数学文化视角下的“会标图案”试题探究

唐玉令 王晓军

(绍兴文理学院数理信息学院 312000)

数学课程标准[1-2]强调数学文化融入课程内容,强调数学与生活以及其他学科的联系,重视提升学生应用数学解决实际问题的能力;同时明确了数学核心素养的学业质量水平与考试评价的关系．查阅近几年中高考试卷,发现融入数学文化元素的试题频频出现,以会标图案为背景的一类数学试题尤为凸显,这引起了笔者对数学文化视角下的“会标图案”试题的兴趣与关注．

1 问题由来

(2022年江苏四市调研卷第16题)第十四届国际数学教育大会(简称ICME-14)于2021年7月在上海举办,会标的主题图案(图1)有着丰富的数学元素,展现了中国古代数学的灿烂文化,其右下方的“卦”是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3 745．八进制有0～7共8个数字,基数为8,加法运算时逢八进一,减法运算时借一当八．八进制数字3 745换算成十进制是5×80+4×81+7×82+3×83=2 021,表示ICME-14的举办年份．设正整数n=a0×80+a1×81+…+ak×8k,其中ai∈{0,1,2,3,4,5,6,7},i=0,1,…,k,k∈N．记ω(n)=a0+a1+…+ak,S(n)=ω(1)+ω(2)+…+ω(8n),则ω(72)=;当n≤7时,用含n的代数式表示S(n)=．

图1

第二问考查的是数列的求和,要构造S(n)-S(n-1),因此需要分类讨论:

当n=1时,S(1)=ω(1)+ω(2)+…+ω(8)=1+2+3+4+5+6+7+1=29．

当2≤n≤7时,S(n)-S(n-1)=ω(1)+ω(2)+…+ω(8n)-[ω(1)+ω(2)+…+ω(8(n-1))]=ω(8(n-1)+1)+ω(8(n-1)+2)+…+ω(8(n-1)+7)+ω(8n)=(n-1)+1+(n-1)+2+…+(n-1)+7+n=8n+21,然后利用累加法即可求出S(n)=[S(n)-S(n-1)]+

最后检验n=1时,S(1)满足S(n)=4n2+25n,所以S(n)=4n2+25n(n≤7)．

这道题由ICME-14会标中的“卦”引出进制数,不仅突显我国进制数的发展历程,还让学生了解到国际数学教育大会在中国举办,提升了民族自豪感．这种融入数学文化的试题将未学过的知识与已经学过的知识相结合,不仅能培养学生运用新定义知识解决数学问题的能力,而且能提高学生的综合素质和核心素养．不难发现,题中的会标图案还蕴藏着许多数学元素和文化,挖掘其潜在的教育价值显得十分有意义．

2 会标图案与数学史知识

会标图案是数学活动的主题标志,一些重要的数学活动都要设计会标,其内容反映主办地的历史文化、民族特点和届次、地点、时间等．会标图案不仅有利于弘扬我国数学传统文化,还能与时俱进地反映活动的精神风貌,如ICME-14会标、中国数学会会标、第24届国际数学家大会会标等．下面以ICME-14会标图案为例,挖掘其蕴藏的数学史料知识．

ICME-14会标图案设计源于圆形的河图[3](图2)．“河图”和“洛书”被誉为中华民族文明之源,隐含了许多数与数字关系,可谓是图像和数字结合的完美典范．“河图”和“洛书”(图3)都是由具有一定排列顺序的黑白点组成,数值大小为点的个数[4]．根据点数可以发现,洛书每横、竖、斜对角的点数和均是15,是“等和”的排列,这也是世界上最早的幻方．河图包含数字1到10,每个方位两个数字的差都为5,是“等差”的排列．ICME-14会标图案中突出了河图上方2与7的点列,其积为14,表示本次会议的届数,可谓设计精妙．

图2 圆形的河图 图3 河图洛书

ICME-14会标图案中还包括“赵爽弦图”(图4)．“弦图”是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的一种验证勾股定理的图形,是中国数学史上最早证明勾股定理的方法．其本质思想是图形的割补和拼接,以形证数,十分巧妙,在我国数学史中影响巨大．

