让学生的估算能力在“疑难问题”的解决中提升

[摘  要] 估算在锻炼学生数学思维、提高判断能力、提升数学应用能力等方面发挥着积极的作用，其在小学数学教学中的地位得到逐步的提升和落实。文章分析了估算教学的疑难问题产生的原因，并提出了解决意见，有效地促进了学生估算能力的提升和数学思维能力的发展。

[关键词] 估算;疑难问题;估算能力

在小数数学教学中，部分教师对估算教学并不重视，在估算教学中常常照本宣科，导致学生难以认清问题的本质，在应用时常容易陷入思维误区，影响了学生估算能力的提升。为了深化学生对估算的理解，教师应关注估算中产生的疑难问题，通过运用一些行之有效的策略帮助学生跨过思维误区，提升学生的估算能力。在小学数学教学疑难问题调研活动中，笔者收集并整理了关于估算教学的一些疑难问题，现选取其中几点进行研习，仅供参考。

一、估算方法“多样性”

在估算教学中发现，大多数学生常常将估算与求近似值同等对待。因此学生在估算时常常进行“四舍五入”，那么估算时是否必须进行“四舍五入”呢？

1. 具体问题

在估算631-409时，大多数学生习惯性地将631看成630，将409看成410，然后进行计算。若将409看成400，不进行“四舍五入”，这样正确吗？

2. 问题解析

估算与求近似值虽然在思考方法上存在一定的一致性，不过两者有着本质的区别，不能同等看待。

首先，从流程上来看，估算是先估后算;求近似值则恰恰相反，它是先算再估。在估算运算时，很多学生先是进行精确计算，然后求近似值。比如，在估算4018-1020时，学生的运算过程是4018-1020=2998≈3000，然而估算的实际流程应该为4018-1020≈4000-1000=3000。如果在运算时先算再估就失去了估算的价值，从而陷入“为了估算而估算”的错误意识。

其次，从精确程度上来看，估算没有过多的要求，求近似值则需要按照一定的规则和标准运算，有明确的要求。

最后，从灵活程度来看，估算关注的是具体的情境，比求近似值更加灵活。

可见，两者虽有一定的关联但也有明显的区别，因此在具体应用时不能同等看待。另外，从教材安排上来看，学生是先学习估算再学习“四舍五入”，即使学生在学习本节课前已掌握和理解“四舍五入”，但是在估算中强制应用也是不合理的。

3. 解决意见

在估算运算时所采用的基本思考方法是，要估算的数若接近于哪个整千就尽量看成整千，比如1020、991;不能看成整千的，看是否可以看成整百，如果可以尽量看成整百，比如908;以此类推，看成整十或整百，如68、945。其实对于这一思考方法，学生并不陌生，在认识“百以内的数”时就有着广泛的接触，因此学生具有丰富的认知经验。这样，在这一思想方法的指导下，学生会根据实际情境进行估算。

此外，在教学中教师应多介绍一些估算方法，比如“四舍五入法”“进一去尾法”“取中法”“一大一小法”“数据联想法”等多种方法，让学生根据实际灵活选择和合理估算。

（1）进一去尾法：“进一法”，即无论后面的数是几，去掉尾数后都向最高位“进一”，比如68和62“进一”后均为70;“去尾法”，即只看每个数的最高位，其他数一律舍弃，如68和62“去尾”后均为60。

（2）取中法：如在估算42、46、41、49这四个数的和时，将这几个数都看成45参与运算，直接用45×4大约计算出几个数之和。

（3）一大一小法：若有两个数参与运算，则可以一个数估大一点，另外一个数估小一点;或者一个数估大或估小，而另一个数不变。比如估算18×31，可以看成20×31=620，这样将值估大了，因此结果应小于620;也可看成18×30=540，将其中一个数估小了，因此结果应大于540。因此18×31实际值应该在540与620之间。

（4）数据联想法：比如在估算126×8时，可以联想125×8，即126×8的积大约为1000，不过其实际值应该比126×8略大。比如估算418÷6时，可以联想乘法口诀，所以有418÷6≈70。

估算的方法不局限于以上几种，在估算的过程中教师不要强制学生应用某种方法，而要引导学生根据实际情况进行灵活调整。这样既可以提高学生思维的灵活性，又能提升其实际解决问题的能力。

