体验概念形成过程 发展数学学习能力

张子超

［摘  要］ 数学概念是数学基础知识的核心，是学好数学的“金钥匙”. 为了帮助学生更好地理解和掌握数学概念，教师应多带领学生经历概念形成、发展、应用的过程，以此促进学生的数学学习能力和思维能力稳步提升.

［关键词］ 数学概念；过程；学习能力

在高中数学教学中，大多数教师认为高中数学时间紧、任务重，对于那些已经得到验证的概念没有必要再“大费周章”地去探究，只要直接讲给学生听，让学生背，然后利用相应练习帮助学生理解即可. 确实，这样表面上看既节省了时间，提高了教学效率，又为学生提供了较多的练习时间，有利于学生解题能力的提升，是一件“一举多得”的“好事”. 不过，直接讲授很难让学生深刻理解概念，这样势必影响学生后期灵活运用，限制学生长远发展. 同时，练习难以体现概念的方方面面，不利于学生获得全面的、正确的理解. 因此，在日常教学中，教师应注重概念教学，让学生深刻理解概念，以此培养学生的“双基”，落实学生的数学核心素养.

笔者以“直线的一般式方程”的教学为例，浅谈几点对概念教学的肤浅认识，供参考.

基本情况分析

1. 教材分析

在本节课教学前，学生已经学习了直线方程的四种形式，研究了直线斜率、倾斜角等概念，这些知识、经验、方法为本节课教学提供了智力保障. 可见，本节课看似新课，然学生认识丰富，这为开展研究性学习活动打下了坚实的基础. 另外，研究直线方程的一般形式，为研究两直线的位置关系以及点到直线的距离做了充分准备.

2. 学情分析

学生基础较好，独立思考能力强. 根据教学反馈，学生已经熟练掌握了点斜式、斜截式等几种直线方程的形式，并能够灵活应用相关知识解决问题.

3. 教学目标

（1）理解直线的一般式方程的含义.

（2）掌握直线方程不同形式之间的转化.

（3）通过研究二元一次方程来研究直线，体验两者的对应关系.

（4）激发学生的参与意识，鼓励学生独立思考和合作探究，培养学生良好的学习习惯，落实学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养.

4. 教学重难点

探究并了解直线的一般式方程.

教学过程

环节1：回顾

师：前面我们已经学习了直线方程的四种形式，它们分别是什么？（教师点名让学生回答）

生1：点斜式，y-y=k（x-x）.

生2：斜截式，y=kx+b.

师：非常好，看来大家对直线方程的四种形式已经了如指掌了，那么思考一下，这四种形式有没有局限性呢？（学生积极交流，教师投影展示表1）

师：根据分析我们知道，以上四种形式各有一定的局限性，那么能否找到一種可以表示任意一条直线的一般形式呢？

生5：有，不过目前还没有学.

师：探究这个问题前，请同学们先“做一做”. （教师用PPT给出练习）

练习：根据下列条件，写出直线的方程.

（1）经过点P（-2，3），斜率是2；

（2）经过点（1，3），（-1，2）；

（3）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为-3.

（4）经过点（1，2），且与x轴平行；

（5）经过点（1，2），且与y轴平行.

练习给出后，教师选择5名学生在黑板上作答，答案如下：（1）y-3=2（x+2）；（2）x-2y+5=0；（3）3x-2y-6=0；（4）y=2；（5）x=1.

师：很好，第（1）题中的直线方程还可以写成什么形式呢？

生6：y=2x+7.

师：是否可以转化为第（2）题和第（3）题那样的形式呢？

生7：2x-y+7=0.

师：很好，如果将以上5个直线方程用统一的形式来表示，会是什么呢？（为了便于学生回答，教师给予提示：x的系数用字母A表示，y的系数用字母B表示，常数用字母C表示）

设计意图 在教学中，引导学生从熟悉的直线方程的四种形式出发，通过探寻各种形式的局限性让学生理解研究直线一般式方程的必要性. 在教学中，教师没有直接给出直线方程的一般形式，而是引导学生经历从特殊到一般的转化过程，继而得到直线的一般式方程Ax+By+C=0. 在教学中，教师从学生的已有知识出发，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用，为接下来自主探究活动的开展奠定了基础.

