“三正切公式”的巧用：基于一道教材习题的探究

陈婷

摘要：通过链接教材，结合两角和正切公式的应用，证明教材中的一道课后习题，并利用问题的归纳与总结给出对应斜三角形的“三正切公式”，在此基础上进行一般情况下的变式推广，借助实例剖析定理与推论的应用，拓展学生数学思维，培养核心素养.

关键词：正切；三角形；三正切公式；推论

随着新高考改革的不断推进，回归教材、严抓基础已经成为高中数学课堂教学与学习中的关键词与热点，特别是新高考中，越来越多的高考数学试题都可以在教材中寻觅到其“影踪”.此类高考数学试题基于教材，通过深入挖掘、合理改编、巧妙变形、创新应用等手段，赋予教材中的例（习）题等一个全新的情境、创新的生命，进而合理承载教学示范，引导教学改革，倡导创新应用，逐步成为新高考数学试卷命题的一种新导向与新热点.

1 源于教材

习题〔人教版《数学》（必修第一册）复习参考题5第254页第12题第（1）小题〕证明：tan α+tan β=tan（α+β）-tan αtan βtan（α+β）.

此题直接利用两角和的正切公式tan（α+β）=tan α+tan β1-tan αtan β，通过公式的变形与转化即可得以证明.

2 新结论展示

对于以上习题，取其特殊情况：在斜三角形ABC中，令α=A，β=B，则有A+B=α+β=π-C，代入上面习题对应的三角关系式中，可得tan A+tan B=tan（A+B）-tan Atan Btan（A+B），则有tan A+tan B=tan（π-C）-tan Atan Btan（π-C），结合诱导公式有tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C，整理可得tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

这是在以上习题的特殊情境下导出的新结论，也是斜三角形中三个内角的正切函数值之间的一个重要恒等式.

结论：在斜三角形ABC中，恒有关系式tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C成立.

以上三角恒等式中，合理构建了斜三角形中三个内角的正切值之和与正切值乘积相等的特殊结构特征，因而将以上这个斜三角形中有关三内角所满足的三角恒等式称为三角形的“三正切公式”.

将以上有关三角形的“三正切公式”进一步加以深入与推广，发散思维，变式拓展，得到以下几个对应的推广结论.

推广1若角A，B，C满足A+B+C=kπ（k∈Z），且tan A，tan B，tan C都有意義时，恒有关系式tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C成立.

推广2若tan（x-y），tan（y-z），tan（z-x）都有意义时，恒有关系式tan（x-y）+tan（y-z）+tan（z-x）=tan（x-y）tan（y-z）tan（z-x）成立.

推广3在△ABC中，恒有关系式tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1成立.

3 结论应用

借助三角形的“三正切公式”及其相应的推广，可以直接跳过两角和正切公式的应用与变形处理，在解决一些与三角形有关的正切函数问题中有奇效，可以优化解题过程，提升解题效益.

3.1 三角求值问题

例1在锐角三角形ABC中，已知1tan A+1tan B=tan C2，则tan Atan B=.

分析：通过条件中三角函数关系式的通分变形及恒等转化，利用三角形的“三正切公式”构建三角形三内角正切值的关系式，再次代入三角形的“三正切公式”即可求解.

解析：由1tan A+1tan B=tan C2，整理可得

tan A+tan Btan Atan B=tan C2.

化简，得tan Atan Btan C=2（tan A+tan B）.

根据三角形的“三正切公式”，整理可得2（tan A+tan B）=tan A+tan B+tan C，则有tan A+tan B=tan C.

代入三角形的“三正切公式”，有tan Atan Btan C=2tan C，即tan Atan B=2.

故填答案：2.

点评：抓住题设中的三角函数关系式，合理进行三角恒等变换并两次利用三角形的“三正切公式”，借助整体思维与方程思维，为问题的破解与三角函数式的求值指明方向.在具体求值与应用的过程中，三角函数式的整体思维与应用是关键.

例2已知△ABC的内角为A，B，C.若tan A，tan B，tan C均为正整数，则tan A+tan B+tan C=.

分析：根据三角形中三内角的大小限定，通过反证法确定三角形中最小角的正切值，并结合三角形的“三正切公式”进行变形与转化，构建关于三角形中另外两个内角的三角关系式，借助正切值为正整数来解对应的方程得以确定对应的正切值，实现问题的破解.

解析：不失一般性，不妨设A＜B＜C，则知A不是钝角，tan A＞0.

假设tan A≥2，由于tanπ3=3，且y=tan x在0，π2内单调递增，则有A＞π3.

又A＜B＜C，则知B，C都大于π3，与A+B+C=π矛盾，由此可知假设不成立.

又tan A为正整数，所以tan A=1，即A=π4.

结合三角形的“三正切公式”，可得tanπ4+tan B+tan C=tanπ4tan Btan C，即tan Btan C=tan B+tan C+1.

由题设知tan B，tan C均为正整数，且满足B＜C，则可解得tan B=2，tan C=3.

所以tan A+tan B+tan C=1+2+3=6.

故填答案：6.

点评：根据三角形三内角的正切值都是正整数，借助反证法确定三角形中最小角的正切值，是问题解决的切入点与关键点，而进一步利用三角形的“三正切公式”构建涉及两内角正切值的函数关系式，通过方程的求解与应用，可以实现问题的突破与巧妙求解.

3.2 最值应用问题

例3（2016年高考数学江苏卷·14）在锐角三角形ABC中，若sin A=2sin Bsin C，则tan A＼5tan Btan C的最小值是.

分析：根据三角形的内角和与诱导公式等，化题设条件中的三角关系式为角B和C的关系式，得到涉及这两角正切值的关系式，综合利用三角形的“三正切公式”和基本不等式，确定三角关系式的最值问题.

解析：在锐角三角形ABC中，tan A，tan B，tan C均为正数.

结合三角形的基本性质，可得sin A=sin（B+C）=2sin Bsin C.

利用三角恒等变换公式，展开有sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C，整理得tan B+tan C=2tan Btan C.

而根据三角形的“三正切公式”，可得tan A＼5tan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B＼5tan C≥22tan Atan Btan C.

解得tan Atan Btan C≥8，當且仅当tan A=2tan Btan C，即tan A=4，tan B=2+2，tan C=2-2（或tan B，tan C互换）时，等号成立.

故填答案：8.

点评：以上问题中，巧妙把三角形的内角和定理、诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角恒等变换以及基本不等式等众多知识加以交汇融合，借助三角形“三正切公式”的转化，综合三角函数思维、函数与方程思维、不等式思维等的创设与应用，实现问题的解决.

4 教学启示

4.1 回归教材，落实基础

众里寻根千百度，根源却在教材例（习）题处.各类试题，包括高考试题、竞赛试题等，均呈现出回归教材的趋势.由此可见，高中数学教材是命题最好的“母题库”.

回归教材，从教材的基本知识点，以及例题、习题等众多视角进行深入挖掘，从问题情境、数学背景、知识演变、知识交汇、思维融合等多个层面和多个视角进行合理深入与探究，全面领悟并传承高中数学教材中对应例（习）题的教学价值，真正有效分享高中数学教材题源的经典与智慧，继承并发扬数学精神.

4.2 总结规律，拓展提升

借助数学基础知识与思想方法等，进行合理的拓展与探究，进一步总结归纳得到一些相应的规律或结论——“二级结论”，是对基础知识与思想方法等的再加工、再探究，进而更加有效地解决一些相应的数学问题，实现对相关知识的理解与掌握，提升数学能力，优化解题过程，提升解题效益，拓展数学思维，培养数学核心素养.