立足教材·注重基础·关注融合·突出应用

2023-11-25谢杭建陈中峰

中国数学教育（高中版） 2023年9期

谢杭建　陈中峰

摘要：从命题的视角对2023年高考集合、常用逻辑用语、不等式的考查内容从题型、题量、考点分布等方面进行分析，指出各部分试题的命题特点. 从重视“四基”考查，突出基础知识考查；重视知识交会，突出学科素养考查；重视情境创新，突出数学本质考查三个维度进行命题导向分析，并给出复习教学建议.

关键词：集合；常用逻辑用语；不等式；命题特点；复习建议

《教育部关于做好2023年普通高校招生工作的通知》（以下简称《通知》）中指出：“高考命题体现基础性、综合性、应用性和创新性，注重考查关键能力、学科素养和思维品质，注重考查学生对所学知识的融会贯通和灵活运用.”2023年各份高考试卷中的集合、常用逻辑用语和不等式试题很好地体现了《通知》的精神，独立考查的试题主要考查学生对相关概念的理解及基本运算，与其他内容综合命制的试题主要体现其工具性作用，需要学生具备较宽的知识面，有难度的交会试题还需要学生对相关知识和方法融会贯通.

一、考查内容分析

1. 集合部分考查内容分析

从题型、题量、分值来看，2023年高考对集合内容的考查，除全国乙卷（理科）涉及2道选择题外，其他试卷中均包含1道选择题. 除全国乙卷（文科）第2题、全国乙卷（理科）的第2题和第10题外，其他试卷中的集合试题均为全卷第1题. 北京卷中集合试题对应的分值为4分，全国乙卷（理科）中集合试题对应的总分值为10分，其他试卷中集合试题对应的分值均为5分.

从考点分布来看，独立考查集合内容的试卷包括：全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文科）、天津卷、上海卷. 其中，上海卷考查两个集合的差集运算，属于新定义试题情境，其余试卷均考查集合的基本运算. 仅交会考查集合内容的试卷包括：全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷和北京卷. 具体地，全国新高考Ⅰ卷中与一元二次不等式交会考查交集运算，全国新高考Ⅱ卷中与一元一次方程交会考查集合间的关系，北京卷中与一元一次不等式交会考查交集运算. 全国乙卷（理科）第2题独立考查集合内容，第10题与余弦型函数的周期性和等差數列的通项公式交会命题，考查集合的含义. 无论独立考查还是交会考查，以上各题均涉及集合的含义和表示.

从上述分析来看，2023年高考对集合内容的考查难度与往年持平，试题情境主要是集合的运算或集合与不等式的交会，很好地保持了命题的连续性和稳定性. 与2022年不同的是，上海卷中出现了新定义试题情境，全国乙卷（理科）第10题将集合与余弦型函数的周期性和等差数列的通项公式交会命制，具有一定的思维含量，是一道比较新颖的考查集合内容的试题.

2. 常用逻辑用语部分考查内容分析

从题型、题量、分值来看，2023年的高考数学试卷中，只有全国甲卷（理科）第7题（5分）、全国新高考Ⅰ卷第7题（5分）、北京卷第8题（4分）、上海卷第16题（5分）和天津卷第2题（5分）涉及对常用逻辑用语内容的考查.

从考点分布来看，上述5道试题均为与其他内容交会考查常用逻辑用语相关内容. 其中，上海卷第16题以圆锥曲线新定义为试题情境，考查命题的真假判断，是选择题的压轴题，有一定的难度. 其他4道试题均为充分条件和必要条件的定义与其他知识的交会，如全国甲卷（理科）第7题涉及同角三角函数的基本关系，全国新高考Ⅰ卷第7题涉及等差数列的定义，北京卷第8题和天津卷第2题均涉及基本不等式．

从上述分析来看，2023年高考对常用逻辑用语的考查难度与往年持平，很好地保持了命题的连续性和稳定性. 与2022年不同的是，全国新高考Ⅰ卷和全国甲卷（理科）中也考查了这部分内容.

