运用“学习进阶”理念培养“逻辑推理”素养举隅

陶中亚 毛永志

［摘  要］ “学习进阶”理念与“数学学科核心素养水平划分（附录1）”的分层分级特征及教学要求高度契合. 基于此，立足学习主体（学生）、学习内容（基础知识）、学习方法等，将学习目标进行分解、分级，实现学情与目标的对应，运用“学习进阶”思维在由低到高、由简单到复杂地不断“进阶”的教学中培养学生的数学素养，提供一个对应不同层次学生、不同教学内容要求的路径明确的素养培养过程，实现数学素养培养内化和外塑的双向互动，提升数学素养培养的针对性和有效性，培养学生的数学素养.

［关键词］ 学习进阶；水平划分；逻辑推理；函数周期性

“学习进阶”理念认为，学生在学习某学科核心概念的过程中存在一种潜在的发展序列，学习是一个沿着该序列逐渐积累、不断演进的系统过程. 该理念包含五项特征要素：学习目标、进阶变量（通常是学科中核心概念或关键技能）、成就水平、学习表现及评价［1］. 这与《普通高中数学课程标准（2017年版）》中的“数学学科核心素养水平划分（附录1）”的分层分级特征及教学要求高度契合［2］，将该理念具体化并应用于高中数学教学，实现教学内容、过程、目标及评价的深度融合，对达成学生数学学科核心素养培养的目标具有重要指导意义.

高中数学中的概念、命题、定理、公式及运算规则等“必备知识”提供了“进阶变量”；“数学学科核心素养水平划分（附录1）”提供了“学习目标”及“成就水平”分层分级的教学要求. 高中数学教学可以运用“学习进阶”的思维方法，将“进阶变量”依据其自身特点及“素养水平划分”的分级要求进行有梯度的分解并逐级对应，在螺旋递进的教学过程中运用数学“必备知识”培养学生的数学学科核心素养，并在内化和外塑的双向互动中考查学生的“学习表现”，达到数学学科核心素养教学的评价要求. 下文以在“函数周期性”的理解与运用中培养逻辑推理素养为例，详细地展示一下该教学思路.

建阶：分解与协调

“学习进阶”教学的第一步就是为學生学习提供梯度适宜的“台阶”，即将“递阶变量”中的“必备知识”和教学总体目标分解成由低到高的不同层级，各层级由具体的学习主体（学生层次）、学习材料（必备知识）、学习方法、教学目标形成一个相对完整且各阶层关系密切、递进互动的子系统，完成低阶系统目标任务能够为更好地执行下一个更高阶目标任务做准备；知识与目标分解后是“协调”，即对应好学习主体（学生层次）、学习材料（知识内容）、学习方法与每一步学习目标之间的关系，同时对应好不同层级之间的衔接关系，选择明确的过渡方式. 如此，完成低阶学习任务及目标是数学学科核心素养内化的过程，运用低阶学习中内化的数学学科核心素养解决高阶问题，是数学学科核心素养外塑运用的过程，也是数学学科核心素养提升巩固的过程，这可使师生在学习活动开始前将学习目标、内容、方法及路径了然于胸，提高数学素养培养的针对性和有效性.

同时，能够分解、明晰复杂问题部分与整体的关系，将问题简单化，以明确的思维、方法、路径逐步解决问题，完成实际任务，实现学习目标，本身就是数学学科核心素养的体现. 因此，“学习进阶”思维运用是数学学习本应具备的意识和能力.

高中数学中的“函数的性质”是常考考点，而周期性是函数的最重要性质之一，其中蕴含的逻辑推理素养培养因素，可以很好地体现上述教学路径.

苏教版数学教材选修1-2第59页，有一个习题如下：

先解答（1），再通过结构类比解答（2）.

引导学生一起回忆一下函数周期性的概念：对于定义域为D的函数f（x），任意x∈D，存在T（T≠0），都有f（x+T）=f（x）成立，则T为f（x）的一个周期.

