数学文化与“高等数学”教学融入思考及有效途径

于 卓

（长春工业大学 数学与统计学院，吉林 长春 130012）

引言

“数学文化”，从狭义的角度来看，它是数学本身蕴含的思想方法、图形定理、数学语言的表述，数学定理的推导等；从广义的角度来看，它包含数学理论的发展和建立，数学知识的起源和沿袭，数学家的科学钻研精神，数学与人文发展的交融等。

在当代“高等数学”教学课堂上，理论知识和求解方法仍是教学关注的重点，数学文化的思想元素渗透较少，数学思想的教育功能尚未体现出来。随着课程思政教育思想的提出，数学文化作为提高学生学习积极性，引导学生树立正确的世界观、人生观、价值观的重要因素，其教育意义深远，学生在数学文化的熏陶及教育下受益匪浅。

一、“高等数学”教学中数学文化的有机融入

（一）适时引入数学定理的来源思想

“高等数学”中的部分数学概念（如极限、导数、积分等）学生在高中就接触过，通过对这些概念起源的探寻来激发学生学习数学的兴趣。微积分理论的共同创立者德国数学家莱布尼茨创造的经典积分符号“∫”，实际上是莱布尼茨通过把拉丁文“summa”（中文意思是“和”）的首字母s拉长得到的。这种符号的选择正好体现了定积分“大化小、常代变、近似和、求极限”的基本思想，并沿用至今。通过对数学符号起源的讲解，让学生对积分符号的表示印象深刻，进而对积分思想的理解更加深入，促使学生更好地掌握积分的运算方法，对“高等数学”的学习起到促进作用。

极限的精确定义是微积分产生以后，首先是牛顿和莱布尼茨分别给出无穷小的概念。他们在无穷和无穷小量这个问题上说法不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。直到19世纪初，柯西对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来德国数学家维尔斯特拉斯进一步将其严格化，给出了完美的极限定义。这使极限理论成为微积分的坚实基础，才使微积分进一步发展开来。通过对极限发展历史的介绍，让学生对高等数学的基本方法——极限有了更清晰的认识，为“高等数学”的学习起到推进作用。

（二）讲解数学公式及数学图像中的美学

提到“美”，大家自然而然地想到优美的音乐和赏心悦目的景色。而“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”的极限之美，“大漠孤烟直，长河落日圆”中的直与曲，都体现了数学之美。高等数学的数学语言、数学公式、数学图像及数学思想等处处有数学美学的体现。有概念、定义的简洁之美，有几何图形的对称之美，有公式、符号的形式之美，还有不同分支、不同概念及不同运算的统一之美［1］。

泰勒公式是高等数学中非常优美的公式之一。从公式的内容上看，它将复杂多样的函数表示成简洁的多项式和一个余项的和，建立了看似不同的事物之间的内在联系。从公式的发展过程上看，它是在已知结论和知识的基础上，经过细心地观察和推导，逐步趋于完善的。具体地说，在微分的基础上，为了提高近似的精度，人们提出了用更高次的多项式来逼近函数的想法，进而产生了带有佩亚诺余项的泰勒公式。进一步地，为了能够具体估算出误差的大小，人们多次利用柯西中值定理得到带有拉格朗日余项的泰勒公式。至此，用多项式逼近函数的方法发展到了更高的水平。

可降阶的高阶微分方程有三种不同的类型，求解它们的思想是一致的，即利用变量代换的方法将它们转化成较低阶的方程，这是数学的统一美。定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分和第一类曲面积分都可以统一写成黎曼和的极限。再比如，将微分学和积分学联系起来的牛顿-莱布尼兹公式，到联系二重积分和曲线积分的格林公式，联系三重积分和曲面积分的高斯公式，联系曲线积分和曲面积分的斯托克斯公式，它们都体现了各种积分运算之间的统一美。

在讲解定积分、重积分、曲线积分和曲面积分时，引入利用对称性求解曲线积分的方法，展现数学自身的美。大自然中具备对称美的事物有许许多多，如枫叶、雪花等。对称本身就是一种和谐、一种美，是我们视觉感官下非常舒服的一种状态。

（三）介绍数学家的科研历程和聪明才智

在“高等数学”教学中渗入数学文化教育，就必须对学生加强数学史教育。因此，在数学教学中，教师应适时将相关数学的历史引入其中，并侧重讲解数学学科的形成以及有关的重要定义，让学生了解数学学科的发展历程［2］。