3. 不等式部分考查内容分析

从题型、题量、分值来看，2023年高考除全国甲卷（理科）的选择题和全国新高考Ⅱ卷的填空题未涉及对不等式内容的考查外，其他试卷中的各类题型均考查了不等式内容. 大部分试卷中涉及不等式内容的试题有7 ～ 9道. 特别地，全国乙卷（文科）涉及不等式相关内容的试题最多，共10道（比2022年多3道）；全国甲卷（理科）涉及不等式相关内容的试题最少，共4道（比2022年少2道）；变化最大的是北京卷，相关试题的数量由2022年的9道减少为5道. 由于2023年高考中只有个别试题是对不等式内容进行单独考查的，大部分都是与其他知识交会考查，且在部分试题中不等式内容只是起到工具性作用，因此无法十分准确地统计其所占分值．

从考点分布上看，不等式内容主要涉及等式与不等式的性质、一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）、均值不等式、绝对值不等式、柯西不等式、线性规划等. 2023年高考独立考查不等式内容的试题难度较小，要么考查解绝对值不等式，如上海卷第17题、全国甲卷（文、理科）第23题、全国乙卷（文、理科）第23题；要么考查线性规划，如全国甲卷（理科）第14题、全国甲卷（文科）第15题、全国乙卷（理科）第14题、全国乙卷（文科）第15题. 除此之外，其他试题均是在知识的交会处融入对不等式的考查.

2023年高考与不等式交会考查的主要内容有：基本初等函数、数列、平面向量、三角函数、导数及其应用、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、概率统计等.具体包括以下几个特点：（1）所有试卷中的函数与导数解答题均涉及对不等式内容的考查，且难度较大；（2）所有全国卷中均涉及对圆锥曲线与不等式内容交会的考查；（3）除天津卷外，其他试卷均涉及对三角函数与不等式内容交会的考查.

从上述分析来看，2023年高考对不等式内容的考查除个别试卷中相关试题的题量有大幅度增减外，总体变化不大；在交会处命题的三个特点也与往年基本保持一致. 相较于2022年的变化有如下三点.

第一，2023年全国甲卷（文、理科）和全国乙卷（文、理科）的选考题独立考查以绝对值不等式替代柯西不等式.

第二，2022年只有全国乙卷（文科）考查线性规划内容，2023年全国甲卷（文、理科）和全国乙卷（文、理科）均考查了线性规划内容，而且文、理科同题.

第三，不等式内容在程序框图中的考查由2022年的全国乙卷（文、理科）调整到全国甲卷（文、理科）.

第四，2023年高考不涉及不等式和常用逻辑用语的交会命题，但是增加了对不等式和二项式定理的交会考查，稳定中有些许变化.

由此可见，2023年高考不等式相关试题较好地保持了命题的连续性和稳定性. 试题难度跨越简单题到难题，很好地考查了不同层次学生的基础知识、关键能力和核心素养．

二、命题特点分析

1. 命题意图分析

（1）立足基础，体现基础性.

2023年集合、常用逻辑用语、不等式试题的设计注重发挥引导教学的功能. 试题回归知识原点、回归基础和通性通法、回归教材内容、回归体验过程，体现基础性. 作为必考题，大部分集合试题位于试卷前3题的位置，试题注重体现集合的概念与表示、集合的基本关系与基本运算；常用逻辑用语虽然常与其他知识交会考查，但是相关定义也是必须掌握的，如充分条件和必要条件等；不等式作为重要的数学工具，2023年高考独立考查不等式试题的主要涉及线性规划，以及全国甲卷（文、理科）和全国乙卷（文、理科）选考题中的以绝对值不等式替代柯西不等式. 其他试题与不等式交会时，主要涉及的不等式基础知识有不等式的性质、均值不等式、绝对值不等式等，体现不等式内容的基础性作用．

例1 （全国新高考Ⅰ卷·1）已知集合[M=][-2，-1，0，1，2，N=xx2-x-6≥0，] 则[M?N]等于（）.

（A）[-2，-1，0，1]

（B）[0，1，2]

（C）[-2]

（D）[2]

答案：C.

