一题一课 凸显本质

陈志婷　庞凰琴

［摘  要］ 數学复习课普遍存在重点、难点题目堆砌，教师讲得多学生练得多的问题，长此以往，容易造成师生身心疲惫，学习效率不佳等现象. 采用“一题一课”复习方法，渗透一题多变、一题多解、多解归一的数学思想，能更好地凸显问题的本质. 文章主要从“优选引题，揭示问题本源”“注重通法，提升思维深度”“拓展变式，发展数学素养”三方面详细阐述“一题一课”复习方法.

［关键词］ 一题一课；策略引导；数学本质

在深化教育改革的今天，数学知识、思想、方法、观念都是在解决问题的过程中发展起来的. 教师应该及时发现学生的学习困惑，尤其是重、难点问题，复习时要有针对性、系统性和启发性［1］. 而善于寻找典例，巧用变式与拓展，能达到对学生思维的训练，能使他们成为思维活跃、勤于观察、善于思考、敢说敢做、勇于创新的人.

教学时教师应在紧扣教材的同时，合理设计一题一课式变式训练，通过训练，让学生更加深刻地理解所学知识，从而促进和增强学生思维的深刻性与延展性，充分培养学生思维的应变能力、想象力及创造力. 只有这样，学生才会更自信，更愿意去交流探索，从而真正地成为学习的主人.

教学微设计

1. 引题呈现

引题 在等边三角形ABC的两边AB，AC所在直线上分别有M，N两点，P为△ABC外一点，且∠MPN=60°，∠BPC=120°，BP=CP. 探究：当M，N两点分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间有怎样的数量关系.

（1）如图1所示，当M，N两点分别在边AB，AC上，且PM=PN时，试说明MN=BM+CN.

（2）如图2所示，当M，N两点分别在边AB，AC上，且PM≠PN时，MN=BM+CN还成立吗？

（3）如图3所示，当M，N两点分别在边AB的延长线和CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系.

2. 背景分析

本题是七年级下册数学2020学年期末考试的一道压轴题，学生望而却步. 从答题反馈来看，不尽如人意，学生添加的辅助线五花八门，让人眼花缭乱. 由于认知水平不同，理解不同，思路不同，所以学生解决此题时给出了多种解法. 对于此题，很多学生有大致的求解思路，但很模糊，找不到最佳解法，导致解题书写逻辑混乱，费时费力. 为了有效提高学生思维的深度和广度，渗透思想方法，培养学生领悟通性通法，笔者针对这道题进行了“一题一课”微专题设计，并进行变式和拓展，引导学生在解决此题的基础上，学习数学知识，领悟数学思想方法，发现数学问题的本质，提高数学解题能力.

3. 解法探究

下面以第（1）问为例. 从学生的答题情况来看，第（1）问的求解方法琳琅满目，但归纳起来，本质是“截长补短”，具体求解过程如下.

解法1：要说明MN=BM+CN，通常采用的方法是“截长补短”. 因为PM=PN，根据等腰三角形的性质，不难想到如图4所示的辅助线，即取MN的中点G，连接PG（当然也可以过点P作PG⊥MN，垂足为G，或作∠MPN的平分线交MN于点G），先证明△BPM≌△CPN，再证明△BPM≌△GPM，△CPN≌△GPN，得到BM=MG，CN=NG，进而得到MN=BM+CN.

解法2：有学生想到了“补短”的方法，即在NC（或MB）的延长线上截取一条与BM（或CN）等长的线段. 根据这一想法，可作出如图5所示的辅助线，即延长NC至点Q，使CQ=BM，连接PQ. 易证得△MBP≌△QCP（SAS），从而得到∠MPB=∠QPC，PM=PQ. 因为∠MPN=60°，∠BPC=120°，所以∠MPB+∠NPC=60°. 从而得∠NPC+∠QPC=60°，即∠NPQ=60°. 所以∠NPQ=∠NPM. 再证明△MPN≌△QPN（SAS）即可.

