基于问题解决的“离散型随机变量”概念教学

2023-11-15徐道奎

数学教学通讯·高中版 2023年9期

徐道奎

［摘要］随机变量的概念是学习随机变量分布列、随机变量数字特征（方差、均值）的基础.要重视随机变量概念抽象的过程，分析学生学习随机变量存在的困难和问题.文章通过问题引领，着眼于问题解决，分析典型案例，把握随机变量抽象的一般方法.

［关键词］随机变量；概念抽象；问题解决

问题的提出

随机变量的概念是学习随机变量分布列、随机变量数字特征（方差、均值）的基础. 概率论是研究随机现象数量规律的科学，在随机试验中，人们往往“不关心试验结果的本身，而更加关注与试验结果相联系的某个数”. 因此，需要把随机试验的结果量化，进一步借助数学的工具和方法系统解决更为复杂的概率问题.

随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫（Chebyshev，1821—1894）在19世纪中叶建立和提倡使用的. 通过随机变量建立数学模型，研究随机试验，我们不仅可以函数的方法和视角研究随机事件，全面准确地研究随机试验和随机现象，而且量化后的试验结果能够更好地揭示统计规律，更好地描述随机现象，使得概率论从研究定性事件和概率，延伸为研究定量的随机变量及其分布，“使概率论真正成为一门数学学科”.

对于高中生而言，与概率相关的内容都是难点，学生学习离散型随机变量及其分布列出现的问题大都是由随机变量概念不清而引起的. 如果不注重概念的抽象过程，就会给后续学习带来更多的困难. 因此，教师要让学生明白为什么引入随机变量，怎样建立随机变量，要知道学生在分析抽象随机变量的过程中会遇到什么困难，有什么认识误区.

随机变量使概率问题数学化更进了一步，学生一开始的迷茫困惑是正常的，随机变量概念形成的过程是具体问题数学化的过程，对学生抽象思维能力要求较高，要以问题为导向，引导学生分析、解决问题，带着问题进行教学.

人教A版教科书中的随机变量概念的建立和抽象过程内涵丰富，相应的教学用书全面阐明了编写意图并给了很好的教学建议. 下文是笔者研习和教学的体会，不妥之处，敬请批评指正.

对随机变量及其抽象过程的认识

1. 随机变量与随机试验结果的关系是什么？

对于任何一个随机试验，根据研究问题的需要，我们总能够找到一个用以表示样本点的数，把每一个样本点都与一个实数对应起来，建立起取值依赖于样本点的变量，使样本点数量化、数字化. 由于样本点是在随机试验中产生的，其出现具有随机性，相应的，刻画样本点的数值称为随机变量. 如果该随机变量可以一一列举出来，即为离散型随机变量. 显然，随机变量的本质是一种对应关系，与函数相同，都是映射.

2. 怎样建立随机变量？

建立随机变量的关键是：找到样本点与随机变量的对应关系和对应规则.

在现实中，有些随机试验的结果本身就是数值形式，而我们研究的问题（关心的问题）与这些数值有一定的联系，有些结果不以数值的形式出现，甚至根本不具备数字特征，这时我们可以根据问题研究的需要，通过建立一定的对应规则，把试验的结果用数值表示出来.

这里需要特别强调的是，虽然有些随机试验的结果本身就是数值的形式，但随机变量并不一定都是随机试验结果本身数值的直接显现（之后通过具体案例进行分析），而只是与随机试验结果的数值有一定的对应关系.

随机变量涉及随机试验、样本空间、样本点，样本点与实数的对应关系，是在分析随机试验中逐步抽象出来的. 在高中阶段，我们主要研究的是离散型随机变量.

3. 为什么要通过样本空间、样本点研究随机变量？

人教A版新教材引入了样本空间，把随机事件看成样本空间的子集，用集合的语言或工具研究概率问题. 样本空间和样本点使得事件明确具体，描述概率问题简练准确. 同时，类比集合的关系和运算，能够更好地揭示随机变量的本质，理解事件的关系与运算.

样本空间和样本点有利于分析和研究随机现象和随机事件. 第一，通过样本空间和样本点研究随机现象及其数量规律是概率论的基本方法，研究随机变量也不例外. 第二，通过样本空间研究每一个样本点的数量指标能够凸显样本空间中随机变量的整体特征，便于全面把握所研究的问题. 第三，研究随机变量是研究整个样本空间中我们所“关心”的、“感兴趣”的随机事件的数值. 一般而言，同一样本空间，不同的角度和不同的问题研究方向，样本点所对应的随机变量不一定相同.