考查目标：此题考查的知识是集合的列举法、描述法，交集运算和解一元二次不等式．

试题立意：此题以学生熟悉的集合的表示方法为载体，考查集合的交集运算及解一元二次不等式等基础知识，考查运算求解能力. 要求学生借助数轴或观察法求出[M?N]，考查数形结合思想，体现直观想象素养．

命题评价：此题保持高考对集合内容考查的一贯形式，利用列举法或描述法直接给出两个集合进行命题，利用观察法、Venn图或数轴，根据集合运算的概念即可求解，一步到位，属于基础题．

（2）立足交会，体现综合性.

2023年高考集合、常用逻辑用语、不等式试题深入考查学生对相关基础知识、基本方法的深刻理解、融会贯通和综合应用. 例如，全国乙卷（理科）第10题是集合、数列、三角函数的综合题，深入考查集合的概念和三角函数的周期性，既可以通过三角函数的周期性求解，也可以用数形结合的方法求解. 集合与其他知识的交会考查相对较少；常用逻辑用语都是与其他知识交会考查；而不等式试题除个别独立考查不等式内容外，大部分是与其他知识交会考查，在各题型的试题中位置大多数也靠后，综合性强，一般难度都比较大.

例2 （全国甲卷·理7）设甲：“[sin2α+sin2β=1]”，乙：“[sinα+cosβ=0]”，则（）.

（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件

（B）甲是乙的必要条件但不是充分条件

（C）甲是乙的充要条件

（D）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案：B.

考查目标：此题考查同角三角函数的基本关系，以及充分条件和必要条件的定义.

试题立意：此题以三角公式为载体，创设考查充要条件的问题情境，考查同角三角函数的基本关系、充分条件、必要条件等基础知识，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查转化与化归思想，体现对理性思维的考查．

命题评价：充分条件、必要条件与不等式、向量、函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何等知识结合进行考查，是高考的命题热点. 此题与三角公式相结合命制，判断充分性时举反例即可，证明必要性时代入推证即可，属于基礎题，常态化地考查了学生判断充分条件和必要条件的方法. 2022年浙江卷第4题同样以三角函数为试题情境交会考查充分条件和必要条件，近几年随着对逻辑推理能力的重视，将常用逻辑用语与其他知识交会考查已较为普遍. 相关交会知识大部分涉及基本概念、公式、定理，以及基本计算. 因此，我们需要掌握充分条件、必要条件的基本判断方法，同时夯实基础知识．

（3）立足情境，体现工具性.

高考数学试题的情境主要包括数学课程学习情境、数学探索创新情境和生活实践情境. 情境设计的主要目的是检测学生的数学核心素养. 合适的情境能增强试题的开放性和探究性，有效考查学生独立思考和理性思维的水平，同时对学生的学科素养和核心能力提出了更高的要求，其要求学生由“解答试题”转向“解决问题”. 就不等式部分而言，在2023年9份高考试卷解答题的压轴题或次压轴题中，几乎都可以看到不等式的影子，它们或与圆锥曲线交会，或与函数、三角函数、导数、数列等交会，覆盖了高中数学的所有主干知识. 例如，全国甲卷（文、理科）第20题和第21题，全国乙卷（理科）第21题，全国乙卷（文科）第20题和第21题，全国新高考Ⅰ卷第22题，全国新高考Ⅱ卷第22题，北京卷第20题，上海卷第20题和第21题，天津卷第19题和第20题，等等. 这些试题的情境都是数学课程学习情境或数学探索创新情境，突出对关键能力的考查，有利于筛选善于独立思考、认知能力强的学生. 作为解决数学问题的基本工具，不等式在这些试题中充分显示了其基础性和工具性作用.

例3 （全国甲卷·理21）已知函数[fx=ax-][sinxcos3x，x∈0， π2].

（1）若[a=8]时，讨论[fx]的单调性；

（2）若[fx

答案：（1）[fx]在[0， π4]上单调递增，在[π4， π2]上单调递减；

（2）[-∞，3].

