引导学生数学建模的“四部曲”

[摘  要] 数学模型的构建是一个逐步抽象、渐进提炼、缓慢推理、有效概括的过程。在小学数学学科教学中，教师要有效地提出问题，有效地引导学生体验感悟，引导学生自主建构数学模型。教师要引导学生对数学模型进行有效的应用，对数学模型进行统整。模型的准备、模型的建构、模型的应用、模型的结构化，是数学模型教学的“四部曲”。有效地引导学生进行数学建模，能提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

[关键词] 小学数学;数学建模;数学化过程

“模型思想”是小学数学核心素养的重要组成部分。史宁中教授认为，“学生的数学核心素养有三：抽象、推理和建模”。引导学生的数学建模，关键是让学生充分经历将现实问题抽象成相关的数学问题，并对数学问题进行分析，进而用数学的思想方法解决实际问题的一个过程。数学建模能有效地提升学生的数学学习力。从某种意义上说，数学学科教材中的每一个知识点都是一个微小的、微型的“数学模型”。在小学数学学科教学中，教师要积极探寻数学建模的起点，引导学生充分经历数学建模的过程，并引导学生积极主动地应用数学模型，让学生建构的数学模型结构化、统整化，这是数学建模的“四部曲”。

一、提出问题：奠定数学建模的根基

建构数学模型不是依靠纯粹抽象的思辨，更不是无中生有，而是针对现实原型建构、创造的。“问题”是数学建模的起点，也是学生数学建模的“原动力”。在小学数学教学中，教师可以通过创设情境，引导学生用数学的眼光观照、用数学的大脑思维、用数学的语言表达，进而将现实问题抽象解释成数学问题。教师要围绕数学问题，引导学生经历充分的“数学化”，进而积极主动地建构数学模型。

问题是建模的先导，也是建模的根基。“好的问题”是有效的数学建模的关键。比如在教学“长方形和正方形的面积”这一部分内容时，关键是要引导学生建立“面积单位”这样的概念模型。教学中，笔者创设了一个“比较长方形的面积大小”的情境。基于问题情境，有的学生用重叠的方法，有的学生用观察法，还有的学生用数方格的方法等。在比较的过程中，学生发现对于这些长方形，只有一个定性的大小的描述，却不能有效地确定大小到底是多少，即不能进行定量描述。那么，如何找寻到一个确定的标准进行有效的比较呢？在问题的导引下，学生通过深度研讨交流之后认为应确定一个面积测量的标准。显然，面积单位是一种人为的“规定”，但这种“规定”是可行的、科学的、合理的，能有效地解决问题。如此，学生借助“面积单位”不仅能比较两个长方形哪个大，更能确定大多少。在问题的推动下，学生还借助于面积单位进行动手“摆一摆”等密铺操作。通过在两个长方形中摆一摆面积单位，学生观察面积单位的个数与长方形的长、宽的关系，能自主建构长方形和正方形的面积计算模型。在这个过程中，两个长方形的面积“哪一个更大、大多少”作为核心问题，引发了学生火热的思考、火热的探究。

问题是模型建构的触发器，而情境则是问题的载体，是学生数学思维、探究的对象。在小学数学学科教学中，教师要善于创设情境，让学生从情境中有效地抽象、提炼出相关的问题。这些问题能激发学生的数学学习兴趣，引发学生的数学探究欲望。同时，问题往往蕴含着揭示一类事物本质的因子。通过对问题的数学化探究，学生能有效地建构数学模型。

二、体验感悟：把握数学建模的关键

引导学生的数学建模，教师不仅要善于提出数学化的问题，更要善于引导学生进行数学化思考、数学化探究。建模的过程就是學生充分经历数学化的过程。正如数学教育家弗赖登塔尔所说，“与其说学生是学习数学，毋宁说学生是学习数学化”。教师不仅要引导学生充分经历将现实问题抽象成数学问题（横向数学化），更要引导学生对数学问题通过分析、推理等进行进一步的抽象（纵向数学化）。在这个过程中，教师要引导学生深入地感受、体验、感悟。

