开展深度学习，把握问题本质

张伟

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》以下简称《标准》指出：把握数学的本质，启发思考，改进教学.在高三一轮复习教学中，如何引导学生把握数学本质呢？笔者以一轮复习课“解三角形”为例，引导学生积极主动参与教学，一题多解，多题归一，层层深入，开展深度学习，追本溯源，探寻解三角形的本质、思想与方法.

1 教学过程

1.1 引例

钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2，则AC=.

设计意图：通过本例题的教学，复习正弦定理、余弦定理、面积公式，以及公式的变形与作用，理解利用方程法解三角形和方程思想等.

1.2 典型例题

例1如图1，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3，则BD的长为.

思路分析：从几何元素角度分析，解三角形就是已知三角形的六个元素（三个角和三条边）中的三个元素（其中至少知道一条边）求其他三个元素的过程；从代数方程的角度分析，解三角形就是知三求一，建立方程（A+B+C=π是其中隐含的一个方程），从正弦定理、余弦定理入手解决问题.

设计意图：进一步引导学生理解利用方程法解三角形和方程思想等.

例2如图2，在△ABC中，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.

（1）求sin Bsin C；

（2）若AD=1，DC=22，求BD和AC的长.

第（1）问解答过程略，得到sinBsinC=12，从而得到ACAB=12，即AB=2AC.下面是第（2）问的教学片断.

生1：因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC，所以BD=2.在△ABD和△ADC中，

分别由余弦定理得

AB2=AD2+BD2－2AD·BDcos∠ADB，

AC2=AD2+DC2－2AD·DC＼5cos∠ADC.

又因为cos∠ADC+cos∠ADB=0，所以

AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

又由（1）知AB=2AC，所以AC=1.

生2：因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC，所以BD=2.在△ABC和△ACD中，分别有

cos C=AC2+BC2－AB22AC·BC，cos C=AC2+DC2－AD22AC·DC.

由BC=322，DC=22，AD=1可得AB2+2AC2=6.又由（1）知AB=2AC，所以AC=1.

生3：同理，还可以在△ABD和△ABC中求解.

师：例2的解决思路与例1有什么联系和区别？

生4：都是建立方程解三角形.

生5：区别是例1是在一个三角形中求解，例2是把边和角放在两个三角形中求解.

师：解一个三角形从条件个数的角度来分析是知三求三，即需要知道三个独立的条件，那么解两个三角形呢？请以本题为例进行分析.

生6：在△ABD和△ADC中，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍，AD=1，DC=22，共4个条件.

师：由（1）得到的AB=2AC算一个独立条件吗？本题还有其他条件吗？

生7：AB=2AC不算一个独立条件，因为它是由AD平分∠BAC和△ABD面积是△ADC面积的2倍这两个条件推出来的结果.本题还有AD是公共边，∠ADC与∠ADB互补，即∠ADC+∠ADB=π这两个独立条件.

师：本题如果在△ACD和△ABC中求解共需要几个独立元素呢？

生8：除了已知的四个条件外，还有AC是公共边，∠C是公共角，共六个独立条件.

师：从条件个数的角度来分析，解一个三角形需要知道三个元素，解两个三角形需要知道六个元素.这里所说的元素，广义来讲可以是公共边、公共角、互补角等，也可以是面积、中线、高线、角平分线、周长等，它们都可以转化为三角形中的元素，但一定要是相互独立的元素.

师：本题我们是利用建立方程的方法求三角形边的长度和角的大小，请大家想想除了可以利用正余弦定理建立方程，还可以有哪些方法建立方程求解？

生9：与长度和角度有关的问题，可以考虑用向量的方法建立方程.考虑到D是BC的三等分点，可以得到AD=23AC+13AB，两边平方得（AD）2=23AC+13AB2，化简得1=49AC2+19AB2+49AB·AC·cos∠ACB.在△ABC中，由余弦定理得BC2=92=AB2+AC2+2AB·AC·cos∠ACB，可得AB2+2AC2=6.又由（1）知AB=2AC，所以AC=1.

生10：因为与长度和角度有关，所以还可以通过建立平面直角坐标系来建立方程.

以A为坐标原点，建立如图3所示的平面直角坐标系.

设∠BAD=∠DAC=θ，AC=b，则AB=c=2b.

所以B（2bcos θ，2bsin θ），D（1，0），C（bcos θ，－bsin θ）.

由DC=22，DB=2，得

（2bcosθ－1）2+（2bsinθ）2=2，

（bcosθ－1）2+（bsinθ）2=12.

化简，得2b2－1=1，得b=1，即AC=b=1.

师：下面我们来看几个变式训练.

变式1在△ABC中，AB=2AC，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，AD=AC，DC=22，求AC的長.

变式2在△ABC中，AB=2AC，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，AD=1，cos∠BAC=18，求AC的长.

变式3在△ABC中，AB=2AC，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，AD=AC，S△ABC=378，求BC的长.

