立足数学运算能力 强化数形结合思想

孔峰　杨薇　李红春

摘  要：通过对2023年高考复数和平面向量专题考查内容的整体把握，以典型试题为例进行分析，总结命题特点，归纳出“立足数学运算能力，强化数形结合思想”的命题主旨，明晰高考数学的复习目标与方法，在此基础上提出高考数学复习教学建议.

关键词：复数；平面向量；命题特点；教学建议

2023年高考复数和平面向量试题，注重对基础知识和基本技能的考查，要求学生在有扎实的数学运算求解能力的基础上，不断领悟数形结合思想，发展直观想象素养.

一、考查内容分析

复数和向量都具有代数形式和几何意义，它们都是沟通代数与几何的桥梁. 其中，复数的代数运算是考查的重点，主要考查学生的数学运算素养. 根据复数的几何意义思考问题，有时能获得更加直观的解答. 而数学运算和直观想象素养是高考平面向量试题考查的重点.

针对2023年高考复数和平面向量试题，从情境水平、考查知识、关键能力、核心素养、试题难度等方面梳理，如表1和表2所示.

按照《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）对数学核心素养水平的划分，2023年高考复数试题均为数学运算素养的一般要求，试题均为熟悉情境和简单运算. 主要考查复数代数表示的四则运算、两个复数相等的含义，以及复数的模的求法、共轭复数、复数的几何意义. 与往年相比，复数试题难度基本保持不变.

2023年高考平面向量试题主要考查了平面向量的运算及几何意义、平面向量模的转化，以及平面向量与其他知识相关联的问题. 其中，全国甲卷（文科）、全国乙卷（文科）、全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷都注重对基础知识和基本技能的考查，均是学生较为熟悉的情境，通过简单的运算即可以解决，是数学运算的一般水平. 与往年相比，平面向量试题有一定的变化，尤其表现在全国甲卷（理科）和全国乙卷（理科）中相关试题均比2022年相关试题难度明显增加. 全国甲卷（理科）的平面向量试题具有一定的灵活性，考查学生的联想构造能力，对学生的直观想象素养提出了要求；全国乙卷（理科）的平面向量试题将平面向量与平面几何、三角函数相关知识有机结合，具有一定的综合性，要求学生立足直观，运用函数思想求最值，考查学生分析问题和解决问题的能力. 试题为关联情境，体现了对直观想象和数学运算素养的深度考查.

二、命题特点分析

1. 命题意图分析

（1）复数——重点考查算法，突出数学运算素养.

2023年高考复数试题大多数较为基础，以考查复数的四则运算为主，试题情境皆为单元内的关联，将复数、复数的模、共轭复数、两个复数相等等概念与复数的运算结合在一起考查.

答案：A.

考查目标：要求学生熟练掌握复数的除法和减法运算，对共轭复数的概念有准确的理解.

命题意图：该题考查了复数的除法和减法运算，考查了共轭复数的概念，引导师生不仅要重视数学运算技能的落实，还要认真阅读教材，重视对教材基本概念的准确理解. 高考数学命题注重基础性、综合性、应用性和创新性.《标准》对复数的要求并不高，该题的设置落实了“基础性”要求，是试题面向全体学生的具体体现.

命题评价：该题将复数的概念、四则运算和共轭复数相结合，考查学生的数学运算素养，以及处理简单关联运算情境的能力，试题注重基础，形式寻常多见.

全国乙卷（理科）第1题将复数的除法运算和对共轭复数的概念理解相结合；全国甲卷（理科）第2题考查复数相等的条件；全国新高考Ⅱ卷第1题将复数的乘法运算与复数的几何意义相结合；全国乙卷（文科）第1题将复数的乘方运算、加法运算与求模运算相结合. 总之，复数试题不难，但都体现了单元内的知识点的关联性.

（2）平面向量——立足数学运算，求解关联问题.