体验与感悟是学生数学建模的关键。在数学学习中，学生的体验方式是多样化的，不仅可以通过观察进行体验，而且可以通过操作、想象等进行体验。比如教学“十几减9”这一部分内容时，笔者先将直观、形象性的操作材料引入教学，比如几根小棒加上1捆小棒等。在此基础上引导学生进行小组合作学习，探索“十几减9”的具体性的算法。

在探索“13-9”的过程中，有的学生先从1捆小棒中拿出9根，再将剩下的1根与3根合起来;有的学生先将3根小棒拿掉，再从1捆中拿掉6根小棒;有的学生1根1根地拿;有的学生进行想象性的操作，并根据“9加几”进行倒推等。不同的操作形成了不同的“十几减9”的计算模型，比如“破十法”“平十法”“逐个相减法”“算减想加法”等。这些数学模型是基于学生亲身实践、操作的产物，因而学生对这些模型的感受很深刻。提到某一个“十几减9”的计算模型，学生就能迅速地调动操作经验、操作表象进行有效的应用。从这个意义上说，数学模型的建构是学生生命实践智慧的表达，是学生本质力量的感性显现。在建构数学模型的过程中，教师还要善于引导学生进行比较，从而让学生在算法模型建构多样化的基础上进行算法模型的优化。通过丰富学生的数学建模感受、体验，不仅能让学生有效地掌握数学模型，更能让学生有效地应用数学模型，促进数学模型与生活原型之间的互通。

学生的数学建模一般需要经历从现实问题到直观模型、从直观模型到抽象模型、从抽象模型到模型应用的全过程。只有引导学生建构模型，才能使学生有效地应用模型，让学生理解模型，让学生感悟、体验到建模的思想、方法。教师在数学教学中要强化学生的建模意识，提升学生的建模能力，增进学生的数学模型应用的意识。从某种意义上说，只有深入到数学建模的层面，才算真正引导学生走进了数学学科学习的“腹地”。

三、实践优化， 促进数学建模的应用

学生从情境中建构的数学模型，一开始可能是比较粗陋的，教师要引导学生对数学模型进行实践优化。在数学教学中，教师引导学生用建模的思想进行数学学习，其目的不仅是让学生获得数学模型、结论等，更重要的是引导学生清晰地、系统地、立体地认识数学模型、应用数学模型。在引导学生进行模型应用的过程中，教师可以创设一些变式性、变化性的情境，从而促进学生对数学模型的灵活应用。

比如教学“圆柱的体积”这一部分内容时，在引导学生建构了“圆柱的体积”计算模型——“V=πr2h”之后，笔者创设了系列化的情境，引导学生进行模型的应用。在教学过程中，笔者主要呈现了三个层面的应用：一是通过一般性的已知圆柱的底面半径、直径、周长和高等，求圆柱的体积，引导学生直接应用“圆柱的体积”模型进行计算;二是已知圆柱的底面积和高，求圆柱的体积;三是已知圆柱的侧面积、半径，求圆柱的体积。针对第三个层面的问题，笔者和学生一起对建构的圆柱的体积模型进行优化：有的学生对已经建构的圆柱体的体积模型进行变形，从而建构了一个新的模型——“V=S侧÷2×r”;有的学生则进行着原始的体积模型建构，即将圆柱体转化成长方体;有的学生将长方体的不同的面作为底面，将圆柱的侧面积的一半作为底面，那么圆柱的底面半径就是圆柱的高;有的学生将圆柱的高与底面半径构成的长方形作为底面积，那么圆柱的底面周长的一半就是圆柱的高。