当今数学和力学取得了突飞猛进的发展，拉格朗日的许多结论（如拉格朗日中值定理）至今仍然几乎一字不差地被引用着。他科学工作的准确性和深刻性，不仅受到同时代科学家的一致赞誉，也为后人所广泛传诵。尽管这样，拉格朗日不止一次地对自己的工作表示不满。在给另一位老朋友拉普拉斯的信中，他这样写道：“我把数学看作是一件有意思的工作，而不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定地说，我对别人的工作比自己的更喜欢。我对自己的工作总是不满意。”作为一位锐意进取、自强不息的科学家，他的目光始终注视着未来。引导学生保持谦虚的心态，切莫高估自己的能力。

我国数学家华罗庚在初中毕业后，仅仅念了一年半的职业高中。他所能看到的数学书籍只有一本《大代数》、一本《解析几何》及一本约50页的《微积分》。此外，还有两本与数学有点关系的杂志——《科学》与《学艺》。他边利用少有的数学资料自学，边写些数学文章。他所写的文章得到清华大学算学系熊庆来教授的赏识，他也得到教授的帮助。从此，华罗庚开始了真正研究数学的生涯，并取得了国际公认的数学成就。

在讲授格林公式时，引出乔治·格林本人的故事。格林出生贫苦，小时候只读了1年的书，几乎全靠自学成才。1828年，格林发表了《数学分析在电磁理论上的应用》。他没有受过大学教育，也不认识任何数学家，这篇“论文”自然没有办法发表在学术期刊上。到了1845年，当时大学毕业的物理学家开尔文勋爵重新发现了格林早年被埋没的名作《数学分析在电磁理论上的应用》，将其推荐给约瑟夫·刘维尔等大数学家。他们为格林所作工作的重要性而惊讶之余，又将其推荐给更多的数学家同行。格林去世10年后，他的《数学分析在电磁理论上的应用》终于得以在杂志《纯粹与应用数学杂志》上分期发表。以他命名的公式和定理有格林恒等式、格林函数和格林定理。而格林定理和斯托克斯公式一样，启发了后来诞生的微分形式理论和流形上的微积分。

讲述知识点的同时，在课堂上引入数学家持之以恒、克服困难、全神贯注、坚韧不拔的科学态度，促使学生主动征服、积极探究数学问题，培养学生刻苦钻研、锲而不舍的优秀品质，以及遇到人生低谷时继续前行的信心，增强其抗挫折能力。

二、“高等数学”教学中数学文化融入的有效途径

（一）优化“高等数学”教学内容，引入数学建模实际案例

随着大数据时代的到来，数学的运用从物理领域逐渐扩散式地走向医学、经济、农业、人工智能、航空等其他非物理领域，数学建模作为数学理论运用于现实生活的桥梁，对于培养学生独立思考能力和实践能力，挖掘学生的创新思维和锻炼学生的逻辑严谨性都具有实际意义［3］。

教师在教学活动中以学生感兴趣的课题角度为切入点，比如某大学教授在讲解游戏角色设定过程中引入数值分析的知识，引起学生的共鸣，吸引学生数学学习的兴趣，受到学生的广泛好评［4］。在这样的教学开展下，学生不仅对自己要学习的数学知识印象深刻，也充分了解到数学知识与我们的生活息息相关、紧密联系，促使学生更为主动地学习数学知识，将其内化为学生学习的本能，实现数学文化的融入和输出。

数学建模从本质上来说是需要我们对海量数据检验整理，形成模型构建的过程。现代网络如此发达，各种应用越来越人性化，这都离不开大数据。正确全面清晰地认识数据处理能力是发展建立数据分析观念的保障，培养学生数据处理能力的基础。数据处理能力是指会整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断。

（二）教师提高自身的教育水平，构建和谐的教书育人环境

大学里培养学生的探索精神和创新精神是必不可少的。因此，大学数学教育要在发展学生的数学能力上下功夫，体现数学思维的教育。数学能力包括思维能力、运算能力、实践能力、创造能力，它的素材是数学知识，通过立体想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和横式构建等方法培养这些能力［5］。

我国是一个多民族的国家，各民族、各地区的文化差异使得教育不能以一概全，应注重不同地区人文文化的差异性，考虑不同民族的文化背景，采取分层教学、特色教学，针对不同层次的学生，开展相应的教学内容，注重数学理念与数学文化的培养，促进学生身心的健康发展。