对于解法2，有学生想到了可以少证一次全等的优化方法，即把△MPB绕点P顺时针旋转120°后得到△QPC，这样可以直接得到∠MPB=∠QPC，PM=PQ. 笔者大力表扬了该同学，称赞他有独特的见解，获得了简捷的求解方法. 随着课堂的深入，学生的思维活跃了，他们交流讨论着还有没有其他的求解方法. （这表明学生正初步由“学会”向“要学”转变）

解法3：此时有一名学生说出了采用“截短”方法的另一种作法. 即过点D（点D为PM与BC的交点）作DE∥AB交MN于点E，过点F（点F为PN与BC的交点）作FE′∥AC交MN于点E′（如图6所示）. 该学生说利用这种方法只需要说明点E与点E′重合，即只需要证明∠MED+∠DEF+∠FEN=180°.

笔者表扬了提出解法3的学生，赞扬他逻辑性强. 不过也指出，这种解法的步骤会比较冗长.

有了第（1）问的求解经验，第（2）（3）问的图形虽然比较复杂，但本质相同，所以“截长补短”这一通法依然适用. 求解第（2）（3）问的辅助线详见图7（补短）和图8（截长）.

试题主要考查学生对“截长补短”法的应用，通过作辅助线利用转化思想分析问题和解决问题. 在教学过程中，笔者引导学生抓住问题的本质，对不同的解题策略及多种解法的优劣等进行积极反思，使学生理解知识点的内涵和掌握解决问题的技巧，并让学生从反思中吸取经验教训，达到举一反三、促进思维能力不断提升的效果［2］.

4. 迁移应用

问题1 如图9所示，M，N两点分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD上，且∠MAN = 45°，连接MN. 求证：MN=BM+DN.

分析 前面在等边三角形的基础上利用“截长补短”法很好地解决了三边数量关系问题，本题是在正方形的基础上探索三边数量关系，本质没有变，只需要把前面的知识迁移过来即可.

解法1 如图10所示，把△ABM沿AM翻折后得到△AEM，易知BM=ME，再通过证明△EAN≌△DAN，得DN=EN，进而有MN=BM+DN.

解法2 如图10所示，将△ABM绕着点A逆时针旋转90°后得到△ADE，证明△MAN≌△EAN，进而得到结论.

变式  在“问题1”的基础上，点A到线段MN的距离是否为定值？

分析 此变式是对“问题1”的直接应用，只要明白（图10中）AE⊥MN，AB=AE，此变式就迎刃而解了.

问题2 如图11所示，M，N两点分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD上，且∠MAN = 45°，连接MN，BD，BD分别与AM，AN 交于点E和点F，则EF 2=BE 2+DF 2成立吗？

分析 看到结论，联想到勾股定理，于是我们把三条边通过变换放到一个直角三角形中. 如图12所示，把△AEB逆时针旋转90°后得到△AED，连接E1F，易知△AEF≌△AEF，从而可在Rt△DEF中得到结论EF 2=BE 2+DF 2成立.

变式 在“问题2”的基础上，连接AC交BD于点O，如图13所示，求证：∠AMB =∠AMN =∠AFB.

分析 由解决“问题1”可得∠AMB=∠AMN，又∠AMB+∠BAM=90°，∠AFB+∠FAO=90°，∠BAC=∠MAN=45°，所以∠BAM =∠FAO，∠AMB=∠AFB. 问题得证.

5. 拓展挑战

拓展 如图14所示，△ABC为等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AC=BC=2，D为AB边的中点. 将等腰直角三角板的直角顶点放置于点D处，两条直角边分别与△ABC的AC，BC边相交于点E和点F（点E不与C，A两点重合，点F不与C，B两点重合），求CE+CF的值.

分析 求CE+CF的值，跟引题求证MN=BM+CN和迁移运用求证MN=BM+DN类似，但又不同，前者求值，后者求证一个等式. 我们猜想，能否把CE，CF转化到同一条线段上呢？观察图形，可直观猜想将它们转化到线段BC上，又BC=BF+CF，于是只要说明CE=BF即可.