分析样本空间时，要分析样本空间中样本点的组成，但不一定要把每一个样本点一一举列出来. 例如，一个学生练习投篮，每一次投篮都有“投中”“投不中”两种可能，求10次投篮中投中的次数X的值. 显然，样本点是10次投篮“投中”或“投不中”的情形，共有210种可能，即样本空间有210（即1024）个样本点，如（中，中，中，不中，不中，中，中，中，不中，中）（注：括号内的“中”与“不中”分别代表10次投篮中每一次投篮的结果是“中”还是“不中”，是有序的）就是其中的一个样本点.显然，投篮10次，一次都没有投中的只有一种情形，即样本点个数是C=1（该样本点对应的随机变量X=0）；投篮10次，只有1次投中的样本点个数是C=10（这10个样本点对应的随机变量X=1）；投篮10次，有2次投中的样本点个数是C=45（这45个样本点对应的随机变量X=2）……

当然，在实际问题中，要把样本空间中的样本点一一列举出来有时是很麻烦的，也不需要，但随机变量的取值反而容易被观察或测量［1］. 另外，当我们明确随机变量的意义及可能取值后，就不再关注对应随机试验的样本空间了［2］，这也从另一个层面说明了两个问题，一是随机变量之于随机试验的重要性，二是研究随机变量要灵活地分析和运用样本空间.

4. 学生学习随机变量所存在的问题

学生学习随机变量存在四个方面的问题，一是对从随机试验中抽象出来的随机变量的不理解或对随机变量概念的理解出现了错误. 例如，认为随机变量就是随机试验结果本身的数值；认为不同的样本点所对应的随机变量不同；认为一個样本空间中的同一个样本点所对应的随机变量是固定不变的. 二是不习惯在样本空间中思考问题，“直奔主题”分析随机变量，往往容易疏漏，考虑不周.三是把样本点向“数值”（随机变量）转化存在障碍，不理解随机变量的取值与随机试验的结果之间的“对应关系”“对应法则”和“某种一致性”. 四是对样本空间中，从随机试验结果（样本点）构成的集合到实数集的映射的理解出现了错误，如将其理解为函数或一一映射等.

基于问题导向的随机变量概念教学

1. 案例分析，经历随机变量的抽象过程

在具体的情境中，通过案例分析随机变量的抽象过程，理解“事件”“变量”以及“事件”与“变量”的关系，掌握样本空间中由样本点分析随机变量的方法.

分析案例时，以问题链进行引导，主要回答“五个什么”.

（1）情境向我们描述了什么试验？（做什么？）

（2）试验结果（样本点）是什么？（是什么？）

（3）我们研究的问题（随机事件）是什么？（研究什么或关注什么？）

（4）研究的随机事件所对应的随机变量是什么？（量化什么？）

（5）从样本点得到随机变量的法则是什么？（怎样量化？）

案例1 某射击运动员进行射击训练，靶上显示不同区域的环数依次为2，4，6，8，10，若没有击中目标或目标上规定的区域，则规定为0环. 求该运动员射击一次命中的环数X可能的取值.

设计意图样本空间中的每一个样本点具有数字特征，随机变量即该数值.

分析样本空间为Ω=｛0，2，4，6， 8，10｝，随机变量的可能取值为0，2， 4，6，8，10，随机变量组成的集合为｛0， 2，4，6，8，10｝.

案例2 随机投掷一颗骰子两次，求以下情形中随机变量可能的取值.

（1）点数之和X；（2）点数之积Y；（3）点数较大的骰子的数值Z：（4）点数之差的绝对值W.

设计意图随机试验的结果具备数字特征，而研究的事件对应的随机变量与试验结果的数值有联系，但不是数值结果的直接显示. 同一样本空间，可以研究不同的随机事件.

分析设第一次投掷的结果为a，第二次投掷的结果为b，则该随机试验的样本空间为Ω=｛（a，b）

a，b=1，2，…，6｝，共36个样本点. 上述四个事件中，我们感兴趣的（关心的、研究的）事件分别是：点数之和、点数之积、点数a，b中的较大值以及点数之差的绝对值. 要针对每一个感兴趣的（关心的、研究的）事件，对每一个样本点进行逐一分析，同一个样本点，在不同的事件中，其对应的随机变量不一定相同.

第（1）问，随机变量X与试验结果的数值的关系是X=a+b，X的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11个值；第（2）问，随机变量Y与试验结果的数值的关系是X=a·b，Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15， 16，18，20，24，25，30，36，共18个值；第（3）问，随机变量Z是每一个试验结果（a，b）中的a，b两数的较大值，Z的可能取值为1，2，3，4，5，6，共6个值；第（4）问，随机变量W与试验结果的数值的关系是W=a-b，W的可能取值为0，1，2， 3，4，5，共6个值.

