以教材情境引领内容改革 以知识融合考查核心素养

刘莉　闫旭

摘  要：对2023年高考三角函数与解三角形试题从考查内容、分值、难度、思想方法，以及试题来源等方面进行详细分析，认为试题深挖教材元素，突出了对基础知识和基本概念的深入理解和灵活运用，加强了对学生数学知识综合应用能力的考查，并以课程学习情境和探索创新情境为载体落实了《中国高考评价体系》中“四翼”的考查要求. 基于对试题考查内容和命题特点的分析，提出了三角函数与解三角形专题的复习教学建议.

关键词：三角函数；解三角形；考查内容；命题特点；教学建议

三角函数与解三角形内容是连接代数与几何的重要纽带， 具有鲜明的工具性特点，蕴含着丰富的数学思想，是普通高中数学课程的必修内容，在学生的高中数学学习过程中起着重要作用. 其多与函数、向量、导数、不等式、平面几何、解析几何等内容交会考查，是历年高考的必考点和命题热点. 本文主要围绕2023年高考6份全国卷进行三角函数与解三角形的命题分析.

一、考查内容分析

2023年高考三角函数与解三角形试题认真贯彻高考改革的要求，严格依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）进行命制. 试题关注数学本质，突出理性思维的价值，引导学生加强对必备知识的深刻理解；优化试题情境，进一步加强对关键能力的考查，促进学生数学核心素养的提升. 试题较好地发挥了高考数学学科的选拔功能，对高中数学教学改革具有积极的引导和促进作用. 试题考查的主要特点如下.

1. 题型结构和分数比例差异明显

2023年各份高考数学全国卷中，三角函数与解三角形试题在题型、题量和分值等方面有较大差异. 题型方面，全国甲卷（理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷中的三角函数与解三角形试题涉及选择题、填空题和解答题，全国甲卷（文科）、全国乙卷（理科）中的三角函数与解三角形试题涉及选择题和解答题，全国乙卷（文科）中的三角函数与解三角形试题涉及选择题和填空题；题量方面，较多的为全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷和全国甲卷（理科），均涉及4道三角函数与解三角形试题；分值方面，各份试卷中三角函数与解三角形试题的分值处于15～32分之间，分值最高的为全国新高考Ⅱ卷，其中的三角函数与解三角形试题共计32分，占全卷总分值的21.3%；分值最低的为全国乙卷（文科），其中的三角函数与解三角形试题共计15分，占全卷总分值的10%. 具体情况如表1所示.

2. 助力选拔，科学调控试题难度

2023年高考三角函数与解三角形试题遵循基础性、综合性和创新性要求，秉持起步稳、层次明、区分大的调控原则，命制适合不同水平学生的试题. “起步稳”体现在试题针对选择题、填空题、解答题三种题型进行全面设计，其中选择题和填空题均体现了固本强基的特点，如全国新高考Ⅰ卷第6题、全国新高考Ⅱ卷第7题、全国乙卷（文科）第10题和第14题、全国乙卷（理科）第6题等. 试题均从基础知识、基本技能、基本方法入手，面向全体学生.“层次明”體现为试题重视考查学生思维的层次性，强化数学概念的理解、基本数学方法的掌握、数学素养的养成和学生的思维水平层次，如全国新高考Ⅰ卷第6题、全国乙卷（理科）第10题等. 给学生提供了更广阔的思考空间和更多的思考角度，为学生搭建了不同的分析问题和解决问题的平台.“区分大”体现在大幅度增加了三角函数与解三角形知识与学科内其他板块知识的融合，体现了高考数学的综合性和创新性要求，如全国新高考Ⅱ卷第22题、全国乙卷（理科）第10题、全国甲卷（文科）第12题和第20题、全国甲卷（理科）第7题、第10题和第21题等，通过与数列、导数、直线方程、常用逻辑用语等知识的交会，考查学生解决较复杂问题所需的综合素养和能力，增强了试题的区分度. 这种设计，一方面为国家和高校选拔合格人才提供了基础保障；另一方面，有利于引导中学教学改革，助力优秀人才的培养.

3. 重点突出，加强对主干知识的考查

2023年高考三角函数与解三角形试题延续了2022年的命制风格，没有直接考查角与弧度制、三角函数的定义和解三角形的实际应用等知识，而是进一步加强了对主干知识的考查. 例如，全国新高考Ⅰ卷第8题通过创设试题情境，考查学生灵活运用同角三角函数基本关系式及三角恒等变换的能力；全国甲卷（文科）第12题、全国甲卷（理科）第10题、全国乙卷（文科）第10题、全国乙卷（理科）第6题等，基于数形结合的思想方法重点考查三角函数的图象与性质；全国新高考Ⅰ卷第17题和全国新高考Ⅱ卷第17题等，以解三角形为突破点，发挥正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的工具性作用.

二、命题特点分析

1. 命题意图分析

2023年高考三角函数与解三角形试题通过全面、系统地考查核心概念、基本原理和基本方法，促使学生形成牢固的知识根基，掌握解决问题的思想方法，较好地检测了学生的“四基”“四能”和数学核心素养. 同时，试题的命制着重在反套路、反机械刷题方面下功夫，注重考查学生对学科知识的综合应用能力，落实《中国高考评价体系》（以下简称《体系》）中“四翼”的考查要求，引导教学关注学科本质、提高教学效率，避免机械、无效的教学.

