小学生解决“等分除模型”问题的策略研究

[摘  要] “等分除模型”问题是指学生知道总数和份数，把一个数平均分成几份求一份数是多少的问题。刚好分完和分后有余是“等分除模型”中常见的问题，二年级学生解决这类问题时会采用不同的表征方式：动作表征、符号表征、语言表征、现实情境表征。

[关键词] 等分除模型;策略研究;前测分析

一、问题的提出

“等分除模型”问题是指学生知道总数和份数，把一个数平均分成几份求一份数是多少的问题。笔者以“等分除模型”教学为例，探究学生采用的表征方式以及解决刚好分完和分后有余这两种方式的解决问题的策略。为了了解学生的已有学习经验，笔者设计了相关的问题，并努力借助这些开放性的问题了解学生对“等分除”的学习经验，为基于学习路径的单元整体教学设计提供科学依据。

二、研究目的及主要问题

1. 研究目的

分析二年级的学生在解决“等分除模型”时有哪些表征方式，为小学数学的教学设计提供参考依据。

2. 研究的主要问题

（1）二年级学生在解决刚好分完这种“等分除模型”时有哪些表征方式;

（2）二年级学生在解决分后有余这种“等分除模型”时有哪些表征方式。

三、研究设计

1. 研究对象

按照现行的小学苏教版数学教材，笔者选择了二年级6个班共264名学生作为研究对象，他们均未在学校里学习过有关除法的内容。

2. 测试和访谈题目

本次测试采用纸笔答题，分不同时间段进行前测：第一次是学生学习苏教版二年级上册第四单元“表内除法（一）”前，引导学生完成刚好分完和分后有余这两种“等分除模型”的题目，考查学生是否能用画图、减法算式、除法算式和文字等方式表征分物的过程;第二次是学生学习“有余数的除法”前，引导学生完成分后有余这种“等分除模型”的题目，考查学生是否能用画图、减法算式、除法算式和文字等方式表征分物的过程，从刚好分完的除法模型中正迁移到分后有余的除法模型。

第一次前测：

1. 把12个圆片平均分成3份。

（1）画一画，分一分。

（2）用减法表示分的过程。

第1次分3个，剩下（  ）个。

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第2次分3个，剩下（  ）个。

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第3次分3个，剩下（  ）个。

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第4次分3个，剩下（  ）個。

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（3）你能用除法算式来表示吗？

（4）你能用一句话描述分物的过程吗？

（5）这个除法算式，除了能表示“把12个圆片平均分成3份”这种情境，还能表示哪些现实情境？（至少写2种）

2. 把16个圆片平均分成5份。

（1）画一画，分一分。

（2）用减法表示分的过程。

第1次分5个，剩下（  ）个。

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第2次分5个，剩下（  ）个。

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第3次分5个，剩下（  ）个。

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（3）你能用除法算式来表示吗？

（4）你能用一句话描述分物的过程吗？

（5）这个除法算式，除了能表示“把16个圆片平均分成5份”这种情境，还能表示哪些现实情境？（至少写2种）

第二次前测：

1. 把21个圆片平均分成6份。

（1）画一画，分一分。

（2）用减法表示分的过程。

（3）你能用除法算式来表示吗？

（4）你能用一句话描述分物的过程吗？

（5）这个除法算式，除了能表示“把21个圆片平均分成6份”这种情境，还能表示哪些现实情境？（至少写2种）

3. 测试和访谈过程

第一次测试时间选择在学生没有接触过表内除法等知识前;第二次测试时间选择在学生学习表内除法后，但是还没有学习有余数的除法等知识。测试对象为二年级不同教师执教的两个平行班级共88名学生。学生在解答过程中，教师没有做任何提示和指导，整个测试过程基本反映了学生真实的认知水平。测试后，教师对学生的解题情况进行批改和整理、分析，并选择部分学生进行访谈，了解他们的思考过程。

四、“等分除模型”的测试结果分析

1. 二年级学生初次解决“等分除模型”时能想到不同的表征方式

从表1可知，二年级学生在解决刚好分完和分后有余这两个问题时能想到用不同的方式进行表征。其中解决刚好分完问题时想到用1种方法进行表征的占59.1%，解决分后有余问题时想到用1种方法进行表征的占31.8%。据笔者观察，学生的这一种方法主要是动作表征。

2. 二年级学生再次解决分后有余时能想到更多的表征方式

从表2可知，当学生学习表内除法知识时，经历了动作表征、符号表征、语言表征和现实情境表征等过程，对刚好分完这种问题有了全面的认识。因此，学生在第二次前测时，比第一次前测分后有余问题时有了更多的表征方式：第一次解决分后有余问题时不能进行表征的占48.9%，第二次解决分后有余问题时不能进行表征的占5.7%;第一次解决分后有余问题时用1种方法进行表征的占31.8%，第二次解决分后有余问题时用1种方法进行表征的占46.6%。可见，学生学习表内除法时的各种表征方式对有余数的除法有积极促进作用。

3. 二年级学生解决“等分除模型”时多用动作表征和除法算式表征

从表3可以看出无论是解决刚好分完问题还是解决分后有余问题，大多数学生都是用动作表征分物的过程，其中学生解决刚好分完问题时运用动作表征的占59.1%，解决分后有余问题时运用动作表征的占31.8%。为了进一步了解学生用动作表征的过程，笔者访谈了部分学生：如把12个圆片平均分成3份时，有的学生是1个1个地分圆片，把12个圆片分到不能再分为止;有的学生第一次分3个圆片，第二次分3个圆片，以此类推分完为止;有的学生想到了乘法口诀“三四十二”，就立即4个4个地分，直接分完了。

二年级学生首选动作表征解决“等分除模型”;其次是符号表征，学生解决刚好分完问题时运用符号表征的占57.9%，解决分后有余问题时运用符号表征的占23.9%;再次是语言表征，学生解决刚好分完问题时运用语言表征的占23.9%，解决分后有余问题时运用语言表征的占8.0%。

五、结论

1. 这组题目的测试和分析后得出的结论

（1）二年级学生解决“等分除模型”时能想到不同的表征方式，比如动作表征、符号表征（减法算式和除法算式）、语言表征、现实情境表征。

（2）当二年级学生学习表内除法后，相比第一次前测分后有余问题，第二次前测时有了更多的表征方式。

（3）二年级学生解决“等分除模型”时多用动作表征和除法算式表征。

（4）二年级学生在解决“等分除模型”时，个体之间存在差异性。

2. 对小学数学教学的启示

（1）在表内除法的新课教学中，教师要设计丰富的体验活动，帮助学生经历动作表征、符号表征（减法算式和除法算式）、语言表征、现实情境表征等活动，建立平均分的表象。

（2）在有余数除法的新课教学中，教师要从复习表内除法导入，引导学生发现分物时会出现刚好分完和分后有余这两种情况，并沟通表内除法和有余数的除法之间的联系。

（3）在教学活动前进行前测，有利于教师更好地把握学情，了解大多数学生的已有知识经验。

作者简介：贾俊俊（1981—），本科学历，二级教师，从事小学数学教学工作。