数形结合思想在高中数学教学中的应用

胡雪东

【摘要】数形结合思想是一种将抽象数学语言与直观数学图形有机联系起来，以达到简化问题目的的数学思想，将其用于高中数学教学中，可促进学生搭建系统知识框架，提高其分析、解题能力.文章简单介绍数形结合思想的内涵、应用价值及其在数学教学中的应用原则，从培养积极态度、促进思维发展、提升素养水平三个方面出发，详细研究数形结合思想的应用策略，以期为提高数学教学质量提供参考.

【关键词】数形结合思想；高中数学；应用实践

对于部分学生而言，高中数学知识的抽象性强，难度较高，他们在理解、运用等方面均存在困难.数形结合思想是一种重要的数学思想，提倡运用以形助数、以数解形、数形结合的方法将抽象问题具体化，达到简化问题、解决问题目的.教师可研究数形结合思想在高中数学教学中的应用策略，并按照相关研究落实具体教学方案，以此丰富教学内涵，促进学生数学综合能力的持续提升.

一、数形结合思想的内涵及应用价值

（一）内涵

数与形是数学研究的基本对象，在合适的情况下，二者可以彼此转化.数形结合思想是应用数形转化解决复杂问题的一种数学思想，具有结合使用抽象思维与具象思维的特点，其应用类型主要有三个.

第一，以“形”助“数”.“数”是对数量的抽象，可用于表示数量、数量关系等等.在数学研究中，与“数”相关的问题较为抽象，在理解、探究方面存在一定的难度.图形具有形象、直观的特点，可以直接体现复杂的数量关系、空间结构.按照具体方法确定“数”与“形”的特定关系或结构，将抽象、复杂的数学问题转化为直观、简单的图形问题，可以极大程度降低问题难度，达到快速解题目的.例如，应用平面几何图形表示问题中的数量关系，应用立体几何表示空间结构，应用解析几何表示数量变化模型等等.

第二，以“数”解“形”.“形”即几何图形，具有直观性强的特征.在数学研究中，与“形”有关的问题有很多，如计算图形的周长、面积，判断图形与图形之间的平面几何关系、立体几何关系等等.一些情况下，只凭肉眼观察图形，难以获取有效信息、做出精准判断，不能快速且正确地解答几何问题，可采取为图形赋值的方式将图形数字化，由此进行合情推理、演绎运算，得出正确结论.

第三，“数”“形”互化.它指的是“数”与“形”的互相变换，即在分析问题时，综合考虑问题抽象的数量关系与直观的几何形式，并分析“数”与“形”的逻辑关系，体会“数”与“形”彼此之间的内在影响.“数”“形”互化的一般方法包括“见形想数”与“见数思形”两种.

（二）应用价值

数形结合思想将代数与图形紧密结合，实现代数问题几何化，几何问题代数化.将其运用到高中数学教学工作中，有助于培养学生积极的学习态度，使其树立现代化的数学学习观念，加强其对数学原理、方法的掌握等等.

在培养态度方面：与义务教育阶段数学教学内容相比，高中数学知识更为复杂，其抽象性也更强.巧妙应用数形结合思想解释复杂的数学原理，为学生直观呈现出数学问题的数量关系或空间形式，可在一定程度上降低数学课程的难度.数学课程难度降低，可避免学生在学习过程中产生畏难情绪，影响其自主学习的正常进行.同时，指导学生以“数”“形”互化的方式感悟数学性质、数学规律等理论内容，可使其感悟数学知识的奥妙，从而激发其兴趣，使其主动参与到复杂代数问题、几何问题的探究当中.

在观念树立方面：数形结合思想提倡根据解题需要调整视角，综合代数知识、几何知识分析数学问题，梳理问题解决思路.将该思想应用到高中数学教学过程中，可解决教学视角单一、思维方式固化等教学问题，为学生树立现代化的学习观念.

