把握教材编写意图精准定位课堂教学

侯明霞

章建跃教授在《理解数学是教好数学的前提》一文中指出数学教师必须在理解数学、理解学生、理解教学上狠下功夫.数学理解不仅仅是对教材的内容知识、实质性结构知识等方面的理解，还包括对教材编者意图的深度理解.新高考形势下，随着新教材的使用和课程改革的不断深入，各版本教材的不同之处及新版教材的编写意图受到广大教师越来越多的关注.解析几何的本质是用代数方法研究几何图形的性质.坐标法作为研究解析几何的通性通法，在教学中已经得到了教师的足够重视.向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.向量方法的运用突出了几何直观与代数运算之间的融合，这一点正是高中数学新教材（2019人教A版）与以往版本教材的重要区别之一.能否领会教材编者意图，是衡量教师理解教材程度的一个重要标志，对编者意图领会得越深，越能充分发挥教材在教学中的作用.本文中以“点到直线的距离公式”为例，说明在教学设计中如何充分领会新教材编者意图，多角度、多方面、多层次提升核心素养的具体做法.

1 教学支持条件分析

教学要基于学生已有的知识和经验即学生的“最近发展区”来开展.通过“直线方程”的学习，学生在用代数方法研究几何元素间的位置关系方面已经积累了必要的思想方法；在“空间向量与立体几何”一章的学习中，学生学会了运用向量运算研究空间基本图形的位置关系和度量关系的方法.尤其在“用空间向量研究距离、夹角问题”一节中，学生进一步理解了“向量的投影”和“投影向量”这两个概念，学习了用投影向量求解点到直线距离的方法，体会到向量是研究几何问题的一个强有力的工具.这些内容的学习都为本节课的教学开展奠定了坚实的基础.

2 教学过程设计

2.1 知识回顾，奠定课程学习基础

问题1点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则|P1P2|=.该公式是如何证明的？

问题2已知直线l的单位方向向量为n，则向量PM在直线l上的投影向量PQ=，|PQ|=.

设计意图：问题1通过复习两点间的距离公式及其证明方法，强调向量是解决几何中距离问题的有效工具，从而引起学生的联想与关注.同时，此知识点学生在前一节刚刚学习过，处于学生的“最近发展区”，使得学生在后面探索点到直线的距离时很容易联想到“定义法”，能够较好地铺设学生从已有认知水平到能达到的认知水平的“探索”之路.问题2通过复习“投影向量”和“投影向量的模”，强化利用向量解决距离问题的程序，即要求|PQ|，只需将PQ看作任意向量PM在PQ方向上的投影向量，利用PM和PQ的单位方向向量n即可求出.高中数学新教材（2019人教A版）选择性必修第一册第33页明确提出了投影向量AQ=（a·u）·u的公式，其中a=AP，u为AQ方向上的单位方向向量.然而，笔者在外校借班上公开课以及后期的调研中发现，一部分教师在教学过程中，并未将用向量解决几何中距离问题的方法程序化.问题2的复习补充了这个空缺，有利于学生自主探究过程的顺利进行.

2.2 活动探究，发挥学生主体作用

问题3你能求出点P（－1，2）到直线l：x－y－3=0的距离|PQ|吗？

生1：过点P作垂直于y轴的直线交直线l于点H，把PQ看作PH的投影向量来求.

点评：此为向量法.通过上一环节的知识回顾，学生顺利应用向量知识完成了解答，符合课程设计的预期.在问题2的基础上，有的学生首先选择了用向量来求解，恰恰说明向量法在程序化处理后，是容易被学生联想到的.

生2：过点P作平行于y轴的直线交直线l于点M，|PM|=6，在等腰直角三角形PQM中求解|PQ|.

点评：此为构造直角三角形法.由于问题3中给定的直线的斜率等于1，因此可以作y轴的平行线构造等腰直角三角形来求解.

追问：如果直线l的斜率不特殊，该如何构造直角三角形呢？

生3：分别作x轴、y轴的平行线构造直角三角形.

点评：生2、生3两位同学的方法虽然不同，但其本质是一样的.生3的方法与“两点间的距离公式”的“构造直角三角形”的证明方法不谋而合，体现了各部分知识之间的连贯性、统一性.

生4：先求直线PQ的方程，再求交点Q的坐标，最后利用两点间距离公式求解|PQ|.