此题还可以通过数形结合的方法来求解，由已知等差数列的公差为[2π3]和余弦函数的周期为3，不难得出问题情境相当于将角0～2π平均分成三份，借助单位圆我们可以随意作出将圆三等分的角的终边. 再利用集合元素的互异性特点，可以肯定一个周期内三个角的余弦值必有两个相同，通过三角函数线的知识容易得到函数取值分别为1，[-12]，[-12]，或者[12]，-1，[12]两种情况. 此题对学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等素养提出了较高要求.

命题评价：此题是集合、数列、三角函数的综合题，对集合的概念和三角函数的周期性进行了深入考查，既可以通过代数运算方法求解，也可以用数形结合的方法求解. 要求学生在解决复杂的综合性问题时，善于抓住问题的本质，发现解决问题的关键，选择合理的方法. 此题情境与人教B版教材必修第三册第七章“三角函数”的“本章导语”紧密相连：被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮在转动过程中，我们可以观察人位置的高度，也可以观察人离摩天轮竖直中轴线的距离，区别就是利用正弦线知识还是余弦线知识来解决. 教学中可以引导学生将此题的背景改编为正弦型函数，以达到促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构，进而有效落实学生数学核心素养的培养.

利用导数判断原函数的单调性，进而求得结果，难度较小，充分体现了人文关怀. 第（2）小题需要根据题意结合偶函数的性质，确定[fx]在[0，1]上的单调性，求解时要灵活运用三角函数的值域特点，对[0

命题评价：此题充分体现2023年高考数学试题强调学科内知识的融会贯通，强调各分支内容和学科之间的联系，促进学生从整体上建构知识框架，形成合理的认知结构. 例如，全国新高考Ⅱ卷第22题、全国甲卷（文科）第20题和全国甲卷（理科）第21题，均将导数与三角函数巧妙地结合起来，通过对导函数的分析，考查函数的单调性、极值等相关问题. 试题延续了以往的命制风格，将三角函数放在函数主题下，很好地考查了学生利用函数视角审视研究对象的意识和能力，同时借助导数和不等式等知识深入考查了分类讨论和转化与化归思想.

命题意图：此题难度中等，既关注了学生的认知程度，又关注了高考的选拔性功能，求解方法多样，使不同思维水平的学生均有得分机会. 首先根据已知条件，可以利用余弦定理求出AC的长，然后根据等面积法求出AD的长，或根据正弦定理求出角B，C的度数，最后根据正弦定理或余弦定理求解即可.

命题评价：此题背景源于人教B版教材必修第四册第九章“解三角形”复习题A组第7题，其均是在已知三角形两角及一边的情况下，研究角平分线问题. 此类问题在教材中频繁出现. 2023年高考三角函数与解三角形试题中虽然未出现结构不良问题，但大部分试题都提供了多样个性的解法，同样体现了问题解决途径的千差万别，有效考查了学生建构数学问题的能力，以及分析问题和解决问题的能力.

命题意图：对于第（1）小题，首先由余弦定理求得边[BC]的长为[7]，然后由余弦定理可得[cosB=5714]，最后由同角三角函数的基本关系可得[sinB=2114.] 对于第（2）小题，可以利用[S△ABDS△ACD=4]，得[S△ACD=15S△ABC]，进而求得[△ADC]的面积. 还可以在[△ABD]或者[△ABC]中求出角B或角C的度数，进而求出[∠ABD]或[∠ADC]的度数，最后再次利用正弦定理或余弦定理求解.

命题评价：此题情境来源于人教B版教材必修第四册习题9-1B的第2题，其本质均是通过将三角形顶点与所对边上确定点相连，进而构建出多个三角形结构的问题，通常都是利用正弦定理、余弦定理和面积公式求解. 与之类似的还有全国新高考Ⅰ卷第6题和全国新高考全国Ⅱ卷第17题. 对于这类试题，不同解法会导致解题过程的简洁性存在较大差异，这充分体现了在全面掌握研究方法的基础上结合试题情境进行方法选择的重要性.

2. 命题导向分析

（1）回歸教材.

2023年高考三角函数与解三角形试题的命制充分体现了以教材为基础，挖掘教材中例题、习题和“本章导语”中的核心育人元素. 不难发现，除个别综合性较强的试题外，大部分试题均能直接在教材中找到影子. 例如，全国甲卷（文科）第17题的情境源于人教B版教材必修第四册“9.1.2 余弦定理”的例5，全国乙卷（文科）第10题的情境源于人教B版教材必修第三册第七章“三角函数”复习题B组第8题，全国乙卷（文科）第14题的情境来源于人教B版教材必修第三册“7.2.3 同角三角函数的基本关系式”练习A的第1题. 今后高考数学试题的命制仍然会依据《标准》，关联教材，进而助推“双减”政策落地.

（2）深化基础性考查.