在原理掌握方面：数学原理是对数学规律的归纳总结，一般由语言文字、数学符号、数学公式表示.很多时候，学生只能粗浅地理解数学原理的书面含义，对其演绎过程、应用渠道与意义的认识不够深刻.教师运用数形结合思想方法，可直观演绎数学原理的形成过程，幫助学生探究原理所提及的数学关系、几何形式，深化学生认知.久而久之，学生的抽象、逻辑思维能力得到训练，能够更加深刻地掌握数学原理，并构建完善的理论知识体系.

二、数形结合思想在高中数学教学中的应用原则

教学原则用于指导教学中的各项活动.数形结合思想的内涵丰富、应用广泛，可用于理论、实践等多项教学活动当中.为了确保该思想在各项教学活动中发挥育人作用，教师需要明确数形结合思想的本质，遵循恰当原则设计并实施教学方案.

（一）科学原则

科学原则即根据科学教学理论合理设计教学方案，确保在课堂中有机渗透数形结合思想，实现思想育人的目的.教师可遵循弗莱登塔尔的“数学现实”理论，明确数学与现实相互依存的关系，指导学生基于已掌握的数学概念、性质等构造数学现实，并在此基础上应用数学图形将数学现实表示出来，确保学生真正理解现实与“数”“形”的逻辑关系，提高其认知.教师还可遵循波利亚的解题理论，指导学生在课堂上进行形式思考与非形式思考，使其在利用公式解题、利用几何图形解题的过程中感悟数形结合的意义，加深其对数形结合思想的认识.

（二）激趣原则

激趣原则即采取恰当教学手段激发学生学习兴趣，确保其在课堂学习中体会数形转化的乐趣.教师可挖掘高中数学教科书中的趣味教学资源，并将数形结合思想巧妙融入相关资源当中，通过呈现以“数”解“形”、以“形”助“数”的过程彰显数学研究内容的奇妙，由此引发学生的广泛关注，使其在兴趣的驱动下探索“数”与“形”之间的逻辑关联，提高学习效率.

（三）拓展原则

拓展原则即在规定的教学内容的基础上将拓展资源巧妙融入教学课堂当中，通过丰富的文字、图片、视频等资源开阔学生学习视野，达到发散思维、提升素养的育人目的.一方面，教师可聚焦预习教学，借助导学案、微课视频等教学辅助工具呈现数形结合思想内涵、解题案例，使学生在预习过程中对该思想形成大致认识.另一方面，教师可聚焦课后教学，通过布置线下书面作业、线上电子作业为学生呈现更多复杂难题（如高考题、奥数题等），要求学生运用数形结合思想分析问题、解决问题，使其在探索难题的过程中感悟数形结合思想的应用技巧，同时开阔眼界，形成丰富经验.

三、数形结合思想在高中数学教学中的应用策略

（一）以提效为前提，数形结合培养积极态度

学生学习效能感的高低对其学习效率有直接影响.效能感指的是个体对自身是否有能力完成某一任务所做的推测与判断.若效能感高，学生的学习期待就高，其能够更加主动参与到教学活动当中，反之则不然.高中数学课程内容的抽象性强，学生理解起来具有一定的难度.对于此类教学内容，教师可以应用数形结合思想将抽象内容转化为直观可见的几何图形，以此降低学生抽象思考、数学推理的学习难度.长期采取此类教学方法，可以使学生在正式学习前对自身的学习情况做出积极预测，从而提高其学习效能感，使其以更加积极的态度投入课堂教学活动中，进一步提高其学习效率.