平面向量是溝通代数与几何的桥梁. 从代数角度来看，向量可以用坐标表示，用坐标可以求单个向量的模，坐标运算通常可以用来判定两个向量的位置关系，尤其是垂直或者平行. 当两个向量既不平行也不垂直时，通常求向量的夹角，重点考查数学运算素养. 从几何角度来看，向量是有向线段，既可以求模，也可以求两个向量的线性运算和数量积运算. 利用向量与平面几何的联系，借助向量可以探究线段的长度、夹角和位置关系等问题. 平面向量基本定理可以化“未知”为“已知”. 从联系的角度思考问题，将平面向量的运算、平面向量基本定理及平面几何知识结合起来，考查学生的数学运算和直观想象素养. 平面向量可以设计成诸多动态问题，如运动的点、运动的向量和变化的角度，这样就可以将向量与求最值问题相关联，利用函数、基本不等式、三角函数等工具探究相关的最值问题. 这类问题体现了命题的综合性和创新性，能全面考查学生的数学运算和直观想象素养.

例2 （全国新高考Ⅱ卷·13）已知向量a，b满足[a-b=3]，[a+b=2a-b]，则[b]的值为______．

答案：[3].

考查目标：掌握平面向量数量积的性质，将平面向量的模灵活转化为数量积从而求解问题，准确理解数量积的本质是实数，并能熟练运算求解.

命题意图：要求学生通过相对复杂的运算对象设计运算路径，选择合理的运算方法简化问题，这是对数学运算求解能力的深度考查. 通过平方去掉向量模的符号后，得到向量的完全平方式. 如何展开？蕴含着丰富的运算律，引导教师要立足教材，让学生明白算法和算理. 该题通过对向量的模与数量积的灵活转化，考查学生对知识间联系的把握程度，以及在运算求解中是否有整体思想.

命题评价：该题看似简单，但是如果不能熟练运用基本关系[a ? a=a2]进行转化去掉模的符号，学生将很难下手，彰显了核心知识的重要地位. 该题考查学生的数学运算素养，以及处理简单关联运算情境的能力.

例3 （全国甲卷·理4）已知向量a，b，c满足[a=b=1]，[c=2]，且[a+b+c=0]，则[cosa-c，b-c]的值為（    ）.

（A）[-45] （B）[-25]

（C）[25] （D）[45]

答案：D.

考查目标：准确理解向量的模、向量的夹角的概念，能用坐标法或几何法求解向量的夹角.

命题意图：该题既可以用坐标法求解，也可以构造几何图形直观求解，考查学生的直观想象和数学运算素养. 高考数学命题追求创新性，有时通过命制一些切入点多、解法多样的试题让不同学生有不同的思考，展现不同层次学生的数学素养，考查学生思维的灵活性和创新性. 该题引导一线教师在教学中要重视对学生创新思维的培养.

命题评价：该题题干简洁，体现数学的简洁美，解法灵活，便于学生多角度切入，深入考查学生对平面向量知识的理解和灵活运用知识解决问题的能力. 通过给出平面向量中的一些基本条件，要求学生读懂向量语言，借助联想，将已知条件转化为直角三角形三边所在向量后建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式求解；或者从平面向量的线性关系出发构造几何图形，在等腰三角形中借助三角函数知识直接求解. 该题在三角形中考查学生对平面向量性质掌握的灵活程度，无论是代数方法还是几何方法，都需要对条件[a+b+c=0]有合理的理解，即首尾相接的三个向量构成三角形，联系条件[a=b=1]，[c=2]容易让人想到直角三角形，直角三角形便于建立平面直角坐标系进行求解. 如果借助向量的线性运算，将已知条件转化为[a+b=-c]，作出向量[a+b]，它与向量[c]长度相同，方向相反，容易得到等腰三角形.

例4 （全国乙卷·理12）已知[⊙O]的半径为1，直线PA与[⊙O]相切于点A，直线PB与[⊙O]交于B，C两点，D为BC的中点，若[PO=2]，则[PA ? PD]的最大值为（    ）.

（A）[1+22] （B）[1+222]

（C）[1+2] （D）[2+2]

答案：A.

考查目标：能准确画图，从定义出发表示数量积的大小，在分类讨论的基础上，能借助三角函数的知识求解最值.

