突出问题本质 落实核心素养

彭海燕　李维

摘  要：几何问题解析化途径的探索、研究与选择是高考平面解析几何试题考查的重心所在. 高考命题注重在深化图形探究的基础上培养学生的直观想象素养和空间想象能力，在代数推理的基础上培养学生的数学运算素养和逻辑推理能力. 在平面解析几何内容的教学过程中，要注重给予学生探索的时间和空间，指导学生掌握平面解析几何问题研究的一般路径，在培养学生问题解决能力的同时落实数学核心素养.

关键词：解析化；图形探究；代数推理；研究路径；数学核心素养

解析几何首先是几何，研究的是几何对象的性质或几何对象间的关系.“几何”是思考问题的出发点和落脚点，也是问题的缘起和归宿. 在平面直角坐标系中，点的坐标是由几何作图得到的，将几何作图后得到的几何图形的性质或几何对象间的关系用关联的点的坐标来表示，并最终转化为代数形式，这个过程就是解析化. 高考重视考查学生的图形探究能力和代数推理能力，而“解析化”是实现对这两种能力同时进行考查的关键桥梁，因而是高考平面解析几何试题命题的重点. 近年来高考越来越重视回归平面解析几何的经典问题，并在新的情境和工具下进行探索，平面几何图形的长度和面积的度量问题、几何图形在运动变化过程中的最值（取值范围）问题及几何图形在运动变化（几何变换）过程中保持不变的性质是命题的热点. 平面解析几何中的核心思想是数形结合思想和函数思想，对这两种数学思想的考查是高考命题的聚焦点.

一、考查内容分析

2023年4套高考数学全国卷对平面解析几何问题的考查基本都设置了2 ～ 3道选择题或填空题，以及1道解答题，总计22 ～ 27分（不含选做题）. 每套试卷都涵盖了直线与圆，以及椭圆、双曲线、抛物线这三种不同类型的圆锥曲线. 从考查内容和考查方式来看，既保持了稳定性和基础性，又呈现出一定的综合性和创新性. 地方卷对平面解析几何内容的考查也基本上保持稳定. 2023年高考对平面解析几何内容的考查情况如表1所示.

二、命题特点分析

1. 以直线、圆和圆锥曲线的标准方程为切入点考查基础性

直线与圆的位置关系是高考命题的基础性要求，突出平面解析几何的过渡性阶段特征，是经久不衰的考查内容.

例1 （全国新高考Ⅱ卷·15）已知直线[x-my+][1=0]与[⊙C： x-12+y2=4]交于[A，B]两点，写出满足“[△ABC]面积为[85]”的[m]的一个值________.

答案：2；-2；[12]；[-12].（写出其中一个即可.）

考查目标：考查直线方程的几何表征，以及直线与圆的位置关系；考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，以及数形结合思想和转化与化归思想.

命题意图：此题通过给定一个含参数的直线方程和一个确定的圆的方程，让学生寻找和发现直线与方程的几何关联：直线过定点[-1，0]，恰是定圆[C]与[x]轴的左交点，也是直线与圆交点中的一个. 而要研究的几何对象则是由直线与圆[C]的两个交点[A，B]及圆心[C]构成的等腰三角形的面积. 如图1，不妨设[B-1，0]，以[BC=2]为底，则[△ABC]的高（即点[A]纵坐标的绝对值）确定，点[A]的坐标可求（不唯一）. 代入直线方程中即可求得[m]的值. 则[m]的值不唯一（有4个）.

命题评价：直線与圆是平面解析几何中的重要内容，是培养和考查学生图形探究能力的基础性素材，可以通过数形转换实现学生数形结合思想的提升. 此题不要求学生求出所有可能的[m]的值，具有一定的开放性，为学生提供的思考角度是多样的，学生可以根据自己的能力水平找到不同的解题路径和方法. 直线与圆是从几何到平面解析几何重要研究对象圆锥曲线的过渡阶段，因此落脚点就是要挖掘数的几何属性或形的代数表达. 就此题而言，关键在于学生能发现直线恒过的定点就在圆上，如此解答过程会更加简洁. 因此，此题能够对不同思维水平的学生进行区分，全面、系统地考查学生对核心概念、基本原理和基本方法的掌握程度.