通过实践优化，学生对“圆柱的体积”模型进行丰富、拓展、延伸，从而建构了不同形态的“圆柱的体积”计算模型。对于小学生的数学模型建构来说，它们都依赖于一定的现实的、具体的问题情境。可以这样说，情境是数学模型建构、优化的诱因，数学模型的建构、优化是与情境息息相关的。没有情境，学生就缺乏优化数学模型、丰富数学模型的内在动力;有了解决现实问题的驱动，学生就会积极主动地进行模型建构。

在数学教学中，教师引导学生对实践情境进行陌生化、创新化的处理，能有效地引导学生建构数学模型。通过实践优化，丰富数学模型，能让学生自觉地养成应用“模型化”处理相关现实问题的观念、习惯，形成一种模型化处理问题的品质。在生活原型与数学模型之间搭建桥梁，能让学生感受、体验到数学模型解决问题的力量，能让学生感受、体验到数学模型的魅力。通过变式性的情境，学生对数学模型的认知、理解和应用能有效地进阶，能不断地丰富数学模型，不断地优化数学模型。

四、结构统整，引导数学建模的发展

在小学数学学科中，数学模型不是一个个的孤岛，而是存在着千丝万缕的关联。在引导学生建构、应用数学模型的过程中，教师还要将相关的数学模型进行统整，让相关的数学模型得以衔接。教师应当将模型的统整作为一种追求，将模型的结构化作为数学建模教学的一个新的生长点。数学模型的结构统整，是数学模型建构的应有之义和应然之举。

在数学学科教学中，这样的数学模型结构化的例子有很多。在“数与代数”领域中的数学模型的结构化统整，比如笔者在教学“整数加减法”的时候，将“末位对其”等作为建模的着力点;在教学“小数加减法”的时候，将“小数点”等作为建模的着力点;在教学“异分母分数加减法”的时候，将“分数单位相同”作为建模的着力点。

笔者认为，仅仅将这些单一知识点的模型建构作为教学着力点还不够。数学教学不能满足于建构一个个散点状态的“数学模型”，更为重要的是要将这些模型统一起来，要借助一个个低位数学模型建构高位数学模型。比如在教学“异分母分数加减法”这部分内容的过程中，在引导学生建构了“异分母分数加减法”的数学模型之后，笔者将“整数加减法”“小数加减法”的数学模型引入其中，并引导学生进行对比，从而让学生建构了更为上位的“数的加减法”的模型——即“要将数的不同计数单位”转化为“数的相同计数单位”。

“图形与几何”领域的数学模型结构化统整，比如在引导学生建构了“平行四边形的面积”“三角形的面积”“梯形的面积”等相关内容之后，笔者就引导学生用“梯形的面积计算模型”统摄了这些“多边形的面积计算模型”。其中，将“三角形”看成是上底为0的梯形、将“平行四边形”看成是上下底相等的梯形。这样多边形的面积公式就有了一个统一的数学计算模型。结构统整让数学模型的建構走向了深刻，数学模型不再局限于一个个知识点的模型，而是建立起了数学知识群的模型、数学上位模型。

数学模型的结构化是对诸多数学模型的统整。引导学生进行数学建模，要坚持简约化的取向。在教学中，教师要播种数学模型生长的因子，渗透、融入数学建模思想，要赋予学生数学建模的时空，赋予学生自主建模的权利，让学生勇于进行数学自主建模和善于进行数学自主建模。通过结构化的数学建模，学生的认知得以开阔、思维得以提升、想象得以丰富、实践得以有效。

数学模型的构建是一个逐步抽象、渐进提炼、缓慢推理、有效概括的过程。教师不仅要把握学生数学建模的起点，更要引导学生经历数学建模的过程，还要引导学生进行积极的模型应用，将相关的数学模型进行统整，以便在更高的层面、层次上建模，这样才能充分地彰显数学模型的统摄性、引领性。数学建模能丰富学生的数学学习，让学生的数学学习更有意思、更有意义。数学建模不仅能促进学生认知、思维等的发展，更能有效提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

作者简介：黄婵（1996—），本科学历，小学二级教师，从事小学数学教育教学工作。