通过“一题多解”教学助推初中生数学思维能力进阶

郭俊楠 韦柳伶

摘  要  “一题多解”教学能拓宽学生问题解决思路，能促成思维的发散和创新，同时能帮助学生把所学知识融会贯通，整合并完善知识框架。“一题多解”教学应该具有适切性、贯通性与发展性。本文通过对一道平面几何试题的多角度解析，总结出“一题多解”助推能力进阶的优化策略，即搭建学生思维支架、引发学生思维碰撞、推动学生自我反思。

关键词  一题多解；思维能力；思维优化策略

中图分类号  G633.6

文献标识码  A

文章编号  2095-5995（2023）08-0054-03

中学生具备强烈的求知欲，思维活跃，因此在中学阶段培养创新能力尤为关键。在中学阶段，数学课程作为一门抽象严谨的学科，发挥着培养学生创造性、发散性、深刻性思维，以及分析和解决问题能力的基础性作用。而解题教学中，采用“一题多解”的方法则显得尤为重要，这种方法鼓励学生深入思考，展现自己的思维方式。同时“一题多解”也可以促进学生智力开发、关键能力培养和学科核心素养发展等多方面的共同发展。

一、“一题多解”教学的特点

“一题多解”教学方法强调在解决数学问题时，可以从多个角度、多种方式进行思考和解答，以达到深刻理解和全面掌握问题的目的。其特点体现在以下三个方面：

（一）适切性

通常情况下，学生在数学问题解决时，为了激活发散思维，培养关键能力，积极探索和开展“一题多解”教学与学习活动是有必要的。虽然解题路径并非只有一条，但需要保证解题思维活动要有正确导向[1]。另外，“一题多解”方法并不意味着解题思维的无限制发散，而是要求学生在不同解法之间找到适当的平衡，虽然解题的路径可以有多条，但是这些解法都应当具有正确的导向。教师在教学过程中需要引导学生避免过度追求创新，而是要让学生掌握通用性的解题方法，然后在此基础上适度地引入其他易于理解的解法，以确保解题思维的发散与聚拢能够相互协调。这样，学生的知识掌握和应用可以形成一个良性循环。

（二）贯通性

“一题多解”方法要求学生从多个方面分析问题，捕捉关键信息，转化问题，然后从不同角度对信息进行加工与综合。有时候，在这个过程中，有时候可以发现多种解法之间的相通性，顾名思义，即不同的解法背后所蕴含的知识本质是相通的。这种相通性可以帮助学生建立一个由内而外渐进扩展的解法体系，使得解决一个问题能够帮助他们解决一类问题，较好地凸显出“一题多解”的贯通性。然而，捋清不同解法之间的相通性需要较高的思维能力，教师需要引导学生进行对比分析，找出解法之间的关联点。

（三）发展性

解决问题的方法和思路会随着知识的积累和经验的增长而发展演变。学生的知识面越广，他们在解题过程中可以发现更多的思路和方法。例如，学生初学代数后，遇到相关问题就只能用代数思路来解决，及至学了几何相关知识后，遇到代数问题时就能用数形结合的角度来解决，甚至能发散出更多新颖思路。然而，这并不意味着“一题多解”教学应该超前引入过于复杂的知识。该方法的核心是引导学生从已学知识中发现不同的解题途径，培养对知识本质的深刻理解，使他们能够逐步地提升解题的灵活性和创造性。

二、例析“一题多解”的思维发展过程

在数学解题教学中，不同的解题思路不仅体现了技巧层面的差异，更凸显了思维方式的差异。解题教学的重点在于通过培养解题能力，帮助学生巩固基础知识，并提升观察、联想、分析、概括等关键能力。这种能力提升进一步引导学生综合运用已有的认知经验，去发掘题目中隐含的结构特征，对已有的知识框架进行整合，拓展解题思路，逐步养成严谨思维和发散思维的习惯。

【例题】如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，∠CAE=45°，求BE的长度。

分析问题，不难发现，该题目中长方形的长宽比例恒为2∶1，并且能直观看出线段BE在直角三角形ABE中，那么如何利用好∠CAE=45°这一关键条件来求BE的长度是突破该题目的关键，具体剖析思路如下。

（一）多解分析

解法1：如图2所示，过点E作EF⊥AC于F，则△AEF为等腰直角三角形，设EF=t，则AF=t，由tan∠ACB=ABBC=EFCF=12，则CF=2t，则AC=32+62=35=3t，故t=5，