例如，在人教版数学必修第一册（A版）“集合的基本运算”的教学中，教师直接讲述交集、并集概念与运算方法，部分学生难以进行准确的抽象思考，难免会陷入困难，不能真正理解相关内容.为此，教师可以采用数形结合思想导入教学，对教学内容进行简化：有集合A={x|-1

（二）以问题为导向，数形结合发展数学思维

数学思维有很多，包括形象思维、抽象思维、运算思维等等.高中学生只有提高自身思维水平，才能够在理论学习时灵活运用旧知识、旧方法建构新的知识体系，才能够在解决数学难题时灵活变换探究问题的视角快速且正确地解决问题.教师作为课堂教学的主导者，有必要开展思维训练教学活动，帮助学生发展思维.实际上，教师可以基于数形结合思想设计不同类型的数学问题，组织学生围绕确切问题独立思考、合作讨论、运算分析，使其在动脑、动手的过程中总结数学规律.下面，文章将结合相关教学案例，分析设计数形结合问题发展数学思维的策略.

1.设计数形结合问题发展形象思维

形象思维指的是用直观形象与表象解决问题的一种思维，与感受、体验关联在一起，是认识现实世界、反映现实世界的重要思维形式.教师在高中数学教学课堂中培养学生形象思维，可以通过设计数形结合问题实现.课上，教师可以立足课程主要教学内容设计抽象问题，并组织学生应用几何图形将抽象问题中的数量关系直观体现出来，在此过程中，让学生利用形象方法解决抽象问题，使其在绘图的过程中体会“数”与“形”一一对应的特征，加强其对问题内容的直观感悟，促进其形象思维的发展.例如，在人教版数学必修第一册（A版）“函数的基本性质”的教学中，教师可设计此问题：函数f（x）=|logax|（0

2.设计数形结合问题发展运算思维

运算的本质是演绎推理，运算思维指的是应用算理、算法进行数学推理并求得运算结果的一种思维.在高中阶段，数学运算包括对整式、有理式、根式、指数、对数、三角函数、向量等问题的运算.部分运算问题难度较大，应用常规的计算方法难以取得计算结果.巧妙运用数形结合思想，将有理式、对数等代数问题转化为几何问题，将立体几何问题转化为代数问题，可另辟蹊径，达到快速解题的目的.课上，教师可以基于数形结合思想设计有关运算问题，以问题为驱动使学生采取以“形”助“数”或以“数”解“形”的方法探究问题，从而活跃其思维，提高其运算水平.例如，在人教版数学选择性必修第一册（A版）“直线与圆、圆与圆的位置”的教学中，教师可以设计判断平面内直线与圆位置关系的几何问题，要求学生解答，如：直线（a+1）x+（a-1）y+2a=0（a∈R）与圆x2+y2-2x+2y-7=0的位置关系是什么？此问题是典型的判断图形位置关系的几何问题，却无法通过肉眼观察的形式得到问题答案.这时，教师可指导学生应用数形结合思想合作构建代数模型，运用代数的方法进行推理判断，得到“相交”的答案.具体推理过程如下：

（三）以发展为目的，数形结合提升数学素养

学生发展不能止步于数学课堂，做好课后学习也是非常有必要的.但是，课后学习脱离教师的指导，部分学生的学习方向不明确，存在自学效率低的问题.教师应当认识到课后教学的重要性，并适时将数形结合思想渗透到课后教学中，由此启发学生在自学过程中综合运用“数”与“形”的相关知识认识现实世界，从而提高其抽象、建模等数学素养.在教学工作中，教师可以立足学生持续发展需要，综合数形结合思想内涵与课程教学主题设计课后作业，如实践作业、分析作业、运算作业等等，以作业为导向驱动学生复习已掌握的理论知识，运用数形结合思想解决实际问题，从而巩固其学習基础，促进其持续发展.

结 语

综上所述，教师将数形结合思想有机应用到高中数学教学工作当中，有利于增强学生对数学教学内容的直观感悟，对于培养其积极学习态度，发展其形象、抽象、运算思维等数学思维有着积极意义.在具体教学工作当中，教师应当秉承科学、激趣、拓展原则合理安排教学内容，通过提出问题、布置作业等方式将数形结合思想贯穿于教学全过程，由此启迪学生数学智慧，提高其学习效率.

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