小结与反思：（1）我们是如何解三角形的？（解三角形的本质是方程法.）

（2）建立方程的方法和途径有哪些？（正余弦定理、向量法、坐标法、构造特殊三角形等.）

（3）请你谈谈从条件个数的角度我们是如何命制解三角形问题的？（命制涉及两个三角形的题目时，都是先给出两个三角形，再将有关这两个三角形的相互独立的条件个数减少到六个.）

设计意图：通过例题和变式的解决，引导学生掌握解三角形的基本方法，探寻研究一个问题、一类问题的基本思路与方法.授人以鱼不如授人以渔，学生掌握了研究数学对象的思路，知道从哪些角度来研究问题后，自然不满足于已有的问题，必然会产生新的想法，进而会自己提出问题、分析并解决问题.

师：不难发现，这六个条件中，除了已知的边长和角度，还可以是隐藏的条件，比如公共边、成倍数关系的边、公共角或互补的两个角等，也可以“换一种表达方式”给出条件，如给出面积、周长、中线长，角平分线长、向量形式的等式、正余弦边角互化得出的等式、几何关系等式等.

师：请各位同学自己编制试题.

改编1在△ABC中，cos∠BAC=18，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC，AD=1，求△ABC的面积.

改编2在△ABC中，sin C=2sin B，D是BC边上的点，AD=23AC+13AB，AD=1，tan∠BAC=37，求△ABC的周长.

改编3在△ABC中，cos∠BAC=18，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC，△ABC的面积为378，求AD的长.

设计意图：给学生提供充分活动的機会，使他们在主动探索和合作交流的过程中获取知识、形成技能，在获取广泛数学活动经验的基础上使知识、能力方面由“获取”转化为“建构”，“感性”上升为“理性”.

例3（2021年新高考Ⅰ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，且BD=b，若AD=2DC，求cos∠ABC.

解法1：若AD=2DC，则AD=23b，DC=13b.

在△ABD中，由余弦定理，可知cos∠BDA=BD2+AD2－AB22BD·AD=13b2－9c212b2.

在△CBD中，由余弦定理，可知cos∠BDC=BD2+CD2－BC22BD·CD=10b2－9a26b2.

又∠BDA+cos∠BDC=π，所以cos∠BDA+cos∠BDC=0，则

13b2－9c212b2+10b2－9a26b2=0，即11b2=3c2+6a2.

又b2=ac，所以3c2－11ac+6a2=0，故c=3a或c=23a.

在△ABC中，由余弦定理，可知cos∠ABC=a2+c2－b22ac=a2+c2－ac2ac.

当c=3a时，cos∠ABC=76>1（舍）；

当c=23a时，cos∠ABC=712.

综上所述，cos∠ABC=712.

解法2：在△ABC中，BD=23BC+13BA，平方得

BD2=49a2+19c2+49accos B.①

在△ABC中，由余弦定理得

b2=a2+c2－2accos B.②

联立①②，得11b2=3c2+6a2.

以下部分同解法1.

思路分析：本题涉及两个三角形，只有五个独立的条件，故无法确定三角形，那么如何求cos∠ABC呢？找到边长a，b，c之间的关系，利用余弦定理求解.

设计意图：考虑到学生已经初步掌握了解三角形的方法、思想与本质，而从条件的个数分析，本题只有五个独立条件，缺少给定某一条的边长这一条件，故三角形不能确定.满足题意的三角形都相似，不能求出边长a，b，c，但根据边长a，b，c之间的关系可以求出cos∠ABC.因此进一步引导学生当条件个数不足时，如何求解三角形问题.

这也为继续研究三角形中的边长、面积和周长的取值范围等问题做好铺垫.

2 教学反思

当前，在高中一轮复习中，大多数学校采取的复习方式是根据教辅资料的设计，每一小节通过基础知识梳理、典型例题剖析、课时作业等环节进行教学，然后辅以大量的专题训练和考试.这种做法的优点是能够帮助学生更好地巩固基础知识，提升解题技能；缺点是不能帮助学生深刻理解内容的本质，掌握核心思想与方法，提升理性思维，落实核心素养.“为国选才”是高考的基本功能，党中央、国务院印发的《深化新时代教育评价改革总体方案》明确提出：“改变相对固化的试题形式，增强试题的开放性，减少死记硬背和机械刷题现象”，高考命题探索“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合考查模式，高考命题加大题目的创新力度、注重思维能力考查要求，课堂教学要回到注重数学内容的本质，加强关键能力的培养，促使学生学会思考，善于总结与反思.如果在重视基础的前提下适度开展深度学习，学生通过教师的引导和帮助，借助适宜的活动情境或手段，能主动地去观察、猜测、思考、探究，能提出问题并解决问题，真正成为教学的主体.教师在传授知识的同时，要注重知识的追根溯源、注重思维的深层训练、注重师生的深层对话、注重学习的深层评价，引导学生“知其然”到“知其所以然”，促进学生的学习从“学会”到“会学”.