严格地证明如下：因为

本例题是函数周期性基本概念的运用. 第（1）问的解决及根据第（1）问猜想出第（2）问的答案，符合“数学运算水平一”的相关要求，即学生能够运用他们了解的运算法则及其适用范围，在熟悉的数学公式情境中，形成合适的运算思路，进而解决问题；学生在熟悉的数学情境中类比推理得到一个正确的结论，有条理地表达出我们所需要的内容. 同时第（2）问的严格证明，可使学生达到“数学运算水平二”的相关要求. 类比推理只是一种猜想，并不能确定猜想是否正确，这需要严格的运算证明，说明它具有一般性. 通过本例题第（2）问的证明，可使学生理解运算是一种演绎推理，在综合运用运算解决问题的过程中，形成规范化思考问题的品质.

由此，具体的数学知识和素养培养的水平要求就分层次地明确对应了起来，而且本例题属于基本概念及基本运算的运用，是基础性的学习准备，适合所有高中生. 这个阶段中可以运用基本的教学方法，训练所有学习层次的学生，完成最基础的阶段训练，使学生掌握基本概念和形成基本素养.

进阶：变式与迁移

当然，上述例题在实际教学过程中还有更高的价值，教师可以在变式与情境迁移中继续研究函数的周期性，从而让学生进入高阶学习，培养其更高水平的数学学科核心素养.

具体看下一小题：

（3）设x∈R，α为非零常数，且f（x+

这是上述两小题基础上的变式题. 应当说解决第（3）问相对而言比较容易——学生根据第（2）问的解决方法类似推理很容易想到第（3）问具体的解决方法，这就是其在第一阶段学习中获得的素养的具体运用. 如果说第（3）问学生能熟练解决并且在展示、交流环节中能完整精通表达的话，那么说明学生掌握了具体方法并且具备相应的理解能力和思维品质，达到了“数学运算和逻辑推理的水平二”的相关要求，即学生的数学学科核心素养又进了一阶. 为检验和巩固这一学习成果，可以有意识地进行下一阶段的训练.

具体看下面的例题：

（4）函数f（x）对任意x∈R，有f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x），试问f（x）是周期函数吗？若是，周期是多少？

（5）函数f（x）对任意x∈R，有f（a+x）=f（a-x）且f（x）+f（2b-x）=0，试问f（x）是周期函数吗？若是，周期是多少？

（6）函数f（x）对任意x∈R，有f（x）+f（2a-x）=0且f（x）+f（2b-x）=0，试问f（x）是周期函数吗？若是，周期是多少？

第（4）（5）（6）问是在第（3）问的基础上考虑到的多种变式题. 这种举一反三的思维就是学生数学推理素养培养的基础，而寻求恰当方法，运用已学知识和已有素养解决这些问题的过程则是学生素养水平进一步提升的过程. 学生明晰这一过程，就是学生数学学科核心素养的培养见到成效的体现.

函数周期性与函数对称性有关系，我们可以证明第（4）问如下：由f（a+x）=f（a-x）知f（x）关于直线x=a对称，所以f（x）=f（2a-x）. 由f（b+x）=f（b-x）知f（x）关于直线x=b对称，所以f（x）=f（2b-x）. 因此f（2a-x）=f（2b-x）=f（2a-x+（2b-2a）），所以f（x）=f（x+2b-2a），則f（x）具有周期性，周期为2a-b.

同理可证第（5）问和第（6）问中的f（x）为周期函数，其周期分别为4a-b，2a-b.

如果说第（1）（2）问是基础准备，是对所有学生的基本要求，那么第（3）问就是基础拓展，目的是尽力推动所有学生跨越“逻辑推理水平二”的相关要求；第（4）（5）（6）问相对而言难度较高，如果能够顺利解决并且在展示、交流中表现出充分理解和熟练运用，那么说明学生达到了“逻辑推理水平三”的相关要求，即能够把握研究对象的数学特征，感悟通性通法，领会其中蕴含的数学思想，能够运用数学语言抓住数学本质，形成解决问题的思路. 同时也说明，在整个过程中，“数学运算”三个水平的相关要求，甚至“数学抽象”的相关要求也都基本运用和训练到了，“四基”和“四能”得到了有效落实，体现了“教学建议”对数学核心素养培养的“综合性和整体性”的要求.