圆锥曲线的标准方程与简单的几何性质体现高考对平面解析几何内容考查的基础性要求，关注的是方程与曲线的关系转化，以及对图形（主要是三角形）几何特征的挖掘和方程思想.

例2 （全国新高考Ⅰ卷·16）已知双曲线[C： x2a2-]

[y2b2=1][a>0，b>0]的左、右焦点分别为[F1，F2]. 点[A]在[C]上，点[B]在[y]轴上，[F1A⊥F1B]，[F2A=-23F2B]，则[C]的离心率为________.

答案：[355].

考查目标：考查双曲线和平面向量的基本概念；考查学生的图形探究能力、运算求解能力和综合运用知识解决问题的能力，以及数形结合思想和转化与化归思想.

命题意图：此题利用两个向量的等式，巧妙设计了双曲线的“焦点三角形”（即以双曲线上一点及双曲线的两个焦点为顶点的三角形）和一个等腰三角形组合为一个“勾三股四弦五”的直角三角形. 此题要求学生能从数学的基本概念（向量运算的几何表征、符号坐标的关系特征）出发，运用数形结合思想，将问题转化为平面几何问题，综合运用解三角形的知识求解. 学生也可以通过坐标运算求出点A的坐标，再代入双曲线的方程，求得双曲线的离心率.

命题评价：此题考查了双曲线的定义与标准方程，以及平面向量的数量积运算、数乘运算，对知识的综合运用进行了较好的设计. 此题对学生的图形探究能力，以及分析问题和解决问题的能力进行了较好的考查，能很好地体现学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等素养.

2. 以圆锥曲线的经典问题为切入点考查综合性

运动与变化是研究几何问题的基本观点，利用代数方法研究几何问题是基本方法，运动中的变与不变是圆锥曲线研究中的永恒经典.

例3 （全国乙卷·文12 / 理11）设[A，B]为双曲线[x2-y29=1]上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（   ）.

（A）[1，1] （B）[-1，2]

（C）[1，3] （D）[-1，-4]

答案：D.

考查目标：此题考查直线与双曲线的位置关系，突出考查了学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力.

命题意图：此题以平面解析几何中经典的“中点弦问题”为设计的出发点，关注的是双曲线及其渐近线的区域特征. 此题一般的结论是：以[Mx0，y0]为中点的双曲线[x2a2-y2b2=1]的弦PQ所在直线方程为[x0xa2-][y0yb2=][x20a2-y20b2.] 其中，[x20a2-y20b2<0]或[x20a2-y20b2>1.]

由于直线PQ与双曲线相交，根据等效判别式，得

[a2x0a22-b2-y0b22--x20a2-y20b22=x20a2-y20b21-x20a2-y20b2<0.]

这意味着，双曲线上同支两点连线中点的覆盖范围是双曲线的内部（如图2中包含焦点的区域），双曲线上不同支两点连线中点的覆盖范围是双曲线渐近线所夹区域（如图2中不包含焦点的对角区域）. [图2][O][x][y]

命题评价：此题的命制背景来源于教材，突出考查了直线与双曲线的位置关系，注重对平面解析几何中通性通法的运用. 此题具有一定的运算量，对学生的运算求解能力有较高的要求，区分度高，有利于选拔能力强的学生. 此题很好地体现了重基础、重能力的立意，引领中学教学回归教材，实现教考衔接，服务“双减”和素质教育.

例4 （全国新高考Ⅱ卷·21）已知双曲线[C]的中心为坐标原点，左焦点为[-25，0]，离心率为[5].

（1）求[C]的方程；

（2）记[C]的左、右顶点分别为[A1，A2]，过点[-4，0]的直线与[C]的左支交于[M， N]两点，[M]在第二象限，直线[MA1]与[NA2]交于点[P]，证明：点[P]在定直线上.