则EC=t2+（2t）2=5，所以BE=BC－CE=6－5=1。

解法2：如图3所示，延长AE至点G，使得CG⊥AG，则△AGC为等腰直角三角形，故CG=AG。作线段MN，使其过点G，构造一个新的矩形AMND，所以△AMG≌△GNC，设BM=x，则CN=MG=x，即GN=x+3，MN=BC=x+3+x=6，故x=32，由BEMG=BEx=ABAM=33+x，解得BE=1。

解法3：如图4所示，补全得到一个边长为6的正方形AJKD，延长KJ至点O，使得JO=CD，所以△ACD≌△AOJ，故∠2+∠BAE=∠1+∠BAE=45°，故△ACL≌△AOL，故JO=CD，设JL=x，则LK=6－x，LC=3+x，由LC2=LK2+CK2，得到（3+x）2=（6－x）2+32，即x=2，由BE∶JL=1∶2，即BE=1。

解法4：如圖5所示，以AC为边作正方形APQC，连接EP，过点E作EI⊥AP于I，作EH⊥PQ于H，可证得△AEP≌△AEC，设EI=x，则AI=x，PI=35－x，由S△AEP=S△AEC，得AP×EI=EC×AB，则EC=EP=5x，然而EP=x2+（35－x）2=5x，解得x=5，则AE=2x=10，因此BE=AE2－AB2=102－32=1。

解法5：如图6所示，取BC的中点为R，作RS⊥AC于S，由△SCR∽△BCA得SRBA=CRCA=335，即SR=355，则SC=655，SA=955，由∠EAR+∠BAE

=∠EAR+∠SAR=45°，故tan∠BAE=tan∠SAR=SRSA=13=BEAB，所以BE=1。

（二）思维过程剖析

上述五种解法均围绕∠CAE=45°，通过辅助线，构造出等腰三角形展开多角度求解。

实际上，该题目的解法远不止上述五种，例如解法1，也可以将点E作为直角定点，亦可以过点B向AC作垂线，构造等腰直角三角形，这种相似思路也可谓通性通法思维。考虑到BE在RtΔABE中，若能求得tan∠BAE，便能直接得到BE围绕这一思路，借助三角形相似或全等，构造长方形解法2，构造正方形解法4以及构造相等角解法5，根据比例关系求解BE。

若深入思考本题目背后蕴藏的本质，便可借助图形语言抽象刻画出45°的数学符号语言表达模型，如图7所示，∠1+∠2=45°，tan∠1=12，tan∠2=13。鉴于此，本文中的题目可以直接运用这条规律解题，便可获取一种新的速解方法：∠BAE+∠CAD=45°，而tan∠CAD=12，则tan∠BAE=13，即BEAB=13，所以BE=1。

三、优化“一题多解”教学策略以推进学生思维能力提升

（一）搭建学生思维框架

在进行“一题多解”教学时，教师应当采用一系列操作来构建思维框架。教师不应急于揭示具体解题思路和结果，而是应在与学生的互动中，采用渐进启发法，了解学生实际想法和观点。在此基础上，教师揭示潜在的思维难点，并设置问题框架，通过引导和教学的结合，逐步拆解这一框架。在这个过程中，教师可以根据学生的不同思考路径，深入思考与讨论，从而逐一得出不同的解题思路[2]。

（二）引发学生思维碰撞

在课堂教学中，学生不同的思维角度会相互碰撞和交叠，这种情况被称为思维碰撞[3]。创造富有思维碰撞氛围，有助于实现“一题多解”的效果。教师需要抓住契机，引导持不同观点的学生进行交流、互动和探究，培养挖掘试题隐含条件的能力。

（三）推动学生自我反思

在解题过程中，学生可能会遇到思维断层与割裂，导致解题过程碎片化。此外，学生可能在课堂上听懂了，但课后无法独立解决问题。这种现象被称为“懂而不会”。要克服这种思维障碍，学生需要进行自我反思，即在没有教师或同伴提示或引导的情况下，通过自我领悟和内省来解决问题[4]。

（郭俊楠，湖北华宜寄宿学校，武汉 430223；韦柳伶，广西民族大学数学与物理学院，南宁 530006）

参考文献：

[1]程华.从“一题多解”审思解题教学的思维培养[J].数学通报，2020（8）：50-54.

[2]卞恩艳，许彩娟.从一题多解例谈初中生数学思维的灵活性特点[J].中国数学教育，2012（5）：34-36.

[3]唐健.一题多解引领深度学习--一道多变量最值問题的7种解法[J].中学教研（数学），2022（5）：22-24.

[4]涂德佳，王童童.例说懂而不会与会而不懂现象的原因及对策[J].数学之友，2020（5）：60-61.

责任编辑：刘  源

读者热线：027-67863517