图4 赵爽弦图

ICME-14会标图案的右下方是用“卦”表示出来的数．“卦”是中国古代文化中的一个重要符号和思想源泉,对于中国古代的占卜、预测、决策和文化传承等方面都有着重要的影响．“卦”中还蕴含着许多数学知识,与二进制数有很大的关联．“卦”由“—”和“- -”组成,“—”为阳爻,“- -”为阴爻．以“—”为1,“- -”为0,便可以将卦数写成二进制数或八进制数．由此可以得到会标右下方的二进制数字为011 111 100 101,换算成十进制数恰是本次举办会议的年份2021,这不仅展现了中国数学文化的博大精深,也体现了传统文化与现代文明的巧妙融合．

3 史料知识与试题联结

将数学文化元素融入试题,体现出数学课程标准的学业质量水平与考试评价的关系,有利于引导教学关注育人目的,注重培养学生核心素养,重视提高学生综合运用知识解决实际问题的能力,帮助教师和学生把握教与学的深度和广度,为阶段性评价、学业水平考试和升学考试命题提供重要依据,推动教、学、考有机衔接,形成育人合力[1]．ICME-14会标图案中的洛书、弦图、卦等史料知识蕴含着丰富的数学思想方法,有利于培育学生的创新意识和创新能力．下面以此为背景,进行数学文化试题的联结与拓展．

3.1 “九宫格”中的“等和”与“等积”

“九宫格”源于我国古代的“洛书”,是世界上最早的“幻方”．将此数学史料与数学试题巧妙联结,就需要学生从题目中寻找关键信息,读懂洛书中“等和”排列的数字规律,由此提升学生的学业质量水平．洛书中“等和”的数字关系有许多的应用与变式,下面是一道与此相关的“等积”试题．

例1(2020年湖南邵阳中考第15题)在如图5的方格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则后两行2个空格的实数之积为．

图5

这道题将洛书中横、竖、斜对角的“等和”排列变式为“等积”排列,并以此为背景考查学生的运算能力与推理能力．对于这类数学问题,教师要善于归纳与分类,生成有层次性、逻辑性和系统性的问题链,促进学生思维的深度参与[5]．

3.2 赵爽弦图中的“求值”与“涂色”

赵爽弦图作为勾股定理的一个重要证明方法,也是数学文化融入试题的重要元素．在初中阶段,赵爽弦图一般用于考查求边长、面积、最值等,需要结合勾股定理,其变式题目十分多样,这也需要教师深入挖掘赵爽弦图的潜在价值,让学生感受到定理的产生、证明、应用过程,理解定理证明中所蕴含的数学思想,促进知识的迁移与应用． 赵爽弦图不仅在初中阶段有诸多应用,在高中阶段也频频出现,下面是一道与此相关的“涂色”问题．

例2(2020年河北省高三九校联考第9题)如图6为我国数学家赵爽(约3世纪初)为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图．现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,且相邻区域颜色不同,则A,C区域涂同色的概率为( )．

图6

解析 分析题意,可知至少使用3种颜色,分3种情况:

这道题以弦图为载体,考查排列组合内容．在高中阶段,赵爽弦图仅作为题目背景,重点考查三角函数、概率运算、平面向量和排列组合等知识点,对学生的综合能力的要求有了明显的提高,要求学生真正理解并掌握知识的内涵,学会举一反三．

3.3 “卦”中的“进制数”与“排列组合”

可以发现,2022年江苏四市调研卷的第16题融入了“卦”和八进制数的计算,使题目更加丰满．教师在讲解八进制时,可以类比十进制,帮助学生理解八进制的内涵,做到触类旁通;并且可以将进制数作为扩展内容介绍给学有余力的学生,开拓学生眼界．“卦”不仅与进制数相关,它本身还蕴含着排列组合的思想,下面是一道与此相关的排列组合试题．

例3(2019年全国Ⅰ卷理科第19题)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”,如图7就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )．

图7

这道题以“卦”为背景,将“卦”紧密而又巧妙地与排列组合知识相结合,通过对“卦”的解析进一步考查学生对排列组合知识的掌握．在题目中融入文化,既是对数学文化知识的创新性运用,也是对传统文化的进一步传承与弘扬．

4 结语

以上是由会标图案引出的一系列数学史料的探究,并延伸出相关数学文化的试题．可以看出,有了数学史料背景的融入,这些试题更富有文化色彩,试题的设计也更加巧妙．作为教师,更应多阅读、研究相关数学文化,挖掘数学史料中蕴藏的数学思想,选择合适的数学史料融入到课堂教学中,帮助学生理解数学知识的发展和本质,构建螺旋上升的知识结构,并结合问题的变式与相似性联结,培养学生将数学思想方法应用到现实生活中的能力[6],提高学生的数学核心素养．