答案：（1）[x24-y216=1;]（2）略.

考查目标：此题第（1）小题考查双曲线的标准方程，第（2）小题考查直线与双曲线的位置关系；考查逻辑推理能力、运算求解能力和数形结合思想，以及利用几何问题解析化特征的探索、研究与选择.

命题意图：此题第（1）小题设置了学生最为熟悉的简单情境，体现了对广大学生的人文关怀，也凸显了试题的基础性. 第（2）小题是根据经典的极点与极线的原理命制的. 如图3，因为直线[MN]与直线[A1A2]交于点[-4，0]，[A1M?A2N=P]，所以点[P]在点[-4，0]关于双曲线[C]的极线[x=-1]上. 事实上，[A1N]与[A2M]的交点[Q]也在点[-4，0]关于双曲线[C]的极线[x=-1]上. 另外，当点[M，N]分别在双曲线的两支上时，结论依然成立. 学生可以有多种方法解决该题，既可以设线，也可以设点. 求解的难点在于对“非对称”表达式[y2x1+2y1x2-2]的转化. 转化方式不唯一，可以用根与系数关系两式间的和积关系进行转化，也可以用双曲线的“第三定义”性质，即[kA1MkA2M=b2a2]进行转化. 第（2）小题的求解具有一定的难度，对学生的逻辑思维能力和计算化简能力有较高要求，体现了代数推理中要重视“代数结构特征的挖掘”的本质要求.

命题评价：试题由浅入深、层次分明、重点突出，很好地考查了求解平面解析几何的基本思想方法. 图3中有三条动直线，情境较为复杂，且“非对称”表达式的运算化简对学生的直观想象和数学运算等素养提出了较高要求. 因此，此题具备选拔拔尖创新人才的功能，同时又能引导中学教学注重培养学生的运算能力，提升学生的思维水平.

此外，全国乙卷（理科）第20题（同文科第21题）以椭圆上的调和点列为切入点考查射影几何中经典的极点、极线的定点问题，这也是近三年高考平面解析几何试题的命制热点所在. 北京卷近几年则经常以射影几何为背景进行剪裁入题，如2023年北京卷第19题的第（2）小题聚焦射影几何中的著名结论——Pascal定理命制：如图4，由于[AB]∥[CD]，根据椭圆[E]的（退化的）内接六边形[ABCCDP]三组对边的交点[AB?CD=L]（无穷远点），[BC?DP=M]，[CC]（点C处的切线[y=-2]）[?DP=N]三点共线

几何图形，特别是三角形和四边形相关度量的研究是平面几何中的经典问题，而以圆锥曲线为载体考查这些经典问题则是近年来高考平面解析几何试题命制的创新点所在.

例5 （全国新高考Ⅰ卷·22）在直角坐标系xOy中，点[P]到[x]轴的距离等于点[P]到点[0， 12]的距离，记动点[P]的轨迹为[W].

（1）求[W]的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在[W]上，证明：矩形ABCD的周长大于[33].

答案：（1）[y=x2+14]；（2）略.

考查目标：此题第（1）小题考查曲线与方程的基本概念，第（2）小题考查直线与抛物线的位置关系、不等式放缩、函数的单调性与极值等内容；考查学生综合运用所学知识解决问题的能力、逻辑推理能力和对较复杂问题的运算求解能力，体现平面解析几何的基本思想、基本方法和本质要求.

命题意图：此题第（1）小题设计了曲线的轨迹方程问题，只需要将动点P满足的几何条件用坐标运算来表示，然后再化简即可求解，体现了基础性. 第（2）小题研究多边形周長，是几何中的经典问题. 设计了三个顶点都在抛物线上的矩形，要求学生运用数形结合的思想将几何问题转化为代数问题，弦长的表达都是最为基础的，体现了平面解析几何问题研究的本质. 第（2）小题的求解有一定难度，尤其是周长的最值问题涉及不等式的放缩、函数单调性与极值等方面的知识，这就要求学生具有解决较复杂问题的综合素养和能力，体现了创新性要求.

