解三角形中的最值或范围问题

李鸿媛

摘要：解三角形的最值或范围问题是高考考查的热点内容之一，并且对解三角形的命题设计，不只局限于解三角形，而是通常利用正余弦定理、三角形面积公式等求解三角形的边、角、周长和面积的最值等问题.这类问题的解法主要是将边角互化转化为三角函数的最值问题，或利用基本不等式求最值.本文中对这类问题加以归类解析，以提升学生的解题能力.

关键词：解三角形；最值；范围

1 与边有关的最值或范围问题

例1在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B=π3，若a+c=4，则b的取值范围为.

解析：由a+c=4，B=π3，由余弦定理得b2=a2+c2－2accos B，则b2=（a+c）2－2ac－2accosπ3，即b2=16－3ac.

由a+c≥2ac，得4≥2ac，即0

评析：本题利用已知条件结合余弦定理，借助基本不等式求三角形边的取值范围［1］，渗透了逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

例2在△ABC中，角A，32B，C成等差数列，且△ABC的面积为1+2，则AC边长的最小值是.

解析：由A，32B，C成等差数列，得A+C=3B.又A+B+C=π，所以B=π4.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由S△ABC=12acsin B=1+2，可得ac=22+4.由余弦定理得b2=a2+c2－2accos B，则b2=a2+c2－2ac.又a2+c2≥2ac，则

b2≥（2－2）ac，即b2≥（2－2）（22+4），所以b≥2（当且仅当a=c时，等号成立）.故AC边长的最小值为2.

评析：本题考查了学生对等差数列的概念、三角形内角和定理、三角形面积公式、余弦定理等的掌握情况.解题的关键是将余弦定理与不等式相结合，进而求出三角形一边的最值.

2 与角有关的最值或范围问题

例3在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A≠π2，sin C+sin（B－A）=2sin 2A，则角A的取值范围为.

解法一：在△ABC中，C=π－（A+B），则sin C=sin（A+B），所以sin（A+B）+sin（B－A）=2sin 2A，即2sin Bcos A=22sin Acos A.又A≠π2，则cos A≠0，

所以sin B=2sin A.由正弦定理，得b=2a，则A为锐角.又sin B=2sin A∈（0，1］，于是可得sin A∈0，22，故A∈0，π4.

评析：解法一利用三角形内角和定理、两角和与差的正弦公式、正弦定理与三角函数的性质等知识，对学生的推理能力、运算能力和直观想象能力进行了考查.

解法二：在△ABC中，C=π－（A+B），则

sin C=sin（A+B），所以sin（A+B）+sin（B－A）=2sin 2A，即2sin Bcos A=22sin Acos A.又A≠π2，则cos A≠0，所以

sin B=2sin A.由正弦定理，可得b=2a.结合余弦定理，可以得到cos A=b2+c2－a22bc=12b2+c22bc≥212b2＼5c22bc=22，当且仅当c=22b时，等号成立，故A∈0，π4.

评析：解法二考查了三角形内角和定理、两角和与差的正弦公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式等知识.这种解题方法需要学生灵活运用两个正数的和与积的关系，充分体现学生的数学运算能力和数据分析能力.

3 与周长有关的最值或范围问题

例4△ABC为锐角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知33bsin C+ccos B=a，且c=2，求△ABC周长的最大值.

解析：由33bsin C+ccos B=a，根据正弦定理，得33sin Bsin C+sin Ccos B=sin A.由A=π－（B+C），得sin A=sin（B+C）.所以33sin Bsin C+sin Ccos B=sin（B+C），即33sin Bsin C=sin Bcos C.

由sin B≠0，得33sin C=cos C.

又cos C≠0，所以

tan C=3.

而0

根据正弦定理，得a=433sin A，b=433sin B，则a+b+c=433sin A+433sin B+2=433sin A+433sin2π3－A+2=43332sin A+32cos A+2=4sinA+π6+2.

由△ABC為锐角三角形，可知

0

所以π3

因此32

故23+2<4sinA+π6+2≤6.

因此△ABC周长的最大值为6.

评析：这道题解题的关键是利用正弦定理将边化为角，转化为求三角函数的最值问题［2］，考查了逻辑推理和数学运算等核心素养.

4 与面积有关的最值或范围问题

例5△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2（c－acos B）=3b.

（1）求角A；

（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围.

解法一：（1）略.

（2）由（1）知A=π6，又a=2，根据正弦定理，可得b=4sin B，c=4sin C.

由C=π－A-B=5π6－B，得

sin C=sin5π6－B.

所以，S△ABC=12bcsin A=14bc=4sin Bsin C

=4sin Bsin5π6－B=4sin B12cos B+32sin B=2sin Bcos B+23sin 2B=sin 2B－3cos 2B+3=2sin2B－π3+3.

由0

－32

解法二：（1）略.

（2）由（1）知A=π6，a=2，则S△ABC=14bc.

由cos A=b2+c2－a22bc=b2+c2－42bc=32，可得

b2+c2－4=3bc.又b2+c2≥2bc，则0

故△ABC面积的取值范围为（0，2+3］.

评析：本题求解三角形面积的取值范围，解法一通过正弦定理将边转化为角，再利用三角函数的性质，求解三角形面积的取值范围.解法二先利用余弦定理，结合不等式b2+c2≥2bc，求解bc的取值范围，接着利用三角形面积S△ABC=12bcsin A求出面积的取值范围［3］.这兩种解法都考查了数学运算、逻辑推理等数学核心素养.

数学这门学科需要学生具备较强的逻辑推理能力、运算能力、直观想象能力等.

针对解三角形最值或范围问题，学生需要熟练掌握三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、基本不等式等知识，并能够进行综合运用.

参考文献：

[1]刘海涛.谈解三角形中有关求范围或最值的解题策略[J].数理化学习（高中版），2022（7）：3-7.

[2]张露梅.解三角形中的范围或最值问题[J].中学生数理化（高二数学），2021（11）：35-36.

[3]玉素贞.解三角形最值问题的两种转化策略分析[J].考试周刊，2021（49）：85-86.