要证CE=BF，考虑到证明线段相等的方法，如全等、等角对等边，结合已知条件等腰直角三角形和斜边上的中点，不难作出如图15所示的辅助线，即连接CD，此时通过证明△DEC≌△DFB就可以了. 其实也可以看作将△DBF绕点D逆时针旋转90°后得到△DCE，从而得到结论.

变式 如图16所示，△ABC为等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AC=BC=2，D为AB边的中点. 将等腰直角三角板（△DMN）的一个45°角的顶点放置于点D处，其斜边及一条直角边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E和点F（点E不与C，A两点重合，点F不与C，B两点重合），连接EF，以点D为旋转中心旋转等腰直角三角板DMN，则△CEF的周长是否发生变化？并说明理由.

分析 求△CEF的周长，即求CE+EF+CF的值. 有了前面的解题经验，我们不难发现第一条辅助线，即连接CD（如图17所示）. 再者，求几条线段的和，可以把这几条线段转化到同一条线段上，于是把△CDE绕点D顺时针旋转90°后得到△BDG，从而把CE转换成BG，这里其实只用过点D作DG⊥DE，交BC于点G，即得第二条辅助线，所以我们只需要证明△DEC≌△DGB（同上），△DEF≌△DGF即可. 所以CE+EF+CF=BG+FG+CF=2. 所以△CEF的周长不会发生变化.

教学思考

1. 优选引题，揭示问题本源

对于压轴题，学生望而却步，不假思索，“逃之夭夭”了. “截长补短”看似简单，但是遇到具体问题，不乏学生不识庐山真面目，甚至八、九年级的部分学生都不能很好地把握. 因此，教师要优选“引题”，有梯度地让绝大部分学生或多或少都能参与，并在解决“引题”的过程中，让学生自主观察、合作探索，提出各自添加輔助线的设想，并进一步探讨解决问题的方式方法，真正揭示问题本源，发现问题解决规律［3］.

2. 注重通法，提升思维深度

本节课的教学聚焦三角形、四边形中几条线段间数量关系的研究，探索这类问题的本质规律和通性通法. 笔者从学生忌惮的问题（引题）出发，精讲细讲相对容易的第（1）问，让绝大部分学生“入戏”，从而发散学生的思维，让他们大胆猜想、发现解决问题的方法，让他们经历“探索方法—优化方法—反思方法”的过程，且他们反思后对方法的优劣进行选取，形成解决这类问题的通法，为后续解决第（2）问、第（3）问积累经验. 同时，也为后面的“迁移应用”和“拓展挑战”指引方向. 注重通法训练，构建知识体系，积累解题经验，提升思维深度，能让学习较困难的学生有所收获，能让大部分学生长本事，让优秀学生多赋能.

3. 拓展变式，发展数学素养

探究“引题”的价值不仅仅是让学生学习知识方法，更重要的是让学生学会灵活变通，触类旁通，有以不变应万变的能力. “拓展挑战”中的变式是求三角形的周长，其实还是探索三条线段的数量关系，虽然不是直接应用“截长补短”法，而是把几条线段转化到同一条线段上，但本质还是通过证明三角形全等实现转换. 学生根据“观察—探索—梳理”的解题经验，能从变化的图形中得到不变的结论. 所以，“拓展挑战”中的变式是让学生将所获得的知识、方法、经验进行融会贯通、举一反三，这能发展学生的数学素养.

参考文献：

［1］顾捷. 初中数学复习课教学的有效策略［J］. 开封教育学院学报，2014，34（12）：239-240.

［2］吴凤. 初中数学复习课“一题一课”教学思路探微［J］. 基教与成才研究，2017（29）：62.

［3］陆新锋. 聚焦主题精选学材，由浅及深渐次展开——以“线段之间数量关系”专题复习课为例［J］. 中学数学，2019（06）：34-35.

作者简介：陈志婷（1988—），硕士研究生，一级教师，从事初中数学教学工作.