环节2：自主探究

师：现在请大家分组讨论以下几个问题.

问题1：平面直角坐标系内的任一条直线都可以用方程Ax+By+C=0来表示吗？

（教师给学生3分钟的时间进行分组讨论，然后让他们分享探究结果）

师：哪个小组来展示一下你们的探究结果？

生8：可以分两种情况进行讨论，①当直线斜率存在时，直线方程可以转化为y=kx+b，即kx-y+b=0；②当直线斜率不存在时，直线方程为x=x，即x-x=0. 综上可知，任一条直线都可以用方程Ax+By+C=0来表示.

师：说得非常好，其他小组有不同的意见吗？（学生表示赞同该小组的探究结果）

师：接下来我们探究第2个问题. （教师用PPT继续给出问题）

问题2：任一方程Ax+By+C=0都能表示平面直角坐标系内的一条直线吗？

（同样，教师让学生分组探究，然后交流展示）

生9：我们小组认为，这个问题需要分三种情况进行讨论.

③当B=0，A=0时，方程Ax+By+C=0表示一个点.

师：这位同学灵活运用了分类讨论，是非常不错的想法. 你们是否有不同的意见呢？

生10：我们小组非常赞同生9他们小组给出的前两种情况，但是对于第三种情况我们有不同的意见. 当B=0，A=0时，方程Ax+By+C=0表示的不是一个点，不过具体是什么图形我们现在也说不清.

师：当B=0，A=0时，到底是什么图形呢？

生11：这个应该再分两种情况进行讨论，①当C=0时，表示平面内任一点均可；②当C≠0时，它不能表示任何图形.

师：说得非常好，那么通过上述分析，若用方程Ax+By+C=0表示平面内的一条直线，对方程各项的系数有何要求呢？

生12：A，B不全为0.

师：很好. 通过问题1和问题2的探究，我们现在知道，直角坐标平面内的任一条直线都可以用方程Ax+By+C=0（A，B不全为0）来表示；反之，方程Ax+By+C=0（A，B不全为0）可以表示直角坐标平面内的任一条直线. 所以我们把方程Ax+By+C=0（A，B不全为0）称为直线的一般式方程.

设计意图 通过设计指向明确的问题，引导学生合作探究，互相启发与帮助，最终发现直线和二元一次方程的对应关系，由此自然地引出直线的一般式方程的定义. 这样让学生经历概念的形成过程，有利于他们理解概念，激发他们学习数学的热情.

环节3：知识建构

师：通过前面的探究我们知道，直线的一般式方程可以表示任一条直线，这样我们既可以用代数的方法来研究几何图形，也可以用几何图形来研究方程，实现数形统一. 现在请同学们思考一下，既然直线的一般式方程可以表示任一条直线，为什么我们还要苦苦探寻其他形式的直线方程呢？后面是否还会用到其他形式的直线方程？

设计意图 引出直线的一般式方程前，对其他直线方程形式的局限性的探究，势必让学生产生以上疑惑. 在此将这些疑惑展示出来，利用生生互动和师生互动帮助学生排除疑惑，促使学生感悟直线的一般式方程的优越性，发现其在几何意义表达上存在的缺陷，进而对直线的一般式方程的概念有更加深入的理解.

环节4：数学应用

师：我想大家一定迫不及待地想解决一些问题，现在问题就来了. 请大家看一下，以下问题如何解决呢？（教师用PPT给出问题）

问题1：求直线l：3x+5y-15=0的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图.

求解问题1时，学生将直线的一般式方程转化为斜截式方程，很快得到了答案.

问题2：直线l的方程为x+my-2m+1=0，请从形的角度补充条件，然后求出m的值.

问题2是一道开放题，教师为学生预留充足的时间让他们独立思考，然后师生互动交流，分享结论.

生13：直线的斜率为1.

生14：直线l与y轴相交于点（0，1）.

生15：直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为1.

