基于学习路径分析的“两、三位数乘一位数”单元整体教学

[摘  要] 为了做好算理和算法的迁移，开展“两、三位数乘一位数”单元整体教学，文章以“两、三位数乘一位数”单元为例，通过理解单元学习目标、确定学习起点、单元整体设计的思考等，对本单元的教学活动进行调整，重新设计了学习路径。

[关键词] 学习路径;单元教学;多位数乘一位数

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出：数的运算教学应利用整数的乘法运算，理解算理与算法之间的关系。在数量关系的教学中教师应设计合适的问题情境，引导学生分析和表达情境中的数量关系，启发学生会用数学的语言表达现实世界，形成初步的模型意识，提升解决问题的能力。在估算教学中，教师要引导学生在具体的问题情境中选择合适的单位进行估算，体会估算在解决实际问题中的作用，了解估算的实际意义。

“多位数乘一位数”是学生学习表内乘法、万以内加减法后的深入学习。以苏教版小学数学教材为例，“两、三位数乘一位数”单元教学内容包括整十、整百数乘一位数的口算和相应的估算;倍的认识，求一个数是另一个数的几倍以及求一个数的几倍是多少的简单实际问题;不进位的两、三位数乘一位数;不连续进位的两、三位数乘一位数;连续进位的两、三位数乘一位数;乘数中间或末尾有0的乘法等。从本单元的教学重难点看，重点是帮助学生掌握乘法的口算和竖式计算。那么，教师在教学过程中如何帮助学生利用已有知识建构乘法竖式模型，如何实现算理和算法的迁移？本文基于学习路径分析，对“两、三位数乘一位数”单元进行了整体教学的思考。

一、理解单元学习目标

1. 单元教学内容概述

苏教版教材三年级上册“两、三位数乘一位数”单元的教学目标主要是：

（1）教师在数学课堂上设计学习任务让学生经历多位数乘一位数计算的探索过程，并让学生能口算整十、整百数乘一位数和两位数乘一位数;能正确竖式计算两、三位数乘一位数;能合理地选择策略估算两、三位数乘一位数。

（2）让学生结合具体情境理解“倍”的含义，能够正确解决“求一个数是另一个数的几倍”和“求一个数的几倍是多少”的实际问题;能选择估算策略解决实际问题;能用乘法和加减法解决两步计算问题，在解决问题中通过思考、分析等基本方法，帮助学生积累数学活动经验。

（3）让学生在探索算法和解决问题的过程中，深刻感受数学知识能解决生活中的问题，增强与同伴之间的合作交流，进一步养成逐字逐句读题、认真仔细计算以及有错必订正的好习惯。

人教版教材三年级上册“多位数乘一位数”单元的教学目标主要是：

（1）在理解计算算理的基础上，帮助学生熟练地掌握口算整十、整百、整千数乘一位数，两位数乘一位数（不进位）的计算方法;

（2）给予学生较长的时间自主探索多位数乘一位数的乘法，让他们明白笔算竖式中每一步答案的由来，会正确计算多位数乘一位数;

（3）帮助学生结合具体生活情境，学会选择合情合理的策略进行估算，形成估算意识;

（4）让学生运用所学的知识解决实际问题，提高解决问题的能力，发展应用意识。

北师大版教材三年级上册“乘法”单元的教学目标主要是：

（1）让学生在学习表内乘法的基础上，继续深入地学习乘法，用乘法解决问题;

（2）让学生完整地经历两、三位数乘一位数计算方法的探索过程，正确掌握竖式计算方法;

（3）让学生学会用乘法解决生活中的实际问题，进一步拓展解决问题的方法，提高解决问题的能力。

比较这三个版本教材会发现，都提出了“经历探索两、三位数乘一位数的计算过程，能正确笔算两、三位数乘一位数，能解决简单的实际问题”等要求。苏教版教材在这个单元中还安排了倍的认识，能解决“求一个数是另一个数的几倍”以及“求一个数的几倍是多少”的简单实际问题。人教版教材在这个单元中还安排了乘法估算的教学内容。

由此得出，本单元的教学内容有以下三个方面：（1）理解两、三位数乘一位数的算理，掌握计算方法;（2）能够结合具体情境，選取恰当的策略进行乘法估算;（3）理解“倍”的含义，能解决倍的相关问题。

2. 确定核心目标

在本单元的学习中，两、三位数乘一位数的算理和算法是本单元的重难点，教师需要帮助学生经历竖式模型的建构过程，让他们理解竖式中每一个数的由来。当学生掌握了两、三位数乘一位数的计算后，才能利用计算来解决倍的相关问题和估算问题。

同时，两、三位数乘一位数作为竖式模型建构的“种子课”，两、三位数乘一位数的算理和算法还影响着两、三位数除以一位数、两位数乘两位数以及三位数乘两位数的算理和算法的建构。因此，本单元的核心目标是“理解两、三位数乘一位数的算理和算法，并解决乘法实际问题”。