从上述分析可以看出，在随机试验的样本空间中，无论你感兴趣的事件是什么，对于样本空间Ω中的每一个样本点ω，都有唯一实数X（或Y或Z或W）与之对应，这个实数X（或Y或Z或W）即随机变量.

案例3 （1）随机抛掷一枚硬币一次，用随机变量表示哪一面朝上.

（2）随机抛掷一枚硬币三次，记正面朝上的次数为X，求X可能的取值.

设计意图（1）试验的结果不含数值，研究随机变量时赋予数值.

（2）试验的结果不含数值，随机变量自然而然地显现数值.

分析（1）样本空间Ω=｛正，反｝，含2个样本点. 样本点本身不含数值，但可以用实数把样本点表示出来. 如正面朝上用实数0表示，反面朝上用实数1表示，则随机变量对应的集合为｛0，1｝.

（2）样本空间Ω=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）｝，含8个样本点，样本点本身不含数值，而研究的事件（正面朝上的次数）含数值，样本空间中每一个样本点对应的随机变量的取值为3，2，2，2，1，1，1，0，随机变量组成的集合为｛0，1，2，3｝.

案例4 仓库里放有五件产品，其中含有两件次品（用1，2表示），三件正品（用3，4，5表示），现从中任抽两件（不放回抽样），求抽到的两件产品中次品的件数X.

设计意图试验的结果本身含有数值，但我们并不关心抽到的是哪一件产品（哪一个数值），感兴趣（关心的、研究的）的只是试验的结果（抽到的两件产品中次品的件数），这个“次品的件数”不是试验结果本身“数值”的“直接”反映.

分析随机试验的样本空间为Ω=｛（i，j）

1≤i<j≤5，i，j∈N*｝，随机变量X的可能取值为0，1，2，随机变量X组成的集合为｛0，1，2｝.

2. 问题引导，把握随机变量的抽象方法

对上述案例随机变量的抽象过程进行总结，同样以问题链引导学生思考.

第一，我们是怎样抽象随机变量的？

（1）关键是分析随机变量的什么？（分析样本空间、样本点）

（2）样本空间的構成“元素”代表什么？（随机试验的每一个结果）

（3）同一随机试验，同一样本空间，随机变量的取值取决于什么？（研究问题的角度即我们研究的、关心的、感兴趣的随机事件）

（4）同一个样点在不同的事件中，对应的随机变量相同吗？（不一定）

（5）随机变量是否为试验结果本身的数值？（不一定）

（6）一个样本点，可以有两个或两个以上的随机变量吗？假如一次随机试验是投掷两次骰子，随机变量是两个吗？（根据具体的研究事件确定，“一维”随机变量一般是一个数值，一个样本点只对应一个随机变量，本节课中的离散型随机变量只涉及“一维”，但新课标高中选修课程A类涉及“二维”随机变量及其联合分布）

（7）样本点不同，随机变量不同吗？（不一定，可以相同）

（8）样本点与随机变量的关系是函数关系吗？（是映射关系，不一定是函数关系）

（9）怎样由样本点求随机变量？（寻找对应关系、对应法则）

（10）随机变量建立的过程是什么？（随机试验→样本点、样本空间→我们感兴趣的〈关心的、研究的〉随机事件中每一个样本点对应的实数→随机事件与实数对应的关系→随机变量的取值集合）

第二，基于上述分析，你得到的启示是什么？

教师设置问题，加强知识巩固.

（1）随机变量的取值依赖于什么？（样本点）

（2）在具体研究的随机事件中，每一个样本点所对应的随机变量是否具有随机性？（研究的事件一定，随机变量的取值就是明确的、确定的）

（3）随机变量的取值集合与样本空间是什么关系？（随机变量是样本空间中样本点与实数集中实数的对应，一个样本点对应唯一的实数，不同样本点对应的实数可能不同，也可能相同）

3. 运用类比，凸显随机变量的函数思想

教学中要渗透样本点与随机变量之间的对应关系，渗透函数思想.

第一，类比函数理解样本点与随机变量之间的关系. （1）任意一个样本点，都有唯一一个反映随机事件的实数与之对应，这个对应关系与函数概念类似，“随机试验的结果构成的集合相当于定义域，随机变量的取值构成的集合相当于值域”“通过对应法则实现两者之间的联系”［2］. 因为样本空间Ω中的元素（样本点）不一定是数，所以Ω不一定是数集，因此这个对应關系不一定是函数，而是一个映射. （2）由样本点求随机变量或由随机变量求样本点与函数中由自变量求函数值或由函数值求自变量类似. 理解样本点与随机变量之间的关系时，要进行随机变量与样本点之间正反两个方向的对应转换训练，尤其由随机变量求样本点（事件）能够使学生深刻领悟随机变量的含义，体悟样本点与随机变量之间的对应关系.