二、估算结果“合理性”

估算的方法灵活多变，应用不同的估算方法其结果往往会不同，那么估算结果是不是越精准越好呢？

1. 具体问题

192+318≈190+320=510是对的，那么192+318≈200+300=500也对吗？

2. 问题解析

教学中，部分教师认为将318看成300显然不够准确，因为在估算时应该精确到整百整十。通过估算结果准确与否来评判估算的对错与否显然不合理，这样会影响更多新的估算方法的生成。估算方法不是唯一的，在应用估算解决问题时学生可以根据实际灵活选择估算方法，不需要强制学生应用统一的估算方法。估算方法是多样化的，因此在估算结果的评价上也应是多元化的，将准确性视为唯一标准显然不合理。在具体练习中，不同的学生可能会选择不同的估算思路。教师在估算结果评价时不能搞“一刀切”，简单地认为结果越精确越好。此外，在教学中教师要鼓励学生应用不同的估算方法来解决问题，这样可以锻炼学生思维，提高学生数学运算能力。

3. 解决意见

教师在应用多种评价方式评价时，应把握好以下几点：

（1）分学段评价。对于刚刚接触估算的学生，估算结果可以允许在一个较大的区间内。但是随着学生知识、经验和能力的不断提升，应尽量缩小估算结果的范围。

（2）用区间值来衡量估算结果是否合理。对于估算，不能将估算结果是否与精确值接近视为唯一的标准，这样将难以体现估算方法的多样性、灵活性。在具體评价时，只要估算结果落在一定的区间内，就可以判断其合理性。比如，估算294+307时，学生给出了如下计算结果：①294+307≈300+300=600;②294+307≈290+310=600;③294+307≈290+300=590;④294+307≈294+300=594;⑤294+307≈300+310=610。

在估算时，有的学生应用的是“四舍五入法”，有的学生应用的是“一大一小法”，还有的学生应用的是“进一法”，无论学生应用何种估算方法，只要其运算结果在600左右都应该是正确的。

（3）用解决问题的合理性进行评价。若将纯式估算294+307转化为实际问题，这样在解决问题的过程中就需要联系具体情境进行分析，关注解决问题的合理性。

变式1：妈妈带700元去超市准备购买如下两件商品：电饭锅307元/只，电扇294元/台。妈妈带的钱够买吗？

变式2：某校组织550名学生去电影院看电影，该电影院有两个大型播放厅可供学生观影，其中一个播放厅可容纳294人，另一个播放厅可容纳307人。是否够坐呢？

对于变式1，要确保钱够，在估算时应该估大，即294+307≈300+310=610。对于变式2，要确保学生够坐，在估算时就应该估小，即294+307≈290+300=590。可见，在解决实际问题时除了考虑估算方法外，还应关注解决问题的合理性。以上两个问题虽然估算的方法不同，但是都合理地解决了实际问题，体现了估算的灵活性。

三、估算策略“适宜性”

在估算时，要么将数估大，要么将数估小。因此在具体应用时学生常有这样的困惑：到底是估大了好，还是估小了好呢？

1. 具体问题

某校组织104名学生去秋游，团购票的价格为49元/人，请你估一估，这次秋游需要准备多少钱？

在解决问题过程时，学生给出了两种估算方案：①49×104≈50×100=5000;②49×104≈50×110=5500。若将两种方案相对比，是否存在最优估算方案呢？该如何评价呢？

2. 问题解析

在学生刚接触估算时，只要能选择适当的估算方法进行估算即可。但是随着学生解题经验的不断丰富，在估算训练时不能只关注估算方法的训练，还应关注其在解决问题中的应用，关注估算策略的“适宜性”。以上练习是学生已经熟练掌握估算方法、策略的基础上给出的，其目的是引导学生合理选择估算方法和策略解决实际问题。

3. 解决意见

在估算时，对于估大还是估小并无好坏优劣之分，只有适合与不适合之分。对于是否适合可以从三个方面来衡量：一是是否接近准确值;二是是否易于口算;三是是否符合客观实际。在估算教学中，教师要引导学生从生活实际出发，基于以上标准选择适合的方法、策略。值得注意的是，在选择和实施合适的估算策略时不一定一步到位，可以根据实际情况临时做出调整。比如在上述例题中，第一方案是一个估大一个估小，虽然合理地应用了基本估算方法，但是其显然不符合实际情况：因为购买100张门票需要4900元，而100元显然无法购买4张门票，因此得到估算结果后还应联系客观实际进行适当的调整。