2023年高考三角函数与解三角形试题在三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系式等核心内容上实现了全覆盖，通过创设新颖的试题情境，既实现了对三角函数与解三角形部分主干知识的重点考查，体现了高考试题命制的基础性原则，又注重对基础知识和关键能力考查的有机结合. 例如，全国新高考Ⅱ卷第7题在考查二倍角公式的基础上，侧重考查学生的运算求解能力，这是学生学习数学必须具备的能力，具有鲜明的数学学科特点. 综观近几年高考三角函数与解三角形试题，其在加强情境创设的基础上对学生的运算能力提出了较高要求.

（3）强调理性思维.

2023年高考三角函数与解三角形试题涵盖核心价值、学科素养、关键能力和必备知识四部分考查内容，重点考查学生的理性思维和数学探索能力，这也是对《体系》学科化和具体化的体现. 每道试题的设计都是对数学知识的有机结合与运用，对学生的逻辑思维能力和数学抽象能力考查深入、具体. 例如，全国甲卷（文科）第12题、全国甲卷（理科）第10题、全国新高考Ⅰ卷第15题等，体现了高考数学试题的课程学习情境和探索创新情境，这两类情境是考查学生数学基础和数学抽象的重要载体，是实现高考选拔人才功能的重要依据.

（4）加强综合性考查.

2023年高考三角函数与解三角形试题特别注重学科内知识的交会，将三角知识与解析几何、导数、数列和逻辑用语等充分融合，体现了三角的本质是几何与代数的统一性. 例如，全国新高考Ⅰ卷第6题、全国新高考Ⅱ卷第22题、全国甲卷（理科）第7题和第21题及全国乙卷（理科）第10题等，要求学生在面对综合性较强、情境较复杂的问题时，要有一定的探究能力和创新精神，具备较好的数学素养和优秀的思维品质. 这也体现了今后高考数学试题将继续在大单元主题下整合学科内及学科之间相关知识的命题导向.

三、复习教学建议

1. 夯实基础知识，掌握通性通法

高考三角函数与解三角形试题较为基础，因此在复习教学过程中，教师要抓住主干知识，重视基本概念和基本方法，引导学生熟悉公式的推导过程，认识到三角公式的推导方法实际上就是解三角问题的通性通法. 掌握三角函数的图象与性质，充分运用数形结合思想将图象与性质紧密结合. 例如，关于对称性问题，可以结合图象来理解对称中心、零点、对称轴三者之间的关系，要在函数主题下把握三角函数，明确三角函数是基本初等函数之一．从函数角度出发，明确正弦函数、余弦函数、正切函数的研究方向，构建函数主题的知识网络．

2. 重视知识交会，拓展解题视角

近年来，高考对三角函数与解三角形部分的考查不限于本专题的知识体系内，出现了大量与其他知识综合考查的创新题. 例如，2022年全国乙卷（文科）第8题将三角函数与指数函数、对数函数、幂函数等结合，要求判断函数图象；2023年全国新高考Ⅱ卷第22题与导数结合，考查函数的单调性、极值和最值等问题；2022年全国甲卷（文、理科）第16题与不等式结合，研究函数的最值问题．除此之外，也出现了以三角函数为背景的应用题，以及与向量和数列等相结合的创新题. 例如，2023年全国乙卷（理科）第10题. 由此可见，在复习三角函数与解三角形专题内容时，不仅要构建本专题的知识网络，还要将三角函数与学科内其他知识进行关联，提升学生对学科知识的综合应用能力．

3. 加强专题训练，提升核心素养

三角函数与解三角形试题对学生的数学运算和逻辑推理等素养要求较高. 因此，在复习教学中，教师可以采用专题的形式，从基础落点出发，以问题串的形式为学生搭建能力提升的台阶，培养学生的思维能力，既可以采用“一题多解”寻找共性问题的不同解决途径，并对各种方法进行总结、提炼，让学生在发散比较中整合知识，也可以运用“多题一解”聚焦能解决不同问题的思想方法，挖掘题目之间的内在联系，引导学生在规律探寻中总结通性通法，形成知识网络，进而提升数学核心素养.

4. 注重数形结合，把握思想方法

三角函数是典型的周期性函数，三角函数的性质通常可以由函数图象来刻画. 因此，在复习教学中，教师要注重引导学生深刻体会数形结合思想方法，做到“以形助数，以数思形”. 近年来，高考三角函数与解三角形试题呈现出利用三角函数的图象思考和分析问题，进而达到简化解题步骤的优点. 因此，在复习教学中，教师要注重培养学生利用已知条件准确作图、识图的能力，同时要把握三角函数图象伸缩和平移变换的本质，注重感悟和理解试题中蕴含的数学思想方法.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］教育部考试中心. 中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］. 中国考试，2019（12）：27-32.

［5］薛紅霞，张士彩. 回归“四基”提升能力  化简转化拨云见日：2022年高考“三角函数与解三角形”专题命题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2022（7 / 8）：32-41.

作者简介：刘莉（1964— ），女，研究员，人民教育出版社《普通高中教科书·数学（B版）》分册主编、核心作者和培训专家，主要从事高中数学课程与教学研究；

闫旭（1981— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.