蝴蝶定理在高考试题中的应用

林健航

1 试题呈现

例（2022全国甲卷＼520）设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α-β取得最大值时，求直线AB的方程.

解法1：（1）抛物线C的方程为y2=4x.（过程略.）

（2）如图1，设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）.

由抛物线的对称性知，

当α=90°时，β=90°，

则α-β=0.

当α≠90°时，β≠90°，设过点（x0，0）的直线方程为x=my+x0.

联立x=my+x0，y2=4x，得y2-4my-4x0=0.

当x0=1时，得y1y2=-4；

当x0=2时，得y1y3=-8，y2y4=-8.

由y22=4x2，y21=4x1两式相减，得y22-y21=4（x2-x1），所以kMN=y2-y1x2-x1=4y1+y2.

同理kAB=4y3+y4，即kAB=4-81y1+1y2=y1y2-2（y1+y2）=2y1+y2=kMN2.

当α∈（0°，90°）时，β∈（0°，90°），且α>β.

当α∈（90°，180°）时，β∈（90°，180°），且α<β.

故要使α-β最大，则α∈（0°，90°）.

设kAB=k>0，则kMN=2k.

故tan（α-β）=tan α-tan β1+tan αtan β=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24，

当且仅当1k=2k，即k=22时，等号成立.

所以当α-β最大时，kAB=22.

设直线AB：x=2y+t，

代入抛物线方程，可得y2-42y-4t=0，

所以y3y4=-4t.

又因为y3y4=-8y1-8y2=64y1y2=-16，

所以-4t=-16，解得t=4.

故直线AB的方程为x-2y-4=0.

此解法为通性通法.本题主要考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、直线的倾斜角和斜率的概念、均值不等式等基础知识，考查数形结合、分类讨论和点差法等数学思想方法，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

第（2）问解决的关键在于找出直线MN与AB斜率之间的关系kAB=12kMN.此结论是否可以一般化？其几何背景又是什么？可否进行拓展？围绕这些问题，笔者做了一些思考，分享如下.

2 背景探幽

本题的背景就是坎迪定理，下面我们先从蝴蝶定理入手进行探究.

如图2，设M是圆O中弦AB的中点，过点M任作两条弦CD，EF，

连接DE，CF，分别交AB于P，Q两点，则MP=MQ.

这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该

结论被冠以“蝴蝶定理”美名的缘故.

此定理的证明方法很多，下面用中学的有关知识给出该定理

的兩种证法.

证法1：（初中几何知识）如图3，过圆心O作CF，ED的垂线，

垂足分别为S，T，连接OM，OP，OQ.

因为∠OSQ=∠OMQ=90°，所以

O，S，Q，M四点共圆.

于是∠QSM=∠QOM.

同理可得∠PTM=∠POM.

易得△FCM∽△DEM，则MFMD=FCDE.又FC=2FS，DE=2DT，所以MFMD=FSDT.

又∠F=∠D，易得△FSM∽△DTM，于是有∠QSM=∠PTM，所以∠QOM=∠POM，

又OM⊥PQ，所以MP=MQ.

证法2：（高中几何知识）如图4，以M为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设OM=b，则圆O的方程可写为

x2+y2-2by+c=0.①

设直线CD，EF的方程分别为y=k1x，y=k2x，合并为

（y-k1x）（y-k2x）=0.②

于是，过曲线①②的交点C，D，E，F的二次曲线系方程为

x2+y2-2by+c+λ（y-k1x）（y-k2x）=0.③

③式中令y=0，可知曲线③与AB的交点P，Q的横坐标满足（1+λk1k2）x2+c=0.由韦达定理，可得xP+xQ=0，即|MP|=|MQ|.

由仿射几何知识可知，蝴蝶定理在圆锥曲线中也成立：

如图5，在圆锥曲线中，过弦AB的中点M任作两条弦CD和EF，

直线DE，CF交直线AB于P，Q两点，则MP=MQ.（证明略）

若将M改为弦AB上的任意一点，则可得到坎迪定理：

如图6，圆锥曲线中，过弦AB上的点M任作两条弦CD和EF，

直线DE，CF分别交直线AB于P，Q两点，则1MP-1MQ=1MA-1MB.（证明略.）

由蝴蝶定理和坎迪定理，可得上述例题的简单解法.

解法2：（1）略.

（2）如图7，由无限思想，可设x轴与抛物线相交于O，P两点，其中

点P位于无穷远处.由坎迪定理，得

1|DF|-1|DT|=1|DO|-1|DP|，即1-1xT-2=12.

解得xT=4，即直线AB经过点T（4，0）.

由解法1知，要使得α-β取得最大值，则kAB=k>0.

过点D作x轴的垂线分别交MN，AB于点R，S.

由蝴蝶定理，得|DR|=|DS|，则kMNk=|DR||DF|·|DT||DS|=|DT||DF|=2，即kMN=2k.

故tan（α-β）=tan α-tan β1+tan αtan β=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24，

当且仅当1k=2k，即k=22时，等号成立.

所以直线AB的方程为x-2y-4=0.

3 应用拓展

若将上述例题一般化可得下列两个结论.

结论1如图7，设抛物线C：y2=2px（p>0），F（m，0），D（n，0）（n>m>0），过点F的直线交C于M，N两点.设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的斜率分别为k1，k2，则k1k2为定值nm，并且直线AB过定点n2m，0.

结论2设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），F（m，0），D（n，0）（-a

11+n-ma-n-n-mn+a

，并且直线AB过定点11n-m+1a-n-1n+a+n，0.

研究解析几何问题，不仅要研究其解法，还要研究其几何背景，扣住几何属性，在更广、更深的层面上认识试题，发挥其教学功能，于教学过程中落实学科素养.