为了深化对“适合”估算策略的理解，在具体教学中，教师可以通过题组练习进行强化。通过一些数据相同、情境不同的题组让学生进行对比辨析，亲身体验选择“适合”的估算策略不能用简单的估大、估小来衡量。比如在估算58×104时，教师设计了如下情境：

（1）四年级（1）班有58人购买校服，校服每套104元。请估一估，大约需要准备多少钱？

（2）一袋大米重58千克，104袋大米大约重多少千克？

（3）一个体育馆共有58排座位，每排有104个座位。估一估，共5500人是否能坐得下呢？

以上题组数据相同，情境不同，在选择策略时也有所不同。对于问题1应选择估大，这样才能确保钱够;对于问题2，只是估算重量，选择适合口算的估算方法即可;对于问题3，为了确保够坐，在估算时应该估小。可见，将估算引入具体情境进行辨别，有助于深化学生对“合适”的理解。

四、注重估算“自觉性”

笔者在教学中发现，部分学生的估算意识不强，只是单纯地将估算看成一类题看待，并没有将其应用到生活实践中去，不会主动估算。

1. 具体问题

学生并没有体验到估算的应用价值，只是为了估算而估算，估算意识不强。那么在教学中如何培养学生的估算意识？如何让学生主动进行估算呢？

2. 问题解析

在估算教学中，教师将教学的重心放置于学生估算技能的培训上，常常通过大量的纯式估算来强化技能，忽视学生估算意识的培养，因此学生在遇到一些没有明确规定是否进行估算的问题时，常常感觉不知所措。在解题过程中，学生仅是通过题目中是否出现“大约”这一关键来判断是否需要估算。其实有时候题目中出现“大约”并不一定就用估算，比如1袋小麥大约58千克，72袋小麦大约多重呢？题目中“58千克”本身就是一个大约值，所以本题在计算时不一定必须用估算，可以用精确计算。另外，有些题目中明明没有“大约”的字眼，但是在实际操作中需要估算，比如，一篇文章共400个字，小明平均每分钟打54个字，8分钟能打完吗？

可见，在具体应用中，不能用“大约”判断是否要用估算，而要从生活实际出发，结合具体情境进行合理的分析和判断。因此，在估算教学中，除了注重估算的技能训练外，还应引导学生从具体情境出发，以此在提高学生数学应用能力的基础上，培养学生估算意识。

3. 解决意见

运用估算时不应依赖于某个关键词，教师要引导学生从实际情境出发，灵活选择，注重培养学生估算意识。在培养学生估算意识时不能急于求成，应善于通过潜移默化的渗透和引导使之逐渐提升和落实。

（1）教学中渗透。在教学中，教师要创设一些学生感兴趣的生活情境，引导学生运用估算解决实际问题，体验估算的应用价值，以此培养学生估算的习惯。在具体实施中，教师可以引导学生运用估算解决问题，还可以引导学生运用估算检验笔算结果，从而将估算变成学生的自觉意识。

（2）练习中引导。在练习中教师不要一味地强调技能训练，要让学生切实感受估算的意义，以此引导学生形成估算习惯。

为了让学生感受估算意义，教师可设计如下类型的题目：

小明去商场购买2种商品：皮鞋要306元，西装要655元。以下问题中哪种情况适合用估算？请在运用估算的括号内打“√”。

①当小明想知道带1000元是否够用时。（  ）

②当售货员告知应付金额时。（  ）

③当小明想知道应找回多少钱时。（  ）

④当小明想知道是否能够参加购物满800元抽奖活动时。（  ）

这样借助学生熟悉的生活情境，引导学生合理预判，有利于培养学生的估算意识。

总之，在估算教学中，教师要引导学生结合具体情境选择适合的运算方法、策略，以此在具体问题的解决过程中体验估算的意义，从而将估算变成学生的自觉意识，充分发挥估算的价值，提高学生解决实际问题的能力。

作者简介：王小莉（1976—），本科学历，中小学一级教师，从事小学数学教学工作。