一道数学填空题引发对细节的思考
2016-07-12李菲燕
李菲燕
摘 要： 数学是一门严谨的学科，教师的发展就是为了每一位学生的发展，但是在教学过程中总是容易忽略一些细节，这其实会阻碍学生的发展，要时刻记得注意细节是不容忽视的，只有缜密的教学语言才能使学生形成严密的思维方式.
关键词： 细节 集合 区间 角度制 弧度制
某次考试后的集体改卷中，我们备课组成员对于该考卷中的某道题目的处理产生了争议.
填空题13题：求函数y=sin（2x+）的单调递增区间.
学生给出的答案有主要有两种写法：
（1）（kπ-，kπ+）k∈Z（闭区间也给分）
（2）{x/kπ- 备课组老师有的认为（1）的写法比较准确，有的则认为两者都可作为正确答案. 必修一在第1章第2节：函数及其表示中，通过集合给出区间的概念，所以区间是集合，是一个数集，但区间必须指的是一个连续的范围，所以区间并不等同于集合，或者说，并不等同于数集.在很多情况下，区间与数集具有相同的效果，可以相互转化表示某一个范围，如： 例1：[1，5]={x/1≤x≤5}，（1，5）={x/1 例2：函数f（x）=ln（x-6x+5）的定义域：既可以表示成（-∞，1）∪（5，+∞），又可以表示成{x/x<1或x>5}. 例3：函数f（x）=lg（x-1）既可以说在（1，+∞）递增，又可以说在{x/x>1}上是增函数. 那么例1中的单调区间的两种表示方法是否都正确呢？ 笔者认为，第一种表示方法指的是多个区间，当k取不同的整数的时候，表示不同的区间，如：k=-1表示区间（-，-），k=0表示区间（-，-），k=1表示区间（，），即k取遍所有整数时的各个区间，即它不等同于这些集合的并集.而第二种表示法方法指是多个区间的并集，即：…∪（-，-）∪（-，-）∪（，）∪…即k取遍所有整数时所得区间的并集.再者，我们了解，对于函数的单调性，只能在定义域的某个区间上进行研究，不能将单调性相同的区间并起来，如函数f（x）=的单调区间，学生容易误写成：（-∞，0）∪（0，+∞），而正确的写法为：函数的单调区间为（-∞，0）和（0，+∞），它指的是函数有两个单调递增区间.所以例1中的函数的单调区间应该是有无数多个，而不是取并集为一个区间.这个问题其实在必修四中正切函数的性质也有所体现：“正切函数在开区间（-+kπ，+kπ），k∈Z内都是增函数.”认真观察我们便会发现，对于单调区间，课本是有给出严谨的表示的，即三角函数中的单调区间基本都会用区间表示. 所以事实上，数集和区间并不能等同，数集和区间在其他地方也是有区别的.例如：对于离散的数集，可用集合{1，2，3，4}表示，但不能用区间表示若给定集合{x/m-1 所以数集和区间并不能简单地等同，它们之间存在区别，我们必须认清它们的区别并正确使用，例如：函数y=lg（sinx）的定义域正确表示则应该为{x/2kπ 总之，区间的概念是在集合的基础上给出的，在很多情况下区间和集合可以相互转化. 其实在本题中，集合与区间的区别仅仅在于后面的k∈Z，比如区间（，π）与集合{x/ 数学是一门非常严谨的学科，数学教师应该在教学中处处体现其严谨性，这样学生才能在学习中逐步形成严密的思维方式，在教学中不能模棱两可，是就是，不是就不是，容不得半点纰漏，要注意各种细节的不同.在高中数学教学过程中，其实还有很多细节需要我们注意，比如此题学生所写答案除了本文开头两种外，还有部分学生的答案为（3）{x/k·180°-75° 对于这个答案，备课组老师们大多数认为，因为函数的定义域必须是数集，而单调区间是定义域的一个子集，所以必须为数集，那么就必须用弧度制表示，所以这类答案肯定不正确.那么，事实真是如此吗？ 必修一是在两个非空数集的基础上给出函数的概念，于是，在高中教学中，有很多老师在给学生介绍弧度制时都以为了使研究三角函数时，使得角与实数集一一对应为理由，但真的是如此吗？事实上，弧度制和角度制是度量角的两种不同的方式，而其实，无论是角度制还是弧度制，都能使得每个角都有唯一的实数与之对应，也就是说，无是有角度制还是弧度制，都能够建立三角函数，三角函数的定义域及单调区间也能用角度制表示，所以笔者认为，第（4）种答案也是可以的.那么到底为什么有了角度制还要引入弧度制呢？我们知道角度制为六十进制，而弧度制是用长度单位度量角，是一类十进制的实数，弧度制的定义巧妙地将长度单位和角度单位统一起来，这给研究三角函数带来很大的便利.而且在必修四给出三角函数的定式义时：是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么，y叫做α的正弦，即sinα=y，这个时候，y的单位为长度单位，若此时，角a采用角度制，则它们的单位无法统一，而弧度制恰恰解决了这个问题. 当然，因为角度制是用角度量角，而弧度制是用长度度量角，这种方式学生理解起来会有些困难，在教学中解释为什么引入弧度制的必要是十分重要的，对于弧度制的理解，必须贯穿整个三角函数的学习中，即教学学习中都要尽量采用弧度制以便学生习惯并掌握弧度制，角度制和弧度制是角的两同的度量方式，这与用千克，磅度量质量一样，是一种非常重要的认识，弧度制的引入最基本的作用体现在三角函数的认识上. 老子曾说：“天下难事，必做于易；天下大事，必作于细。”要做好一件事，必须从最简单最细微的地方入手，在科学领域中，细节是决定成败的关键.数学教学也是如此，在教学过程中，一定要注重各种细节，即使是教学语言也要注重细节，养成用词的习惯，这样学生才能吃透课本，深入理解每个概念，从而真正掌握各个知识点，学好数学.总之，教师的发展就是为了学生的发展，在教学中，对细节的不忽视、不敷衍，是对学生负责任的一种体现.
