培养数学思维 促进深度学习

王开林

在工作室活动中，笔者开设的“用导数研究一类函数问题”一课，是针对学生学习中暴露出来的问题设计的一节微专题复习课，从基础入手，引领学生变式探究，帮助学生建构用导数研究解决一类函数问题的方法，培养思维能力，促进深度学习.

1 微专题复习课例主要片段

1.1 基础训练

学生课前完成下列训练题，课堂上予以展示.

（1）若函数f（x）=xln x，则不等式f（x）>e的解集为.

（2）已知函数f（x）=ln xx，若函数g（x）=f（x）－k有2个零点，则实数k的取值范围是.

（3）函数f（x）=xln x单调递减区间为.

（4）已知函数f（x）=xex，当x∈（－∞，0）时，f（x）的值域为.

（5）若不等式kex>x恒成立，则实数k的取值范围是.

（6）若函数f（x）=exx，则不等式f（x）<－1e的解集为.

学生在展示的基础上，梳理用导数研究函数的一般方法和以上训练题中涉及的六个常见函数的图象与性质，并相互补充，教师及时点评和总结.

设计意图：经过一轮复习学生已经较好地掌握了用导数研究函数的方法，设计这样一组基础训练题让学生课前完成，课上进行展示，既可以回顾导数的相关基础知识和基本方法，也是想引导学生注意掌握题组中六个常见函数的图象和性质.这类函数在考试当中经常遇到，而学生又极容易出错.课堂上让学生展示解题过程时，就有学生画错了函数图象的变化趋势.如对于函数f（x）=ln xx，当x∈（e，+∞），函数f（x）单调递减，又因为f（x）=ln xx>0恒成立，函数图象虽然逐渐下降，但始终在x轴的上方，不会穿过x轴，而且无限接近于x轴，有学生画图时想当然地画成向下穿过x轴，导致求错k的取值范围.这是学生的易错点，需要重点强调，要让学生真正弄清楚、搞明白.这六个常见函数的图象和性质也是本节课进一步学习的基础.

1.2 活动探究

问题1若函数f（x）=ax－x2（a>1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是.

师：函数零点问题常用什么方法解决？动手试试.

生1：函数零点问题常常转化成方程根的问题或者函数图象交点的问题，很明显，指数函数y=ax（a>1）与二次函数y=x2的图象在第二象限有一个交点，在第一象限还应该有两个交点，但是从图象上看在（0，+∞）上这两个函数都单调递增，根本没法求出a的取值范围.

生2：此时问题可以转化为当x>0时，方程ax=x2应该有两个实根.两边取对数得xln a=2ln x，再分离参数得ln a2=ln xx，所以问题即为直线y=ln a2与y=ln xx的图象应该有两个交点.根据y=ln xx的图象，得0

师：解决函数零点问题常常需要数形结合.数形结合是一种重要的数学思想方法，数缺形时少直觉，形少数时难入微.本题中当x<0时，利用图形的直观很容易得到两个函数图象有一个交点，即函数有一个负零点；而当x>0时，利用图形很难精确地得到a的范围，这时就要从数的角度来考虑，转化成方程根的问题，通过取对数、分离参数顺利地将问题又转化成图象交点问题.而对于函数y=ln xx的图象，我们已经很熟悉，尤其是不穿过x轴的细节问题也注意到了，问题迎刃而解.

变式1已知函数f（x）=1ex+ax（a∈R，x>0），若存在实数m，n，使f（x）≥0的解集恰为［m，n］，则实数a的取值范围是.

师：像1ex+ax≥0这样的不等式我们会解吗？

生3：因为x>0，f（x）=1ex+ax≥0，即－a≤xex的解集恰为［m，n］，所以问题可转化为函数y=xex的图象与直线y=－a有两个不同的交点.结合函数y=xex的图象，易得0<－a<1e，因此－1e

师：非常好！把不等式的解集问题成功地转化成方程有解的问题，也就是函数图象有交点的问题.而且他注意到當x≥1时，虽然函数单调递减，但f（x）=xex>0恒成立，所以图象总在x轴的上方，不穿过x轴，而且无限接近x轴.本题也是通过转化成函数图象交点的问题来解决的.

变式2若函数f（x）=12ax2－ex+1在x=x1和x=x2两处取到极值，且x2x1≥2，则实数a的取值范围是.

师：同学们先独立思考几分钟，然后在小组内交流你的思路和方法.

生4：因为函数f（x）有两个极值点，又f′（x）=ax－ex=0，所以方程a=exx有两个实根.令g（x）=exx，则函数g（x）=exx的图象与直线y=a有两个不同的交点，且交点横坐标分别为x1，x2，所以a>e.

师：当a>e时，一定有x2x1≥2吗？

生5：不一定.当直线y=a越向上平移，x2x1越大，只要想办法求出x2x1=2时a的值就可以啦.

师：怎么才能求出此时a的值？

生5：由ex1x1=ex2x2，得x2x1=ex2ex1=ex2－x1=2，所以x2－x1=ln 2.又x2x1=2，所以x1=ln 2，x2=2ln 2.若x2x1≥2，则a≥g（ln 2）=2ln 2.

师：若x2x1<2，则实数a的取值范围是什么？

众生：e

通过适时追问加深学生的理解，促进学生深度学习.

变式3求证：对一切x∈（0，+∞），都有ln x>1ex－2ex恒成立.

