在计算教学中提高学生的推理能力

摘 要：推理能力的发展应该贯穿于整个数学学习过程。文章以“两位数退位减法”一课为例，从大胆猜想，推理验证；利用直观，启发说理；适当开展推理训练；培养良好的思维习惯四个方面阐述了如何在计算教学中提高小学生的推理能力。

关键词：计算教学；推理能力；退位减法

作者简介：胡艳艳（1988—），女，浙江省杭州市临平区天长世纪小学。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在培养学生数学核心素养方面提出了“三会”的概念，其中之一就是“会用数学的思维思考现实世界”。数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式，而数学思维在小学阶段主要体现在运算能力、推理意识或者推理能力上。课标还明确指出，让学生通过运算发展数学推理能力。由此可见，推理能力的发展在數学学习过程中十分重要。因此，教师在平时的教学中应注意有意识地培养学生的推理能力，帮助他们养成良好的思维习惯。

数与代数是义务教育阶段学生数学学习的重要领域［1］，“两位数退位减法”是人教版小学数学二年级上册的内容。在此之前，学生已经掌握了两位数加法和两位数不退位减法的笔算方法，明确了笔算的算理。但小学二年级学生还处在以具体形象思维为主的阶段，且课堂专注时间不长，所以教师在教学时应利用多媒体课件化抽象为具体，进行生动直观的教学活动，以调动学生的学习积极性。下面笔者将以“两位数退位减法”一课为例，探讨如何在计算教学中培养学生的推理能力。

一、大胆猜想，推理验证

波利亚在《数学与猜想》一书中提出，猜想是合情推理最普遍、最重要的思维方式，不完全归纳和类比都是得出猜想的途径，是得出猜想的前提方法［2］。教师在日常教学中应鼓励学生仔细观察，大胆猜想结果，并引导学生推理验证结果的正确性。例如，在教学两位数退位减法的知识时，笔者先引导学生自己尝试列式计算，课堂实录如下。

师：同学们，我们已经学习了不退位减法的笔算方法，大家能试着列出运用退位减法计算“51-36”的竖式吗？

生1： 生2：

师：我们一起来看一看这两位同学列的竖式，大家有什么想说的？

生3：第二个同学算错了。

师：哪里错了？

生4：得数算错了。

师：是的，我们一起来看一下，51-36，个位上应该是1减6，但是1减6不够减，我们该怎么办？

生5：向十位借1，个位上变成11减6。

师：是的，个位不够减时，要向十位借1。我们借位时，怎么做标记呢？

生6：在十位上写个“-1”。

师：你的想法非常有创意，但是这样容易跟我们之前学的“进位1”混淆，而且“-”比较容易漏看。所以为了跟“进位1”有所区分，我们可在十位上打个“借条”，就是在十位的数字上点一个小圆点，它的名字叫作退位点。十位上退下来的1，在个位就变成了10，加上原来个位上的1，现在个位就变成11了，11减6等于5（师一边讲解一边课件演示小棒图）。个位算好了，那十位呢？

生：十位被借走了1，现在还剩下4，4减3等于1。

学生从已有的知识经验出发，根据之前掌握的两位数加法竖式和两位数不退位减法竖式的格式，类比推理出退位减法该如何列式，再将两位数减一位数的计算思路直接迁移到两位数退位减法的笔算中，从而合情推理出“退位1”的观点。在这样的学习活动中，学生对旧知进行回顾，对新知进行大胆的猜想与推理，自主探究出了解决两位数退位减法的方法，不仅推理能力得到发展，而且学好数学的信心也有所增强。

二、利用直观，启发说理

教材在“两位数退位减法”一课中，设计了“2008年北京奥运会金牌榜”的情境（如图1）。从图中的表格可知，美国代表团获得36枚金牌，英国代表团获得19枚金牌，学生需要算出美国比英国多多少枚金牌。这道例题为教学提供了实际情景，使低年级的学生能从具体情况出发解决问题，并让学生体会到数学源于生活。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学知识，在整个数学学习过程中发挥着重要的作用。图1左下的小棒图直观地呈现了运算“36-19”的过程，能有效降低学生学习的难度，帮助学生理解算理。中间框中的竖式将直观的小棒图抽象成了数字，能让学生对照小棒图，理清计算的思路，使学生在笔算时，清楚运算顺序。当学生熟练掌握计算方法后，可以简化写成方框外的笔算形式。在考查学生是否真正明白“退位减法”竖式的计算原理时，教师可以请学生说一说笔算的算理。说理的过程，就是学生在脑中再进行一遍计算推理的过程。