如案例4中，（1）由样本点求随机变量：如样本点（1，5），（1，2），（2，3），（3，5）对应的随机变量X的取值分别为1，2，1，0. （2）由随机变量求样本点：事件“没有抽到次品”（X=0）是样本空间的一个子集A，由随机变量X的含义可知，A=｛ω

X（ω）=0｝=｛（3，4），（3，5），（4，5）｝；事件“0<X≤2”表示“抽到了次品”，其样本点为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），共7个.

第二，建立随机变量的概念后，又可以用随机变量（如X）的表达式（如aX+b）来表示其他的随机事件［2］，进一步地，可用类比函数的方法来表示离散型随机变量的分布列，可以计算随机变量的数字特征（如均值、方差），也可以按照随机变量的类型，建立各种概率分布模型.

4. 模型运用，典型分布的随机变量分析

从单元和整体视角考虑，两点分布、二项分布、超几何分布、几何分布（随机变量无限个，可以用作随机变量分析）是本章（随机变量及其分布）中比较重要的概率分布模型，为了强化随机变量概念的抽象和建立，学习可以提前介入. 事实上，随机变量分析好了，分布列自然能够得出，理解随机变量是分析分布列的基础.

二项分布、超几何分布等非常重要，其随机变量的分析可以放在随机变量概念抽象时进行，让学生经历随机试验的特征和随机变量的取值的抽象概括过程.

案例5 （1）掷一枚质地均匀的硬币10次，求正面朝上的次数X的取值集合.

（2）某妇产医院一天出生了8个婴儿，女婴的个数X的取值有哪些？

（3）某校有1000名学生购买“人身意外伤害保险”（保险期限一年），请分析保险期限内获得赔偿的人数X的可能取值.

问题：（1）上述试验的特征是什么？（n重伯努利试验：同一个伯努利试验重复做n次，各次试验的结果相互独立）

（2）每一次试验有几个可能的结果？（2个）

（3）上述试验分别研究什么事件？（正面朝上的次数X的可能取值、女婴的个数X的可能取值和获得赔偿的人数X的可能取值）

（4）上述试验的随机变量的取值情况怎样？（共（n+1）个结果，可能取值为0，1，2，…，n）

n重伯努利试验（每一次事件A发生的概率是p）的样本空间有2n个样本点，但我们关注的是事件A发生的次数X，X的可能取值为0，1，2，…，n，共（n+1）个. 学生分析时存在两个方面的障碍：一是对随机试验和概率的含义的理解有误，认为在n重伯努利试验中，事件A发生的概率是固定的，为np；二是过于依赖样本点，囿于样本空间中的样本点较多，学生抓不住随机试验所反映的随机变量的本质，不理解随机变量X的含义，逐一分析样本点，望而却步. 提前引出n重伯努利试验，有利于培养学生在复杂情境中分析随机变量的能力.

研究超几何分布和几何分布对应的随机变量时，教材安排了一个探究活动，目的是通过对比问题情境，分析随机变量. 笔者稍微改变一下表述方式，突出随机变量的抽象过程.

试验1 从100个电子元件（含3个以上次品）中随机抽取3个进行检验，求抽取的元件中的次品数X的取值.

问题：（1）什么试验？（2）抽样时有无放回？（3）随机变量X代表什么？（4）X的取值有哪些？

N件产品中含有M件次品，从中不放回地随机抽取n件产品（n≤M，n≤N-M），X表示抽取的次品数，其可能取值为0，1，2，…，n. （引导学生将其与n重伯努利试验中的随机变量进行比较）

试验2 抛掷一枚硬币，直到出现正面朝上，求抛掷次数Y的可能取值.

问题：（1）想象试验的情境，你能够知道抛掷的次数吗？最少需要几次？（2）随机变量Y的可能取值有哪些？

在几何分布中，随机变量Y的取值是无限的，为1，2，…，n，….

问题引导比较：上述两个试验中，样本点、样本空间分别是什么？样本点与随机变量是如何对应的？

在现实生活中，随机试验的结果量化成离散型随机变量的例子有很多，要尽可能地让学生去接触，促使其充分理解样本点与随机变量之间的关系.

<D：＼DW＼数学教学通讯（下旬）＼2023年＼2023年中等教育下旬8期＼aa-2.tif> 结束语

随机变量建立后，样本空间中的每一个样本点对应唯一一个随机变量，我们可以运用随机变量研究随机事件，使问题变得简单明了，实现概率问题数学化，之后学习分布列及随机变量的数字特征就会变得轻松高效.

参考文献：