一题多解，发散思维，多解归一，能力升华

何伟

【摘要】“解题就是把要解题转化为已经解过的题”.数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程A化归思想方法的特点是具有灵活性和多样性，在应用化归思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换，它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了化归思想.

【关键词】一题多解；发散思维；化归思想

经典例题  如图0，在△ABC中，CD⊥AB，交于点D，点E在边BC上，AE交CD于点F，若CD=AB=AE，求证：AF=CF+BD.

方法1  构造全等三角形

证明  如图1，作AG⊥AB，BG⊥BC，交于G点，连接CG，交AE于H点，易证：△CDB≌△BAG，AG∥CD，△CBG为等腰直角三角形，BD=AG；

设∠BCD=α，∠ABE=90°-α=∠AEB，∠HCF=45°-α，∠AEC=90°+α，∠CHF=45°-α，

△CFH为等腰三角形，所以CF=HF

易证：AH=AG，所以BD=AH所以AF=AH+HF=BD+CF.

方法2  构造旁心圆

证明  如图2，作∠BAE的角平分线，由B作AB的垂线，两线相交于G点，由G作CD的垂线与CD交于H点，因为AB=AE， 所以AG⊥BE，∠BAG=90°-∠ABC=∠DCB，又AB=CD，所以Rt△BAG≌Rt△DCB，所以GB=BD=GH，所以G在∠CDB的角平分線上，即G为△ADF的旁心，AB、DF均与⊙G相切，因为AE=AB，所以E为⊙G切点，所以DF=DH+HF=BD+EF，

即AE=AB=CD=DF+CF=BD+EF+CF，因为AE=AF+EF，所以AF=CF+BD.

方法3  三角比计算

证明  如图3，作AG⊥BE，交BD于G点，设CD=AB=AE=1，BD=x，角α，β见图上标注，

易得：tanα=1x，tanβ=x，

tan∠FAD=tan2β=2x1－x2，

在Rt△ADF中，DF=2x1+x，

AF=1+x21+x，CF=1－DF=1－x1+x

则CF+BD=1－x1+x+x=1+x21+x，所以AF=CF+BD.

方法4  构造正方形

证明  如图4，作∠BAE的角平分线，由B作AB的垂线，两线相交于G点，连接GE、FG，

作CH⊥BG，交点H，则四边形ABHK为正方形.

所以AK=AE=AB，所以ABHK为正方形，所以AB=BH.

因为AB=AE，AG平分∠EAB，易证：∠AEG=90°.

易证：△ABG≌△BHC，所以CH=BG=EG=BD.

作CJ∥FG，CJ与GH交于J，所以CF=JG，FG=CJ.

因为EG=CH，FG=CJ，∠FEG=∠CHJ=90°所以△EFG≌△HJC，所以EF=HJ.

因为AB=BH=AE，所以AF+EF=JH+BG+CJ，所以AF=BD+CF.

方法5  构造相似三角形

证明  如图5，延长FA到G，使得AG=AD，过F作FH⊥AF，交GD于H，

设∠AGD=∠ADG=α，

则∠FAD=2α，∠DFH=2α，∠FHD=90°-α，∠FDH=90°-α，∠ABE=90°-α，∠BCD=α，

易得：△BCD∽△HGF，

所以CDFH=AG+AFFD=AD+AFFD

所以CD·DF=（AD+AF） ·BDCD·2DF=2（AD+AF） ·BD

所以CD2+CD（DF-CF）=2（AF+AD）AB2-2AD·BD+CD（DF-CF）=2AF·BD

所以AD2+DF2+BD2-CF2=2AF·BDAF2+BD2-2AF·BD=CF2

所以（AF-BD）2=CF2AF=CF+BD

方法6  解析法——建立平面直角坐标系

证明  如图6，以D点为原点，直线AB为X轴，直线DC为Y轴，建立平面直角坐标系.

不妨设AB=CD=AE=1，DB=a（a>0），则点B，A，C的坐标分别为B（a，0），A（1-a，0），C（0，1），作AH⊥BC，交BC于H点，

因为AE=AB，所以H为BE中点，且AH⊥BC，因为kBC=－1a，所以kAH=a.

可得直线AH的方程为：y=ax+a（a－1），因为直线BC的方程为：y=－1ax+1.

联系方程组可得点H坐标为

H（－a3+a2+aa2+1，2a2－aa2+1）.

因为H为线段EB的中点，可得点E的坐标为E（－3a3+2a2+aa2+1，4a2－2aa2+1）.

从而可得直线AE的方程为：

y=2a－a2+1x+2a（a2+a－2）（a2+1）（a+1）.

因为直线AE交Y轴于点F，可得点F的坐标为F0，2a（a2+a－2）（a2+1）（a+1）.

由两点间距离公式可得：

AF=a3－a2+3a－1a2+1，

CF=－a2+2a+1a2+1，BD=a，

计算可得：AF=CF+BD.

典型应用  一题多解是几何学习过程中不断提升思维能力的有效手段，针对同一个问题，用不同的思考方式，体会上不同方法之间的融会贯通，在个性中寻找共性，以解决类似的几何问题打下坚实的基础，在应用的过程中，我們要针对具体问题，要合理选择最适合的证明方法，下面提供两道例题，本文仅选用一种较为简洁的证明方法，其他方法留给读者自信完成．

例题1  如图1.1，已知：正方形12中，12分别在12上，12于12，求证：12．反之，若12．

解答  如图1.1，延长CB至H，使BH=DF，连结AH，则△AHB≌△AFD，∠HAF=∠BAD=90°，∠HAF=90°-45°=45°，又AH=AF，AE=AE，故△AHE≌△AFE，AB、AG为其对应边上的高，于是AG=AB．

反之，若AG=AB，则RT△ABE≌RT△AGE，∠EAG=∠BAE，同理∠FAG=∠DAF，于是∠EAF=12∠BAD=45°．

例题2  如图2.1，已知：△ABC中，∠A=45°，AD⊥BC于D，BD=3、CD=2．求：AD.

解答  如图2.2，由题意知AD⊥BC，则∠ADB=∠ADC=90°，翻折直角△ABD到△ABE，翻折直角△ADC到△AFC，延长EB、FC，交于点G．

由翻折的对称性得：∠BAD=∠BAE=∠1，∠CAF=∠CAD=∠2，AE=AF，因为∠A=45°，则2∠1+∠2=90°=∠EAF，又∠AEB=∠AFC=90°，所以四边形AEGF为正方形，设正方形边长为x；在Rt△BCG中，x－22+x－32=52，解得：x=6或－1（舍），所以AD=6．

结语

面对抽象的平面几何问题，可以用转化和化归思想进行问题转化，应用全等、相似、三角比、圆等工具，将抽象问题具体化，复杂问题简单化，从而顺利解决问题.通过建立平面直角坐标系，充分运用代数计算方法进行化归，将几何问题代数化，从而解决抽象的几何难题.充分理解不同解题方法的深层原理和数学思想，直线与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想， 特殊与一般的思想.敢于发散思维，大胆尝试独特的解题思路，并在运用过程中根据题目的实际需要，对方法进行合理有据的转化，使之能够正确、合理的完成对题目的简洁性解答.