命题意图：联系出思想，具有一定综合性的数学问题有助于考查学生的素养水平，新颖的问题情境能甄别出学生的辨别、判断和选择能力. 综合性是高考数学试题的主要特点，主要体现在不同知识和解题方法的融合上. 该题通过平面向量和几何知识的有机结合，重点考查学生的直观想象和数学运算素养，考查学生灵活运用所学知识解决综合问题的能力.

命题评价：该题命题巧妙，选取直线和圆的位置关系作为素材，在此基础上设置动态变化. 求解时需要借助平面几何的性质研究边角关系，再通过引入变量列出目标函数，最后求函数的最值. 求解该题的关键在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力，对学生的直观想象和数学运算素养提出了要求. 试题融基础性、应用性、综合性和创新性于一体，对几何图形中的最值问题的基本活动经验进行了考查.

2. 命题导向分析

（1）试题重视对基础知识和基本技能的考查，夯实基础是学生能力发展的必经之路.

《标准》要求夯实学生“四基”，包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验. 其中，基础知识和基本技能是基础. 立足教材中的基本概念和基本原理，将数学运算作为学生最基本的技能来培养，这是高考数学试卷给我们的深刻启示. 数学运算是学生数学学习过程中最基本的技能，它是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题. 数学运算主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序和求得运算结果等. 2023年高考复数与平面向量试题，几乎都需要立足数学运算来解决，复数的四则运算、求复数的模、求向量的模、求向量的夹角、求向量的数量积及利用向量的位置关系求参数的值等都离不开数学运算. 例如，全国新高考Ⅰ卷第2题给出的复数[z]是商的形式，需要先将复数[z]化简，写成[a+bi a，b∈R]的形式，然后写出复数[z]的共轭复数，最后作减法. 在这里，需要先将复数化简，再写共轭复数，否则计算过程会比较复杂，这里涉及对算法的选择. 再如，全国新高考Ⅱ卷第13题给出的条件是模，要求的结果也是模，从代数的角度分析，用平方法去掉模是基本算法.

（2）在知识关联处设计问题，引导教学加强知识间的纵横联系.

2023年高考复数试题多数为将复数的运算与复数的相关概念结合起来进行考查，运算是基础，概念理解是关键. 例如，全国新高考Ⅱ卷第1题将复数的乘法运算与复数的几何意义相结合，先进行化简运算，再根据复数[a+bi a，b∈R]与复平面内的点[a，b]对应，判断点所处的象限；全国乙卷（理科）第1题先进行复数的除法运算，对所给的式子化简，再按照共轭复数的定义求解问题.

2023年高考平面向量试题也在知识的关联处设计问题. 例如，全国甲卷（理科）第4题由向量模的条件和向量的线性关系联想向量的位置关系，进而在平面直角坐标系中转化已知条件，用坐标法求解向量的夹角，将众多向量知识融为一体，体现了知识间的纵横联系.

（3）求解综合问题要注重数形结合思想的运用，努力发展学生的直观想象素养.

高考数学命题强调综合性和创新性. 求解平面向量综合问题时，灵活运用数形结合的思想解题显得十分重要. 例如，全国甲卷（理科）第4题虽然能用坐标法进行求解，但是直接由已知条件构图，在等腰三角形中借助二倍角公式求解会更加直观、简洁；全国乙卷（理科）第12题虽然也可以用坐标法求解，即先引入参数[k]写出直线[BC]的方程，代入圆的方程，由中点坐标公式求出点[D]的坐标，接着由几何直观求出点[A]的坐标，最后写出向量[PA]和[PD]的坐标，用坐标法表示数量积，得到目标函数后求最值，但是由于同样需要分两种情况讨论，故该方法计算量偏大. 对于几何问题，从几何视角出发挖掘几何图形中的边角关系，可以通过直观求解问题.

（4）试题源于教材又高于教材，教学中要对教材内容进行必要的延伸和拓展.

