品味文化韵味 彰显数学文脉

殷伟康

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，将数学文化融入教学，有利于激发学生兴趣、开阔视野，帮助学生理解数学，提升数学核心素养.新课标强调了数学文化的教育功能，并要求数学文化应尽可能与高中数学课堂教学内容进行有机结合.本文中以笔者的市级公开课“斐波那契数列”课堂教学实践为例，阐述“基于数学文化的教学设计理念和思路，如何将数学文化渗透到日常教学中，使学生在学习数学的过程中受到数学文化的熏陶，体验数学文化的魅力，促进核心素养的发展”.

1 教学实录

1.1 创设情境，经典再现，发现规律

问题1202年意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘书》一书中提出了“兔子的繁殖”问题：有一个人第一个月底时在一间房子里放了一对刚出生的小兔，假如每对小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔.如果不发生死亡，那么12个月后这个人有多少对兔子？

生：根据兔子的繁殖规律可以得到一个数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…….这样很容易知道12个月后共有144对兔子.

师：那么50个月后会有多少对兔子？

生：直接运算有点繁，最好找出这个数列的变化规律.

生：观察该数列的特点，从第三项起，每一项都等于自身的前两项之和，如果用an表示第n个月兔子总对数，那么a1=a2=1，an+an+1=an+2.

师：人们为纪念斐波那契，把这种数列叫斐波那契数列.很好！找到了这个数列的递推公式后，按照我们以前研究数列的方式，那么如何求出它的通项公式呢？

1.2 展开探究，不断尝试，建构数学

生：我猜想这个数列可能是两个数列的线性组合，如an=c1tn1+c2tn2，仍能满足递推关系an+an+1=an+2，再结合条件a1=a2=1，有c1t1+c2t2=1，c1t21+c2t22=1，解得c1=15，c2=－15，所以可得

an=151+52n－1－52n.

师：这种猜想尝试很值得同学们学习和借鉴！还有没有其他求解方法？

生：类比之前求数列的通项公式的方法，通过构造等比数列来求它的通项公式，设an+2－an+1=λ（an+1－an），则an+2=（λ+1）an+1－λan.

又an+an+1=an+2，所以λ+1=1，－λ=1，方程组无解.

师：数列an的通项公式是一个比较复杂的式子，一个参数不足以解决问题.

生：设an+2－λ1an+1=λ2（an+1－λ1an），则有an+2=（λ1+λ2）an+1－λ1λ2an.

由λ1+λ2=1，－λ1λ2=1，解得λ1=1－52，λ2=1+52，或λ1=1+52，λ2=1－52.

当λ1=1－52，λ2=1+52，时，数列{an+1－λ1an}是以1－λ1为首项，λ2为公比的等比数列，所以

an+1－1－52an＝1+52n.①

当λ1=1+52，λ2=1－52时，同理可得

an+1－1+52an＝1－52n.②

由①－②，得an=151+52n－1－52n.

师：这位同学运用了待定系数法通过构造等比数列来求解.斐波那契数列是一个完全由自然数构成的数列，其通项公式却是用无理数来表达的.当看到通项公式中的数5－12时，同学们会联想到什么？

生：黄金分割比.

1.3 激发思维，引深探究，欣赏数学

生：斐波那契数列中的每一项与后一项的比值随着项數的增大会趋近于0.618.

师：当n趋向于无穷大时，anan+1越来越无限地逼近黄金分割比0.618.这是一种极限思想.黄金分割是两千多年前由古希腊数学家欧克多斯发现的，蕴含着数学的奇异美和视觉美，深受美术家、建筑师和数学爱好者的偏爱.生活中有黄金分割的例子吗？

生：绘画、雕塑等艺术作品中，如断臂的维纳斯、名画《蒙娜丽莎的微笑》中都有黄金分割的体现.

师：斐波那契数列不仅具有神秘的自然之美，还有许多数学之美（有趣的性质）等待着我们去探究.下面按小组合作的方式探究斐波那契数列的性质.