……

师：对于直线l的方程x+my-2m+1=0，当m变化时，直线有何共同的特征呢？

生齐声答：直线l过一定点.

师：说说你的理由.

生16：直线l的方程x+my-2m+1=0可以转化为x+1+m（y-2）=0，由此可知，直线l恒过点（-1，2）.

设计意图 通过应用，讓学生正确理解直线的一般式方程的含义，并借助相互转化让学生理解直线方程各种形式的价值，增强学生的数学应用意识. 另外，开放题的设计有效拓宽了学生的视野，发展了学生的思维，有助于提升学生的解决问题的能力.

环节5：课堂小结

师：通过本节课的学习，你有哪些收获？

生17：掌握了直线的一般式方程的含义.

生18：知晓了直线与二元一次方程的对应关系.

……

设计意图 预留时间让学生反思回顾，引导学生从整体和全局的角度更好地理解本章内容，帮助学生建立正确的、完善的认知体系，提高学生的数学应用能力.

教学思考

概念教学作为数学教学的重要组成部分，教师应注重学生对概念的深刻理解，这样有利于培养学生的数学素养和创新能力. 反思本节课的教学过程，笔者谈几点心得体会.

首先，数学概念教学要从具体实例出发，让学生更好地感知概念，能经历概念抽象的过程，以此培养学生的数学概括能力，帮助学生理解概念的内涵、掌握概念的本质. 在高中数学教学中，有的教师认为，高考考查的就是解题能力，只要学生会解题，考试能够取得好成绩就是学好数学了. 因此，在概念教学中，部分教师只重点关注结果，很少带领学生经历概念形成和发展的过程，常将自己理解的知识、自己的经验直接交给学生，然后用大量的练习，依靠“灌输”和“题海战术”让学生理解和掌握概念. 不过，这种以“灌输”和“题海战术”为主线的教学活动，难以让学生体验数学探究的乐趣，不利于提升学生的数学学习能力.

数学概念教学不应只重点关注结果，也要重点关注概念形成和发展的过程. 在概念教学中，教师不妨从具体实例出发，带领学生经历数学探究和数学抽象的过程，以此培养学生的数学探究能力，激发学生的数学学习兴趣. 例如，在本节课的回顾环节中，教师从两方面入手，一是复习旧知，二是列举实例. 在复习旧知阶段，让学生先回忆直线方程的四种形式，然后分析四种形式的局限性，从而引导学生主动探寻直线的一般式方程. 这样通过新旧知识的对比，既易于引发学生思考，又能为学生学习知识铺设台阶，有利于学生学习兴趣的培养和学习能力的提升.

其次，概念教学应关注问题情境的创设，注重激发学生的数学思维. 数学学习离不开问题，它是激发学生潜能的“动力源”. 在传统的概念教学中，大多是先学习理论再解决问题，体现了以“教”为中心的教学理念，影响了学生终身发展. 而“问题驱动教学法”体现的是“以生为本”的教学理念，其以相关问题为起点，让学生利用已有知识和经验探寻问题的解决方法，其关注学生独立思考和合作探究能力的培养，关注学生综合能力的提升. 教师作为数学课堂的启发者和组织者，要善于结合教学实际提出有价值的问题，以此提高学生学习的主动性，激发学生的探究欲.

例如，在本节课的自主探究环节中，教师提出了两个核心问题，让学生亲身体验了由数到形、由形到数的过程，这样不仅深化了学生对直线方程的理解，而且体现了“以生为本”的教学理念，发展了学生的数学思维能力.

最后，教师要放权给学生，为学生提供一个开放的、平等的学习环境. 在概念教学中，教师要鼓励学生提出问题，这样不仅有利于深化学生对概念的理解，而且有利于培养学生的创新意识. 例如，在本节课的应用环节中，教师提出了一个开放性问题，有效拓宽了学生的视野，丰富了课堂教学内容.

总之，在概念教学中，教师要改变传统的灌输式策略，要通过问题设计，引导学生去探究、去合作，让学生体验成功的乐趣，推动学生思维能力和探究能力的发展.