2023年高考復数和平面向量试题几乎都能在教材中找到命题的源头. 例如，人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”）必修第二册在第78页给出了复数除法的操作方法：在进行复数除法运算时，通常先把[a+bi÷c+di]写成[a+bic+di]的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数[c-di]，化简求结果；人教A版教材必修第二册在第72页给出了共轭复数的概念：一般地，两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 这正是全国新高考Ⅰ卷第2题的解法依据. 又如，人教A版教材必修第二册第73页习题7.1第4题与全国新高考Ⅱ卷第1题高度一致. 再如，全国甲卷（理科）第4题同样可以在教材中找到原型，人教A版教材必修第二册第23页习题6.2第6题如下：已知向量[a，b]，求作向量[c]，使[a+b+c=0]，判断表示[a，b，c]的有向线段能否构成三角形.

三、复习教学建议

1. 立足基本概念，夯实求解复数问题的基本原理和方法

《标准》对复数的要求主要为：理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义，掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 分析近几年的高考试题，不难发现，复数的考查重点在于运算，但不止于运算，求解问题时通常需要用到复数的实部与虚部、复数的模、两个复数相等、复数对应点、共轭复数等概念，教学中不能因为内容简单就一带而过，忽略对概念的理解. 事实上，新高考倡导从概念出发思考和解决问题，有些复数的重要性质，只要回到定义就能很快得到证明.

2. 从几何与代数两个角度，着力提升平面向量基本运算的技能

从几何的角度来看，平面向量的方向和大小共同决定了向量的运算，向量的加法是运算的基础，教学中要重视三角形法则和平行四边形法则的运用，帮助学生理解减法和加法的关系. 平面向量数乘运算和数量积是最重要的向量运算，它们是求解平面几何问题的重要工具，教学时要讲清这两种运算的特点，理解运算律，区分其与简单的字母运算的异同. 平面向量基本定理在用几何法求解平面向量问题中起着至关重要的作用，教学时要让学生认识到用它解题的必要性和合理性，不断体会转化与化归思想.

从代数的角度来看，平面向量的运算体现在坐标法上. 此运算的前提是建立适当的平面直角坐标系，坐标系的建立需要学生有良好的直观想象素养. 在教学中，要不断总结借助平面几何图形建立平面直角坐标系的方法. 另外，求点的坐标，有时需要引入参数并充分利用垂直或共线条件，要引导学生体会数学条件运用的等价性. 在平常的教学中，教师要通过典型实例，充分展示计算过程，分析算法，规范表达，为学生作好示范.

3. 优化思维品质，加强数学思想方法的引领，提升学生解决综合问题的能力

平面向量综合问题中蕴含着数形结合、转化与化归、函数与方程等思想. 教师要引导学生在解题过程中尝试一题多解，从不同的角度理解和转化问题，将数和形有机结合，培养思维的灵活性和创新性，发展学生的直观想象素养. 与此同时，教师还要引导学生进行解题后的反思，积累解题经验，培养思维的深刻性. 很多平面向量的综合问题都与最值或范围相关，解题时经常需要用到函数、导数、三角、不等式等其他知识. 教学中，教师要引导学生从联系的角度分析问题，选准变量，合理转化，充分发挥图形直观的作用，借助平面几何的有关知识简化运算.

4. 深挖教材，借助对典型例题和习题的拓展与研究构建求解问题的模型

教材是命题的源泉. 教材中的每道题目都是教材编写者精挑细选的，有些具有示范性，有些具有拓展性，在教学中一定要充分发挥它们的价值. 例如，人教A版教材必修第二册“6.4.1 平面几何中的向量法”在例2的探究中得到一个重要结论“平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，在此基础上通过变式，我们能够得到“从同一顶点出发的三角形的两条边对应的向量的数量积等于第三条边中线与第三条边长一半的平方差”. 这就是极化恒等式. 将极化恒等式作为一个模型，很多不规则或者动态图形中的数量积问题就可以迎刃而解了，充分展示了运用数学模型思想解题的魅力.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］教育部考试中心. 中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［5］任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］. 中国考试，2019（12）：27-32.

作者简介：孔峰（1966— ），男，正高级教师，湖北省特级教师，主要从事中学数学教学研究；

杨薇（1984— ），女，中学一级教师，主要从事中学数学教学研究；

李红春（1977— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究.