论述高中数学中集合的类型及基本运算

王凯

摘 要：集合是高中入学的第一课，集合的知识是相对比较简单的。作为一个刚刚迈入高中校门的学生来说集合的知识是他们思维转换的第一步，小学和初中教育都是比较形象化的，进入高中之后，随着教育质量的提升，对于同学们的要求也逐渐提高，由形象具体的事物到抽象难懂的几何符号以及图形。这对于同学们来说着实有些困难，因此我们将这一章的关于集合的知识作为提升同学们同学们思维转换的重要部分。在整个集合的学习过程中，同学们对集合的基本知识了解的不全面，本人就同学们在学习过程中遇到的问题来对高中数学集合的类型以及基本运算进行一定的梳理，希望能够帮助基础薄弱、在这方面有疑惑的同学。

关键词：集合;思维方式 ;知识梳理

一、运用集合的表述方法

集合的表示方法有很多种，在实际生活当中，最方便最直接的方法就是运用语言来进行描述，但是这种方法其实不是很实用的，用数学语言来表示集合主要是列举法和描述法。

（一）列举法

列举法是最全面的和最直观的方法，列举法就是将集合中的元素一一列举出来。

例如：{1，2，3，4，5}…

用列举法表示集合的各元素的时候可以使无序进行的，我们可以不按照一定的规律进行排列，但是鉴于我们自身的习惯以及能够发现其中各元素之间的简单的关系，我们也会按照一定的顺序来进行排序。

（二）描述法

描述法是将集合中的元素的共同的特点有语言文字符号或者其他的方式将其特征描述出来将其写在大括号之内。利用描述法进行表示的集合一般都是比较大，而且不易用列举法表示。例如{x|x>3}，学生在应用的过程中要注意集合的代表元素，在这里要重点列举一些不正确的写法，比如{实数集}，{R}等.

对于这两种方法，我们应该注意这两种方法的优劣之处，根据描述的对象不同，采用不同的方法，比如一个集合中有有限个元素的时候，我们尽可能选用列举法来进行描述，假如集合中元素较多或者有无限个元素，我们应该采用描述法。

（三）集合与集合之间的相等关系

例如：A∈B且B∈A，所以A与B之间的元素是一样的，因此A=B。不含任何元素的集合叫作空集，记为Φ;规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

（四）集合与集合之间的包含关系

例如：A={1，2，3}，B={1，2，3，4}。可以看出B集合当中的元素，包含着A集合中的元素，因此我们可以称A包含于B，也可以说是B包含A。

二、并集

A∪B = {x|x∈A或x∈B}，并集是一个非常简单的集合类型，并集就像是基本运算之间的加法，集合就是把所有的元素都加在一起。但是也有特殊情况，相应的也会有减法运算。

我们非常熟悉四则运算，例如1+2=3，这样写诗比较合理的，但是如果换一个写法，它仍然是对的，但是看起来会比较的别扭，1=3-2。当然这样的情况在实际生活中也是常见的。假如我们去超市买东西，没有足够的钱来付款，我们就要将自己所购买的物品中拿出一部分。这就是一个简单的集合问题，假如我们拿的所有的商品是集合A，我们在购物车中拿出去的物品为集合B，剩下的商品就是集合C，那么我们用数学集合的语言来描述就是集合A减去集合B就得到了集合C。

我们知道任意的两个集合都可以求其并集，就是简单的将两个集合里的元素进行相加，但是任意的两个集合不能够做相应的减法运算，假如两个集合里面没有任何相同的元素，那么两者就不能进行相应的减法运算，例如A={1，2，3} B={4，5}。

为了使得我们的集合之间的减法运算能够应用，我们必须要确定一个具体的范围。我们发现只有两个集合是包含关系的时候，减法运算才能实现。这个减法运算的范围比较的窄，只能够在一个集合包含另外一个集合的情况下使用，假如一个集合是全集，我们记作U，A是全集的一个子集，这样的话我们就可以运用减法，B=U-A，B也可以称为集合A的补集。

三、补集

BUA={x|x∈U且x?A}，集合在实际生活中非常的实用，特别是并集和补集的应用。交集的基本运算是否对实际生活也有重大的影响？答案肯定是，小学生开始的时候学过扩句和缩句的运用。例如：桌子上有一个苹果。桌子上有一个红彤彤的苹果。其实这里面也是存在着比较深刻的道理的，数学是无处不在的。红彤彤的东西不一定是苹果。苹果也不一定是红色的。我们用集合的观点来对待这个问题。记集合A=﹛苹果﹜，B =﹛红彤彤的事物﹜，C=﹛红苹果﹜，仔细观察他们之间是有一定的关系的，C是A的子集，C也是B的子集，A与B没有太大的关系。A和B中的所有的元素构成了集合C，那么C就是集合A与集合B的交集，记作A∩B。

四、结语

综上所述，集合是高中阶段较重要的课程，它作为初中阶段向高中阶段及高中高难度数学课的过渡课程，因此我们应该尽量联系实际，培养我们对数学学习的兴趣，将这些集合知识牢记于心，特别是集合的表示方法以及各个集合之间的关系，为以后的学习打下坚实的基础。

参考文献：

[1]干亚清.集合概念教学中应注意的几个问题[J].上海中学数学，2007（09）.

[2]冯寅.挖掘高考中集合的五大联系[J].数理化学习（高中版），2007（16）

[3]王永.集合学习中应注意的几个问题[J].山西财经大学学报，2002（S2）.