3. 核心目标具体化

（1）理解两、三位数乘一位数的算理和算法。

两、三位数乘一位数包括整十、整百数乘一位数，两、三位数乘一位数的估算，不进位乘法，不连续进位乘法，连续进位乘法，三位数的中间或末尾可能有0的乘法。理解两、三位数乘一位数的算理和算法，重点要解决竖式的书写格式以及在笔算过程中从哪一位乘起、怎样进位等问题。

（2）解决相关乘法实际问题。

以苏教版教材为例，本单元有关乘法实际问题包括以下三个方面：一是在教学整十、整百数乘一位数的口算和相应的估算之后，教材安排了倍的认识以及“求一个数是另一个数的几倍”和“求一个数的几倍是多少”等。这样的教学安排有利于学生在解决问题中加深对乘法意义的理解，练习多位数乘一位数的计算;二是用估算解决简单的实际问题，引导学生根据生活经验和问题情境合理选择估算策略，用乘法解决估算问题;三是教材从练习2开始安排了连续两问的实际问题，从练习3开始安排了用乘法和加（减）法两步计算解决的实际问题。

二、确定学习起点

为了了解学生的学习起点，笔者围绕乘法算理算法、解决实际问题等角度设计了前测问题，测试了三年级230名学生两、三位数乘一位数的掌握水平。

1. 学生对理解乘法算理算法情况的分析

测试题：每套书有16本，王老师买了8套。一共买了多少本？

（2）看竖式中，第一部分积是（  ）×（  ），表示（  ）套书共有（  ）本;第二部分积是（  ）×（  ），表示（  ）套书共有（  ）本;最后结果是把（  ）和（  ）合起来，表示（  ）套书共有（  ）本。

测试结果及其表现性评价框架见表1。

根据前测结果发现41.7%的学生处在水平0和水平1阶段，他们知道16×8的答案，但是他们不理解如何写成测试题中的竖式，更不清楚每一步积与最终答案分别是怎么来的;20%的学生处在水平2阶段，他们不仅知道答案，也知道每一步的计算过程，但是不能结合具体情境解释乘法含义。

2.学生对乘法解决问题情况的分析

测试题：

（1）三（5）班有47人去公园游玩，每张门票8元，带400元买门票够吗？

（2）红花有8朵，黄花有6朵，蓝花有2朵。①黄花是蓝花的几倍？②绿花是黄花的3倍，绿花有多少朵？

測试结果及其表现性评价框架见表2。

根据前测结果发现52.6%的学生处在水平0、水平1和水平2，他们能用乘法解决如问题1的简单题目，但是不理解倍的相关知识;16.9%的学生处在水平3、4，他们能解决有关倍的一道或两道题目;只有2.2%的学生具有估算意识，且能用乘法解决简单题目和倍的问题。

三、单元整体设计的思考

按照苏教版教材的编排，“两、三位数乘一位数”单元的学习分为三个阶段：第一阶段教学多位数乘一位数的口算和相应的估算;第二阶段教学倍的认识，求几倍数和几倍;第三阶段教学多位数乘一位数的竖式笔算。

根据学情分析，考虑到学生学习多位数乘一位数乘法的连续性，为了让学生在不同乘法之间能进行算理和算法的正迁移，笔者将此内容分为两部分：第一部分学习多位数乘一位数的口算和相应的估算、竖式笔算;第二部分学习用乘法解决倍的相关问题，同时补充计算一倍数、乘法竖式数字谜等知识。

综上所述，基于学情分析，笔者把本单元的教学内容进行了微调，更加符合学生的认知，见表3。

经过调整后，本单元的教学内容依然分为三个阶段，但是每一阶段的具体学习内容有所调整。第一阶段主要是口算和估算，尤其是估算能帮助学生检查多位数乘一位数的答案是否正确;第二阶段主要是竖式计算，需要6课时教学，从竖式意义的建构过渡到竖式的简化，为后续乘法竖式计算铺垫基础;第三阶段主要是倍的应用，包括求几倍、几倍数和一倍数，教学时要注重画图方法指导，帮助学生建立数学模型。

总之，基于学习路径的单元整体教学有利于教师更好地把握单元的整体结构，根据学生学情从小切口入手，不断深入挖掘出相关知识，有机串联起知识的脉络，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

基金项目：江苏省现代教育研究2022年度课题“信息技术在小学数学教学中的运用研究”（2022-R-97293）。

作者简介：樊继学（1986—），本科学历，一级教师，从事小学数学教学与研究工作，曾获得江苏省乡村骨干教师培育站优秀课评比一等奖、连云港市小学数学优秀课评比一等奖。