生：1+1+2=4=5-1，1+1+2+3=8-1，1+1+2+3+5=13-1，

由此猜想并证明，得到结论a1+a2+……+an=（a3－a2）+（a4－a3）+（a5－a4）+……+（an+2－an+1）=an+2－a2=an+2－1，即

斐波那契数列的前n项和等于第n+2项与1的差.

生：运用递推关系，可推导出a1+a3+……+a2n－1=a2n，a2+a4+……+a2n=a2n+1－1.

生：12+12＝1×2，12+12+22＝2×3，

12+12+22+32＝3×5，

由此也可以猜想并证明得到一个结论.由an＝an－1＋an－2（n≥3），得an－1＝an－an－2，两边同乘an－1，可得a2n－1＝an－1an－an－1an－2，则

a21+a22+……+a2n=a21+（a2a3－a1a2）+（a3a4－a2a3）+……+（anan+1－an－1an）

=a21－a1a2+anan+1=anan+1，

即斐波那契数列的前n项平方和等于第n项与第n+1項的积.

师：非常好！以上同学发现了斐波那契数列许多有趣的性质，都是通过尝试对该数列前几项进行适当运算，观察其运算结果的特点，猜想并推导出它的一般规律.

1.4 总结归纳，方法提炼，思想升华

师：本节课研究了哪些内容？

生：本节课主要是研究斐波那契数列，由递推公式推导其通项公式，归纳并证明了斐波那契数列一些有趣的性质.

师：本节课涉及了哪些数学思想方法？

生：待定系数方法，归纳猜想.

师：很好！归纳法是合情推理的主要方式之一，也是探究未知世界的重要方法.世界上有许多斐波那契迷，成立了斐波那契协会，继续探究其数列的奥妙.

2 教学反思

2.1 挖掘素材，促进问题情境的合理创设

基于数学文化的教学，要让学生感受到数学学习的开放性以及向其他领域的广泛渗透性，体验到资源对其经验的支撑，领悟到同学之间的互动交流对知识构建的意义，进而体验到“数学本质上是一种文化”，从而对学生进行深刻的文化陶醉与心灵提升.在教学过程中，教师要善于挖掘与筛选更多的数学文化素材，采用更加自然的方式融入数学教学之中.本案例是通过再现“斐波那契数列”的发现、发展过程，将数学文化自然有序穿插和有选择性地整合融入，引导学生围绕斐波那契数列展开对其通项公式、性质进行探究，并穿插生活和其他领域中有关斐波那契数列的案例，了解斐波那契数列与黄金分割的关系，欣赏数学之美，这样有效地避免了知识点和数学文化内容学习的碎片化.

2.2 大胆猜想，培养学生的思维与探究能力

探究能力是人们为发现并描述事物之间的联系，理解现象的本质，获取知识，形成思想观念，掌握科学研究方法而进行的各种探索研究活动的能力.本节课中，笔者通过经典问题再现，引导学生观察数列特点，归纳出斐波那契数列的递推关系，猜想斐波那契数列的通项公式，展开联想，尝试多种方法进行探究，并不断调整研究方向，最终运用待定系数法构造等比数列求解出其通项公式来验证猜想.引导学生通过对斐波那契数列前几项进行适当运算，观察其结果，进行合情推理，猜想其性质，并验证猜想，得出结论.先让学生思考、感悟，经历“实验—观察—猜想—证明”的探究过程，然后上升为理性认识，从中获得“如何思考”的体验，这样得到的知识与方法才能转化为认识世界的智慧，有利于发展学生探究能力和培养理性精神.

2.3 精准配对，促进数学文化与核心素养融合

精准配对题材指的是将数学文化材料与所对应的数学核心素养进行配对.斐波那契数列的递推关系、通项公式和性质的探究，都是数学抽象的体现.斐波那契数列的通项公式和性质的猜想，都是通过逻辑推理加以证明得到的.通项公式和性质推导过程中的运算思路与方法，对培养学生数学运算素养起着非常重要的作用.教师在挖掘与甄选数学文化素材时，不仅要考虑素材的“趣味性、科学性、有效性和人文性”，更要研究“精准配对题材”，让学生在品味数学文化韵味的同时，培育数学核心素养，发展数学文化涵养.