点评：此为定义法.此方法利用“两点间距离的公式”，突出了用代数方法研究几何问题即“几何表达、代数运算”的解决思路，大多数学生选择了这一方法，恰恰体现了用坐标法研究几何问题的普适性.

设计意图：通过对已学知识的回顾，针对提出的问题，留给学生较大的自主空间，让学生积极参与、主动建构，培养独立自主分析问题、解决问题的能力.

2.3 公式推导，提升数学核心素养

问题4一般地，对于平面直角坐标系中的任意一点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0），你能够在刚才问题的研究基础上，推导点到直线的距离公式吗？

方案1：由定义法出发进行公式的推导.

问题5上述推导过程运算复杂，有没有简化运算的技巧呢？

问题6问题4针对的是A≠0，B≠0的一般直线方程，對于A=0或B=0的特殊情况，结论是否成立呢？

设计意图：基于具体问题的分析与解决，由大多数同学选择的定义法出发，从特殊到一般，给予学生足够的时间让他们独立运算，充分体验公式推导过程中的运算难度.在此基础上，适度地引导，教会学生选择恰当的运算方法，提高学生对复杂代数式的处理能力，培养数学运算素养.同时，复杂的代数运算必然会激发学生寻求简化运算的动力，此时适时地介绍“设而不求”的简化运算方法，让学生初步感悟“设而不求”方法的巧妙之处.教材在编写时首先展现了这一推导过程，笔者认为其意图是由思路自然的“大众化”方法出发，在强调坐标法的普适性的同时，一步步引出简化运算的探索过程.

方案2：由构造直角三角形出发进行公式的推导.

设计意图：通过教师完整呈现公式的推导过程，引导学生体会传统几何与解析几何方法上的融合与统一.方案2的设计意图是让学生从不同角度尝试简化运算，进行公式的推导，培养学生对知识的迁移与联想能力.教材在“两点间的距离公式”和“点到直线的距离公式”两节课内容的编写上都有意识地强化了这一思想.

方案3：由向量法出发进行公式的推导.

设计意图：通过与前面用解析法推导公式的比较，向量法具有明显的运算优势，更为简洁.教学设计过程能够让学生充分体会到向量是研究有关角度、距离等几何问题的强有力的工具.向量的学習对高中生数学素养发展的意义重大，这也是高中数学新教材（2019人教A版）的一个重要的编写意图.与以往版本教材不同，新版教材无论是在平面几何还是在立体几何中，处理有关距离和角度的问题时，都重点强化了向量这一有力工具.教师参考书中也明确地要求“课堂教学要让学生能够掌握运用向量研究角度、距离的方法并能够描述解决这一类问题的程序，要充分发挥向量及其方法在研究几何问题的重要作用.教材的这一设计为学生进入高等教育阶段的数学学习奠定了基础，也是全面落实立德树人根本任务的基本要求.

2.4 公式应用，完善知识整体体系

例1求点P（－1，2）到下列直线的距离：

（1）2x+y－10=0；（2）3y=x+7；（3）3x=2.

例2已知两条平行直线l1：2x－7y－8=0，l2：6x－21y－1=0，求l1与l2之间的距离.

设计意图：例1检测、巩固学生对公式的理解与应用.例2通过让学生独立探究两平行线之间的距离，拓展学习的宽度，进一步强化学生自主学习的能力.

3 教学总结

本节课由一个具体的问题出发，采用从特殊到一般的探究、学习过程，完成了建构知识的目的.教学过程中树立发展学生数学核心素养的教学意识，启发学生独立思考，暴露学生的思维过程，注重学生的学习主体地位，渗透数形结合、转化与化归、从特殊到一般等数学思想方法，着力培养学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.教学内容的设计上，在强化坐标法解决几何问题的程序性与普适性，强调它的重要地位的同时，也突出了向量的工具性，凸显它在处理有关角度、距离等几何问题的优越性.教学活动的设计充分落实了教材编写意图.

4 结束语

章建跃教授在新教材培训会议中提出，教材、课程标准与教师教学用书应该是每一位教师的枕边书，是教育教学的根本依据.教师必须认真研读教材，深入研究普通高中数学课程标准与教师教学用书，准确把握教材编写意图，将课堂教学落到实处.本节课在课堂设计过程中既注重了解析几何中通性通法的学习，也突出了向量在教材中运用的连贯性，教材的编写意图在一定程度上得到了较好的诠释与阐述.