考查目标：此题考查的知识是三角公式变换、换元法、函数求导法则、导数在研究函数单调性中的应用，以及利用导数工具求函数极值或最值等．

试题立意：此题以三角函数和一次函数为载体命制，属于数学课程学习情境. 第（1）小题中创设导数应用的问题情境，交会考查了导数运算法则、利用导数判断函数单调性的方法、换元法、三角公式等基础知识. 第（2）小题中创设不等式的恒成立问题，融合考查了函数、不等式、方程、三角、导数等基础知识，考查了解决不等式恒成立问题的通性通法，考查运算求解和逻辑推理能力，考查函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想．

命题评价：综观历年高考试卷，不等式与导数之间的融合似乎是永恒的主题. 2023年高考不等式试题基本做到了不等式与其他知识板块内容融合应用的全题型覆盖，充分体现了不等式的基础性和工具性. 此题以三角函数和一次函数为载体，实现了函数、不等式、方程、三角、导数运算法则及其应用、换元法等自然融合，印证了“注重考查学生对所学知识的融会贯通和灵活运用”的命题指导思想. 与此类似的命题思想在各卷中均存在. 例如，全国乙卷（文科）第20题与此题是姊妹题，与此题考查知识方法基本一致，只是文科试题没有涉及二次求导；全国乙卷（文科）第20题和全国乙卷（理科）第21题也是姊妹题，交会考查了函数、不等式、方程、导数运算法则及其应用等知识，很好地考查了利用不等式的工具性解决问题，考查了学生思维的条理性和严谨性．

2. 命题导向分析

（1）重视“四基”“四能”，突出对基础知识的考查.

从前面的“考查内容分析”中可以发现2023年各份高考试卷对集合、常用逻辑用语与不等式内容的考查突出了基础性的考查要求. 集合部分突出考查两个集合的交集、并集、补集运算，以及两个集合间的关系等基础知识；常用逻辑用语部分，突出考查充分条件和必要条件的定义等基础知识；不等式部分突出考查绝对值不等式、线性规划等基础知识，这些知识与其他知识交会时，也起到了不可忽视的作用，考查了学生对基础知识、基本方法的深刻理解，以及融会贯通的应用.

例4 （全国乙卷·文 / 理23）已知[fx=2x+][x-2].

（1）求不等式[fx≤6-x]的解集；

（2）在直角坐标系[xOy]中，求不等式组[fx≤y，x+y-6≤0]所确定的平面区域的面积.

答案：（1）[x-2≤x≤2]；（2）8.

考查目标：此题考查的知识是绝对值函数、绝对值不等式的求解，以及求可行域的面积.

试题立意：此题以分段函数为载体，考查含绝对值不等式的求解问题，可行域的确定及面积问题属于数学课程学习情境. 第（1）小题通过分类讨论将绝对值函数转化为分段函数来求解不等式的解集；第（2）小题通过不等式组确定平面区域，转化为三角形面积问题. 突出考查了绝对值不等式等基础知识，解绝对值不等式（组）的基本技能，以及转化与化归、数形结合和分类讨论等思想. 这是一道常规试题，学生可以利用已有的数学基本活动经验求解，此题同时考查了运算求解能力和逻辑推理能力.

命题评价：高考对不等式选讲内容的考查均位于全国甲卷（文 / 理科）和全国乙卷（文 / 理科）的第23题，从近三年来看，2021年和2023年均以分段函数为载体，2022年考查三个数的均值不等式和柯西不等式等. 2021年的不等式选讲试题重点考查解不等式及解含参不等式，2023年的不等式选讲试题不仅考查了解不等式、含参不等式，而且进一步与线性规划相结合考查了求平面区域的面积. 此题既有不等式选讲中绝对值不等式章节例题和习题的影子，也有线性规划章节例题和习题的影子. 由此可见，我们既需要用发展的眼光思考在新的情境中命题，也要回归教材，重视对教材知识的过程性教学.

（2）重视知识交会，突出对数学核心素养的考查.

2023年高考集合、常用逻辑用语、不等式试题重视在知识交会处命题，突出对素养和能力的考查. 例如，全国新高考Ⅰ卷第7题重点考查逻辑推理素养，其以等差数列为材料考查充要条件的推证，要求学生判别充分性和必要性，然后分别进行证明，解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证；全国新高考Ⅰ卷第19题考查了数学运算和逻辑推理等素养.

例5 （全国新高考Ⅰ卷·7）记[Sn]为数列[an]的前n项和，设甲：[an]为等差數列；乙：[Snn]为等差数列，则（）.

（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件

（B）甲是乙的必要条件但不是充分条件

（C）甲是乙的充要条件

（D）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案：C.

