无须加以证明的命题。在教学中，公理的学习途径主要是直观感知、操作实验以及归纳概括。

例如教学人教A版高中数学必修第二册第八章第4节第一课时“平面”中的基本事实3时，思考题如下：将一把三角板的其中一个角立在课桌面上，那么，三角板所在的平面和桌面所在平面是不是只相交于一点B？为什么？

在教学过程中，教师可以引导学生拿出三角板按照思考题的要求进行操作探索，观察分析。有一部分学生能进行空间想象得到基本事实3。但是三角板是有厚度的，而且三角板不能无限延展，桌面的大小也是有限的，受直观想象能力的制约，有些学生难以得出基本事实3。

在基本事实3的探索中，教师可以充分发挥GeoGebra软件3D功能的优势开展教学。教师可以先作出平面α，过平面α内的任意一点B作出一个△ABC，作出△ABC所在的平面β（如图8所示），学生容易发现基本事实3。接着，可以保持点B的位置不变，引导学生作出任意一个△ABC与△ABC所在的平面β（α≠β），通过多次操作实验，学生可以发现并归纳基本事实3，得出基本事实3的文字、符号和图形语言描述。

在传统的公理教学中，如果教师只是利用三角板与桌面进行实验教学，学生由于缺乏想象力，所以学习数学知识的积极性不高，导致无法顺利发现基本事实3，也难以发展空间想象能力。但是，如果利用GeoGebra软件制作空间图形呈现位置关系，让学生主动使用GeoGebra软件，自己操作探索，教师进行适当引导，既能激发学生的学习主观能动性，又能发展学生的直观想象能力，教学事半功倍。

五、数学解题

在数学教学中，解题是一种基本的活动形式，无论是数学概念的形成，还是数学命题的掌握、数学方法和技能的获得，或者是学生能力的发展，都要通过解题来完成。在数学解题中，学生由于缺乏空间想象能力，无法理解和想象一些比较抽象的空间问题，解题效率低、正确率低。教师有必要借助GeoGebra软件直观呈现题目中的图形，一方面提高学生的解题效率与正确率，另一方面发展学生的直观想象能力。

例如填空题：正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，以A为球心、4[2]为半径的球面与平面A′B′C′D′的交线长为       。

对于这道数学题，大部分学生感觉解决起来比较困难，因为他们只知道球面与平面A′B′C′D′有两个交点B′和D′，很难想象出以A为球心、半径为4[2]的球面与平面A′B′C′D′的交线是什么样的图形，因而无法准确求出交线的长。在传统教学中，由于缺乏信息技术的支持，教师一般是徒手把交线画出来，这对教师的画图能力提出了很高的要求，且教师徒手画出来的图形不可避免地存在误差。不标准的图形将限制学生直观想象能力的发展，导致题目变式后，学生无法迁移运用相关知识。

如图9所示，教师可以利用GeoGebra软件作出棱长为4的正方体ABCD-A′B′C′D′，接着以A为球心、4[2]为半径作出球面，引导学生观察想象，最后，教师可以作出正方体各个面与球的交线，并显示交线，使球体进行360°旋转，有助于学生更加形象直观地感受和想象。

通过观察图9学生容易发现，球面与正方体面A′B′C′D′的交线是以A′为圆心、半径为4的四分之一圆弧，因此，交线长是2π。学生求出交线长以后，教师可以追问：为什么球面与正方体面A′B′C′D′的交线是半径为4的四分之一圆弧？

学生思考并回答后，教师可借助GeoGebra软件，作出面A′B′C′D′所在的延伸面与球面的交线，学生容易发现，如果正方体面A′B′C′D′无限延伸，与球面形成的交线是圆，但是由于题目求的是正方形A′B′C′D′与球面的交线，因此所求交线是半径为4的四分之一圆弧。

在教学中，借助GeoGebra软件的3D功能，能够有效地提高教学的实效性与趣味性，激发学生的探究兴趣，进一步促进学生直观想象素养的发展。

高中生直观想象素养的发展不是一蹴而就的，它在概念生成、图象探究、定理发现、公理探索、数学解题等过程中潜移默化地产生、形成和发展，教师可以借助信息技术，将GeoGebra软件运用于教学，生动展示空间几何及图象图形的变化规律、运动特点。在活动中激发学生的探究欲和学习兴趣，提高学生学习的主观能动性，推动学生的数学思维向更广阔的领域发展，循序渐进地培养学生的直观想象素养。

参考文献

［1］曹才翰，章建跃.数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2014.

［2］张雄，李得虎.数学方法论与解题研究［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［3］张奠宙，宋乃庆.数学教育概论［M］.北京：高等教育出版社，2009.

作者简介：蒋秋樱（1994— ），广西南宁人，硕士，一级教师，研究方向为学科教学（数学）。

（责编 刘小瑗）