高阶：运用与拓展

《普通高中数学课程标准（2017年版）》“实施建议”中的“考试命题路径”提出，评价框架包括三个维度：第一个维度是情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思，反映数学学科核心素养的四个方面；第二个维度是函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动，是四条内容主线；第二个维度是数学学科核心素养的三个水平［2］. 这是学生解答数学习题，解决实际问题的原则性、指导性的思路依据. 换句话说，具有明确的数学学科核心素养的人，在分析、解答数学习题时，应该从这三个维度入手，按程序思考来完成习题的解析和解答.

具体看下面这道例题：

（7）（2020年苏北三市联考一模数学卷第13题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，当x∈（0，1）时，f（x）=-eax（e为自然对数的底数）. 若f（2020-ln2）=8，则实数a的值为______.

本例题在内容维度上涉及函数相关知识，在调动和运用所学知识分析该题时首先要做好奇函数及其图象的相关知识的准备；在素养维度上涉及数学运算、逻辑推理、数学抽象等，在分析该题时要明确相应要求，探寻解决思路，选择解决方法；在素养水平维度上主要涉及“数学运算、逻辑推理等素养的水平三”. 当然，在具体分析该题时也要立足内容中的基础知识，关注到“数学运算、逻辑推理等素养的水平一和水平二”的要求，以便更好地明确解题路径.

因为f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，根据第（5）问的结论知道此函数具有周期性，周期为4. 所以f（2020-ln2）=f（-ln2）= -f（ln2）=ealn2=（eln2）a=2a=8，即a=3.

此题的解决得益于之前对函数周期性的学习准备、准确理解、深入研究以及逻辑推理素养的运用，如果学生在之前的学习准备和习题分析中熟悉了相关内容和学习方法并达到了相关素养水平的要求，那么其解题思路就会通畅很多，问题解决起来也会少走很多弯路. 而且完成此题的解决，也是对自身素养的进一步运用和提升，体现了素养内化和外塑的双向培养，体现了素养培养的递阶性、综合性和整体性.

此题涉及命题三个维度、素养三个水平的应用，体现了高阶思维和能力的运用，能够检验出不同层次学生不同的数学素养，具有很好的区分度，对教学实践也有很好的指导意义，充分体现了数学学科核心素养培养的要旨.

为了进一步巩固素养，检验学生的逻辑推理和数学运算能力，下面再补充一道例题：

在素养、内容、水平三维度分析的基础上，可知此题本身并不难. 根据第（2）问的结论即可知道此函数的周期为8，所以数列｛an｝中不同的项最多有8项.

此题实际上只涉及“数学运算和逻辑推理的水平二”的相关要求，但在内容维度上则由函数性质拓展到了数列的相关内容，对启发学生思维和具体运用逻辑推理能力具有指导意义. 另外，从高阶学习回到中阶学习，可以恢复一般学生的学习信心和学习兴趣，体现教学的更大参与度和实现更有效的教学目标，使教学效益最大化.

要强调的是，在“进阶”学习过程中，教师要有意识地引导学生反思整个学习过程，让更多学生了解学习意图和学习步骤，帮助学生体会“进阶学习”的特征，使学生明确自身学习所处的阶层，了解自身所掌握、运用的知识与素养的对应情况，以便明确下一阶层的学习目标，做好高阶提升的准备. 同时，教师应在“进阶学习”中引导学生树立遇到难题时自动溯源的意识，主动回忆解答难题时必须运用的基本概念、命题、定理、公式等，提升删繁为简、化难为易的有效分析习题的能力，自觉而全面地提升数学学科核心素养.

参考文献：

［1］ 张颖之.理科课程设计新理念：“学习进阶”的本质、要素与理论溯源［J］. 课程·教材·教法，2016，36（06）：115-120.

［2］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.