命题评价：此题基于运动变化这一平面解析几何的基本观点，聚焦圆锥曲线中的四边形特征进行命制. 设计较为新颖，既基于数学的基础知识，又打破了固有的命题模式，以期破除复习备考中题海战术和套路训练的影响，解题过程中要灵活地应用平面解析几何的基本思想方法对问题进行合理转化，对学生的逻辑推理和直观想象等素养有一定要求. 此题不仅有利于高校选拔人才，也有利于中学数学教学的改革，引导中学教学重视培养学生的关键能力与核心素养，发展素质教育.

类似地，全国甲卷（文科）第21题的第（2）小题为求以抛物线的两条互相垂直的焦半径为边的三角形的面积的最值问题，要求学生运用数形结合思想将几何问题转化为代数问题，再运用基本不等式放缩、二次函数或三角函数的性质等方式求最值. 此外，天津卷第18题的第（2）小题设计了已知底边共线的[△A1PQ]和[△A2FP]的面积之比，要求底边所在直线[A2P]方程的问题.

三、复习教学建议

1. 认真研究教材，作好教考衔接

教材中的例题和习题都是非常具有代表性的典型问题，尽管这些题目大部分是比较基础的，但是它们背后往往都蕴含着深刻的一般规律或者通性通法，我们一定要认真研究，深入挖掘其中的教学价值，切忌就题论题. 例如，在讲评人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册习题3.2第13题时，我们可以提出更为一般的问题：过点[Mx0，y0]的直线与圆锥曲线[C：fx，y=0]交于[A，B]两点，当[x0，y0]满足什么条件时，[Mx0，y0]能作为线段[AB]的中点？此时直线[AB]的方程是什么？课堂教学中，可以利用计算机绘图软件作出图形，拖动线段[AB]，追踪其中点，让学生在直观感知的基础上进行代数运算和逻辑推理，并验证猜想. 这样的过程很好地落实了“四基”，有利于提升学生的直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.

2. 以学生为主体，落实“四基”，提升“四能”

对于平面解析几何解答题的求解，很多学生往往会在联立方程并利用根与系数的关系得到关于方程系数的关系式后便束手无策. 究其原因，很可能是有的教师过分强调题量，在课堂教学中一讲到底且教学方式单一、僵化，学生被动模仿，缺少主动思考. 对此，教师要先加强对试题解法的研究，明确“设线”并不是平面解析几何中唯一的设参方式，“直曲联立”也不是唯一的联立方式. 课堂教学中，教师应该多放手让学生进行自主探究，多进行师生互动、生生互动，尊重学生提出的各种解题思路，倾听他们的困惑并给予他们恰当的指导，帮助他们通过自主思考顺利完成问题求解.

3. 加强理论研究，把握好课程标准

马祖光先生有一句名言：“要想给人一碗水，自己要有一桶水.”其实，高考平面解析几何试题大部分是射影几何中一些事实和命题的特殊情形. 因此，教师要深入研究射影几何的理论，进而深刻地认识圆锥曲线的几何性质，把握问题的本质. 当然，我们也要避免另一个极端，即不考虑学生的接受能力，把过深、过难的理论强加给学生. 高等几何的思想方法如何用初等的解析方法来实现，是高中教师应该思考的问题. 对此，我们要认真学习《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，讲授好通性通法，避免教学过偏、过难.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］.  北京：人民教育出版社，2019.

［3］教育部考试中心. 中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］. 中国考试，2019（12）：27-32.

［5］彭海燕，李维. 突出图形探究  强化代数推理：2022年高考“平面解析几何”专题解题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2022（7 / 8）：78-85.

［6］彭海燕. 几何问题“解析化”途径的探索［J］. 中学数学教学参考（上旬），2021（7）：65-68.

［7］彭海燕. 高考数學全国卷解密［M］. 杭州：浙江大学出版社，2019.

作者简介：彭海燕（1977— ），男，正高级教师，广东省特级教师，主要从事中学数学教育教学研究；

李维（1988— ），男，高级教师，主要从事高中数学教育教学研究.