教师要充分认识到数学文化在数学教育中的重要意义，创新“高等数学”教育理念和教育思想，培养应用型数学人才，为中国特色社会主义事业输送合格的建设者和可靠的接班人。教师要具有高尚的道德情操，引领学生树立正确的世界观、人生观、价值观；教师要具备先进的教育思想，紧跟时代热点，接受最新的教育思潮，与时俱进，引领学生健康发展。教师要有创新性的数学思维，扎实的科研水平，为学生善于钻研、深入思考、创新能力的培养提供保障。教师要善于开发多样的教学方法与教学手段，多角度、多方位地吸引学生的学习兴趣，提高学生“高等数学”学习积极性，转变“高等数学”枯燥乏味的教学方式，让学生认识到数学的趣味性、实用性、重要性。

（三）教育职能部门沟通协作，促进数学文化与数学教学的融合

数学文化与“高等数学”教学的有机融合离不开教育职能部门的共同协作。学校要定期开展教育思想培训会议，让教师认识到数学文化在数学教学中的重要地位，转变传统的教育思想，勇于迎接先进的教育思潮，改变固有的教学手段，随时接受新的教育方法和教育技术，为社会培养与时俱进的人才做出贡献；各级教育教学部门不定期组织各类教学比赛，把新时代教育思想列入比赛考核分值，督促教师在教学中进行数学文化的渗透，重构教学环节，优化教学内容，让教学活动新颖，教学开展引人注目，令人耳目一新；学校和学院积极组织教学讲座和教学研讨会，聘请省内外教学名师，互助交流，开阔视野［6］。建立院校间的交流协作平台，借助互联网学习相关院校的先进教学经验，走进名师课堂，聆听线上同步分享，提高教师数学文化与高数教学的融合能力，提升自身的教学水平；高校的科研管理部门要适当关注教学改革研究课题的申报工作，鼓励教师重视教育教学改革研究课题的立项申请，明确新时代下教育思想的新思潮，紧跟时代，注重教育思想中的文化交融；搭建马克思主义学院、职能部门、学院三者之间的教师交流平台，将思政教育理念融入“高等数学”教学中，寻求数学文化与其他文化的交融发展，为学生健康人生观的树立提供保障。学校可以适时开设专门的数学文化课帮助学生培养数学文化，因为“高等数学”的内容繁多，课时相对较少，课堂教学中很难有大部分的时间用于数学文化的教育；开设“数学史”“数学家的人物传记”“数学学科的发展历程”等相关知识专题课程作为选修内容，帮助学生理解数学文化，多角度了解高数学科的实用性，促进数学文化的融入；落实立德树人根本任务，对学生进行价值引领、品德涵养和理论提升的教育，要在课程评价标准中体现数学文化的融入要求，将价值引领作为其中重要观测点，督促任课教师将文化教育落到实处。

（四）组织丰富多彩的教学活动，开展多元的数学文化教育

改变传统的教学方法，创造活跃的课堂教学环境。成立研究小组，提出问题，让学生带着问题思考、讨论，形成自己独到的见解，每名学生都参与其中，教师适时引导，通过讨论式、启发式、问题情境式教学方法促使学生自主学习，充分发挥学生的想象力与创造力，加深对“高等数学”知识的理解，提升学生分析问题、解决问题的数学能力。

院系定期邀请省内外教学名师，举办数学学术报告会、数学文化论坛、数学文化活动周、数学交流沙龙等，积极鼓励学生人人参与，制定相应的激励政策，吸引学生的关注，既拓宽学生的知识视野，又丰富学生的数学文化知识，拓展学生高数知识储备的深度和广度，通过学生间的交流互动，培养学生的创造性思维，提升学生的创新能力及创新意识，为学生展示完美的数学价值。

结语

恩格斯说：“数学：辩证的辅助工具和表现形式。”“高等数学”作为理工科院校的通识基础课程，其涵盖着丰富的思想教育理念。“高等数学”课程具有高度的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性，其中蕴含着丰富的数学文化思想。正确认识数学文化对学生素质培养的重要性，加强学生对数学文化的了解和掌握，推动学生理解和领会专业价值，真正落实立德树人根本任务。数学文化与高等数学的有机融合不仅能培养学生的数学文化素养，提高学生的创新能力，还能促使高校教师注重自身数学文化的修养，改革传统教学模式，提升自身的育人能力。