考查目标：此题考查的知识是充分条件和必要条件的定义，等差数列的前n项和.

试题立意：此题以等差数列的定义、前n项和为载体，考查充分条件和必要条件，属于数学探索创新情境. 在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中的内容要求是“通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系”；学业要求是“能够借助常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，体会常用逻辑用语在数学中的作用”. 此题同时考查了逻辑推理能力和转化与化归思想，体现了数学抽象和逻辑推理等素养．

命题评价：2023年高考试题中与充要条件交会考查的内容涉及三角函数、数列和圆锥曲线等. 此题以等差数列为载体考查充要条件的推证，但并未遵循常规的给定等差数列求通项、求和等套路，而是将等差数列的定义、第n项、前n项和融合在充分条件和必要条件中进行考查，要求学生判别充分性和必要性，然后分别进行推理证明. 解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证. 试题参照人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”）必修第一册“1.4.2 充要条件”的例3和例4命制，也同时源于人教A版教材选择性必修第二册第25页习题4.2的第7题. 在新授课中，对前n项和公式的挖掘和拓展有助于问题的解决. 因此，此题对高中数学教学具有指导作用，提醒教师在公式教学中要关注公式的过程性教学及公式的拓展应用，同时关注对学生逻辑推理素养的培养.

（3）重视情境创新，突出数学本质的考查.

2023年高考集合、常用逻辑用语、不等式试题也体现了应用性、创新性的考查要求. 通过情境创新，考查学生透过问题发现其中蕴含的数学本质的能力，从而达到考查学生灵活运用所学知识和思维方法解决问题的能力的目的. 例如，上海卷第16题看似考查新定义问题，其本质是考查动点到定点的范围问题. 在教学过程中，教师要不断引导学生在解决实际问题的过程中建构知识、揭示内涵，讲清问题的本質，在润物细无声中培养学生的能力，提升学生的素养.

例6 （上海卷·16）在平面上，若曲线[Γ]具有如下性质：存在点M，使得对于任意点[P∈Γ]，都有[Q∈Γ]使得[PMQM=1]. 则称这条曲线为“自相关曲线”. 判断下列两个命题的真假（）.

① 所有椭圆都是“自相关曲线”.

② 存在是“自相关曲线”的双曲线.

（A）① 假命题；② 真命题

（B）① 真命题；② 假命题

（C）① 真命题；② 真命题

（D）① 假命题；② 假命题

答案：B.

考查目标：此题考查命题真假的判断.

试题立意：此题以“自相关曲线”的定义为载体命制，看似考查命题的真假判断的知识，实则考查学生对数学探索创新情境试题中新定义的信息获取与加工的能力，以及学生的批判性思维和创新思维. 求解此类情境试题的关键在于对新定义的理解. 此题的数学本质是求曲线上任一点P到定点M的距离的取值范围A，当任意[x∈A]，都有[1x∈A]时，曲线满足定义. 获取这个信息后，再结合椭圆与双曲线的性质判断即可. 另外，还要选择合适的方法处理.

方法1：设椭圆、双曲线方程，点M坐标，利用传统的两点间距离进行求解，比较麻烦，此处不再展开.

方法2：根据试题信息，可得[PMmaxQMmin=1.] 设[Mm+a，0 m>0]，则[m+a+am+a-a=1]. 进一步可以得到①为真命题. 利用同样的方法，结合双曲线两端无限延伸的特点，容易判断②为假命题.

方法3：直接作出椭圆和双曲线的草图，结合方法2的思想方法，直接利用逻辑推理论证得出答案.

此题考查了转化与化归和数形结合思想，考查了数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.

命题评价：此题通过创设圆锥曲线的新定义，以判断命题真假的呈现方式和设问方式促使学生主动思考，发现新定义信息中蕴含的数学问题的本质，化生为熟，将问题转化为已有的认知结构，运用已有方法解决. 无情境不成题，无思维不命题，应对新颖性题型的策略就是：在平常教学中，更多地注重回归教材，注重过程性教学，注重培养学生理解数学概念、定理、公理、公式、法则的内涵与外延，以及其生成过程，感悟数学的本质，以不变应万变，注重培养学生的数学阅读理解能力，在课堂中渗透对关键能力、学科素养和思维品质的逐步培养.