师：要证ln x>1ex－2ex，只需证什么？

生6：只需证xln x>xex－2e.令f（x）=xln x，g（x）=xex，则当x∈（0，+∞）时，f（x）min=f1e=-1e，g（x）max=g（1）=1e.

所以f（x）>g（x）－2e，即xln x>xex－2e.故ln x>1ex－2ex得证.

师：这里应该有等号吧？

生6：f（x）=xln x的最小值与g（x）=xex的最大值不能同时取到，所以没有等号.

师：要证xln x>xex－2e，一定要证f（x）min＞g（x）max-2e

吗？

生7：只要证明f（x）－g（x）－2e>0恒成立即可，不一定要证

f（x）min＞g（x）max-2e，但由

f（x）min＞g（x）max-2e

一定可以得到xln x>xex－2e.

师：很好！一定要弄清楚这里的充分性与必要性.

设计意图：基础训练中涉及到的六个函数是常见函数，虽然很多问题看似与它们无关，但实际上通过转化之后也能化归为这几个函数的问题，只要借助这些函数的图象和性质都能顺利解决.通过问题1和3个变式，培养学生学会思考，能够举一反三，触类旁通.解决的关键是如何寻求问题的切入点.

问题2设函数f（x）=xex，x≥0，－x－1，x<0，g（x）=f（x）－b，若函数g（x）恰有3个零点，则实数b的取值范围为.

师：怎么解决函数零点问题？

生8：将函数零点问题转化为图象交点问题，画出函数f（x）的图象，则只需直线y=b与函数f（x）的图象有三个交点，很容易得到0

师：很好.注意到了当x>1时，虽然函数f（x）单调递减，但f（x）=xex>0恒成立，所以函数图象始终在x轴的上方，不穿过x轴，而且无限接近于x轴.

变式1设函数f（x）=x－1ex，x≥0，－x－1，x<0，g（x）=f（x）－b，若函数g（x）恰有3个零点，则实数b的取值范围为.

师：与问题2相比有什么变化？方法是否相同？

生9：当x≥0时，f′（x）=2－xex，f（x）在（0，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数，所以

当x=2时f（x）有极大值1e2，故0

师：函数y=x－1ex与函数y=xex形式相近，图象也相似，也都有类似的性质，即当x≥2时，虽然函数单调递减，但y=x－1ex>0恒成立，图象总在x轴的上方，不穿过x轴，而且无限接近于x轴.

变式2

设函数f（x）=x－1ex，x≥a，－x－1，x

师：与变式1相比，此题中函数f（x）的图象因动区间而不确定，有什么好办法解决这个问题吗？

生10：采用图象分析法.函数f（x）=x－1ex在x=2处取得极大值，且极大值为1e2，直线y=1e2与f（x）=x－1ex和y=－x－1的交点横坐标分别是2和－1－1e2.所以若函数g（x）恰有3个零点，只需保证函数f（x）的图象与垂直于y轴的直线有三个交点，则－1－1e2

变式3已知函数f（x）=xex+1，x≥0，x2+2x+1，x<0，若函数y=f（f（x）－a）－1有4个零点，则实数a的取值范围是.

师：复合函数零点问题怎么入手？

生11：还是要数形结合，先画出图象.

师：投影你画的图象，接下来怎么办？

生11：当x≥0，由f（x）=xex+1=1，得x=0；当x<0时，由x2+2x+1=1，得

x=－2.所以由f（f（x）-a）=1，可得f（x）－a=0或f（x）－a=－2，即f（x）=a或f（x）=a－2.所以只需函数f（x）的图象与距离为2的两条平行线y=a和y=a－2共有4个交点，则有

a>1+1e，1

师：函数y=x－1ex，y=xex+1与函数y=xex形式相近，图象很相似，都有类似的性质，要注意它们的渐近线.另外，对于复合函数问题，如何转化也是关键.

设计意图：问题2以及3個变式，让学生注意到与六个基本函数形式、图象和性质都相近的函数，尤其是渐近线，特别容易出错，要重点强调.

1.3 巩固训练

（1）若函数f（x）=12x－1，x<1，ln xx2，x≥1，则函数y=|f（x）|－18的零点个数为.

（2）已知函数f（x）=（2x－x2）ex，x≤0，－x2+4x+3，x>0，g（x）=f（x）+2k，若函数g（x）恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是.

（3）对于函数y=f（x），若存在区间［a，b］，当x∈［a，b］时的值域为［ka，kb］（k>0），则称y=f（x）为k倍值函数.若f（x）=ln x+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是.

2 教学感悟

2.1 突出主干，关注通法

新高考加强了对主干知识的考查，只有增强对主干知识的深层次认识，才能更好地把握数学的本质.复习教学还是要立足基础，不设计偏题、怪题，更多地关注通性通法，不片面追求技巧.既要一题多解、一题多变，更要多题一解，要引导学生总结归纳出适用于一类问题的通性通法.

2.2 查漏补缺，精准指导

二轮复习既要进一步巩固强化应知、应会的基础知识，帮助学生确实解决存在的问题，还应提升学生的综合能力.二轮复习的专题设置既要考虑到高频考点，关注重点、热点和难点，还要根据学情针对学生暴露出来的问题，进行精准指导，实现减负增效；既要设置小切口的专题，实施微专题教学，还要注意不同知识板块之间的联系与综合，特别是创设不同的、科学的、真实的情境，培养学生数学理解能力和数学应用能力.