三、复习教学建议

高考数学全国卷在反套路、反机械刷题上下功夫，突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，注重考查学生对学科知识的综合应用能力，落实《中国高考评价体系》中“四翼”的考查要求. 同时，合理控制试题难度，科学引导中学教学，力图促进高中数学教学与义务教育阶段数学教学的有效衔接，促进教考衔接，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效地学习. 现针对“集合、常用逻辑用语、不等式”专题内容给出以下复习教学建议.

1. 夯实学科基础，重视概念教学

从认知规律来看，数学概念、定理的形成一般是起始于直觉，完成于逻辑. 教材将集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等作为预备知识，这是高中数学课程回归数学本质，凸显了数学内在逻辑和思想方法的需要，对发展学生的理性思维和逻辑推理素养都有非常重要的意义. 在复习教学中，教师要以教材为依托，根据语言学习的规律，促使学生在熟练运用集合语言和常用逻辑用语的过程中加强思维的概括性、间接性和逻辑性；根据不等式内容的课程定位和内容要求，在掌握不等式的性质及以二次函数为纽带建立“三个二次”知识体系的过程中，促进学生用联系的观点看待问题，体会数学的整体性，提升思维严谨性和逻辑推理能力. 因此，要充分重视概念教学，数学概念是数学基础知识和基本技能的核心，切勿以刷题代替概念教学的巩固和深化，要从概念的形成过程、知识的内涵和外延、思想方法和育人功能等处着手，充分发挥数学概念的指导作用，全面提高学生的数学核心素养.

2. 立足学科素养，重视思维开发

“能力素养银线”主要考查学生的学习掌握、实践探索，以及思维方法等方面的能力. 当前高考数学试题在考查必备知识的基础上，注重考查学生对学科知识的综合应用能力，突出对素养和能力的考查，以及甄别思维品质、展现思维的过程，高考数学进入了“无思维，不命题”的时期. 现以不等式内容的复习备考为例进行说明. 2023年高考对不等式内容的考查稳定中有些许变化，不等式与其他知识交会的知识点保持高中教材全覆盖，交会形式也是多样的，从近年来的高考试题命题导向来看，每年都有新形式交会的试题呈现，同时进一步加大了对学生思维品质和思维过程的考查力度. 因此，在课堂教学中，教师不仅要讲透不等式相关知识，还要讲清这些知识间的关联，让学生深刻理解不等式是一种解决问题的重要工具. 通过适度训练，梳理、归纳解题方法，同时坚持素养导向，将数学核心素的培育渗透到每个环节，注重培养、训练、提升学生的思维认知能力，促使学生形成数学基本活动经验.

3. 关注情境创设，重视素养达成

“情境载体串联线”是指通过创设情境，将其作为任务驱动，考查学生综合运用基础知识和基本技能分析问题、解决问题的能力，实现对学生学科基本概念、原理、技能和思维方法的考查. 全国卷在命制情境化试题的过程中，在剪裁素材方面，注意控制文字数量和阅读理解难度；在抽象数学问题方面，设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次与学生认知水平的契合与贴切. 领悟情境内涵、抓住数学本质，并非一日之功，要从高一的日常教学开始. 一方面，要日复一日地坚持讲好教材中的基础知识，重视数学本质的教学；另一方面，要有意识地和学生共同应对新颖的试题情境，分析试题的条件和设问方式，教会学生根据试题的具体特点迅速捕捉信息、合理分析信息，促使学生掌握透过现象看本质的本领，学会透过纷繁复杂的试题情境把握其内在的数学本质，提升数学核心素养.

四、典型模拟题

1. 已知集合[A=xx=k+12，k∈Z，B=xx=k2，k∈Z，]

则[A]与[B]之间的关系是（）.

（A）[A=B] （B）[A]?[B]

（C）[B]?[A] （D）无法比较

答案：B.

2. 已知[△ABC]的两个内角[A，B]的对边边长分别为[a，b，] 则“[A=B]”是“[acosB=bcosA]”的（）.

（A）充分非必要条件

（B）必要非充分条件

（C）充要条件

（D）非充分非必要条件

答案：C.