［例题1］  50-24=

通过教材例题的学习，学生能基本掌握两位数退位减法的笔算方法。这时笔者出示例题1，引导学生思考当被减数个位是0时，该如何处理。学生思考后得出结论：从一般算式到特殊算式，两位数退位减法的算理同样适用。

［例题2］

在学生已经能对照竖式说清楚算理后，笔者进一步提高问题难度，出示一道有空格的竖式（例题2），让学生根据现有数位上的数字，运用合情推理和演绎推理，推算方框里的数字。在解答这道题时，学生根据笔算的顺序，从个位算起。个位上2-□=5，因为2比5小，学生推断此式为退位运算，故转换个位式子为12-□=5，得到方框中应填7；结合已有条件，再得到十位上的方框中应该填6。这样的变式练习，不仅能让学生更加清楚两位数退位减法的算理，而且能使他们更加关注“退位点”，了解它在计算中的重要性。

三、适当开展推理训练

在一年级的数学学习过程中，教材已经逐步渗透推理的思想。如一年级下册《找规律》中，要求学生根据图形的排列规律，写出下一个图形或者一组图形等。可见，推理是一种重要的数学思维方式。推理能力的形成和提高是一个长期的、循序渐进的过程［3］。在两位数退位减法的练习中，笔者适时适量开展了推理训练，以期提高学生的思维能力。课堂实录如下。

［例题3］找规律，填数。

（1）29 38 47    65    83

（2）42    28       7 0

师：这两道题目同学们能做出来吗？动脑筋思考一下它们各有什么规律，然后填一填。

生1：因为38-29=9，47-38=9，说明每个数都比其前一个数大9，那么47后面就应该是47+9=56，65后面是65+9=74，而74+9=83，说明填对了。

生2：第二组我们要先看最后面两个数，7-0=7，说明每个数要比前一个数字少7，42-7=35，35-7=28，28-7=21，21-7=14，14-7=7。这样就都对上了。

一年级时，学生已经接触了20以内数的找规律，因此笔者编排了两道题目，第一道涉及进位加法，第二道涉及退位减法，逐层递加难度，但解题思路是一样的。在找规律类型题中，学生可以通过自己的计算结果，反过来检查自己的推理是否正确。

［例题4］如下图（略），各题差的十位上是几？

教材在练习三中编排了一道“求各题得数的十位上是几”的题目，意在使学生根据个位上的数字，迅速地做出是否需要退位的判断，继而推理出十位上的数字。同时，学生体会到可以通过观察算式的特点，利用掌握的算理知识，提高计算速度。

［例题5］将竖式补充完整。

笔者参考教材中“做一做”的练习内容，设计了拓展练习题，意在使学生能及时巩固新知，掌握笔算的技巧。同时渗透验算的思想方法，在学生做完题目后，引导他们通过“减数+差=被减数”的公式，来检验计算结果是否正确。

［例题6］在“□”里填上合适的数。

接着，笔者設计了提升题。课堂实录如下。

师：请在空格中填上合适的数，并说一说你这样填的理由。

生解式1：2减8不够减，向十位借1当10，12-8等于4，故个位上的方框填4；十位上2+3=5，还要加上被借走的1，故填6。

生解式2：7-□=6，空格里填1，这里没有发生退位情况，所以2+3=5，十位上的空格填5。

生解式3：4-□=8，这里肯定不是4，应该是

14，14-6=8，所以个位的空格填6；十位上7+1=8，8再加1等于9，空格里填9。

生解式4：这道题有多种答案，可以是75-31= 44，也可以是82-38=44。

师：还有别的答案吗？

生1：78-34=44。

生2：80-36=44。

师：你们发现没有？有些同学在做这题时，算式发生了退位，有些同学没有考虑退位。所以，遇到这类题我们可以分两种情况来讨论，第一种情况是个位够减，没有发生退位；第二种情况是个位不够减，发生了退位。谁能有序地将所有情况都写出来？

生3：没有发生退位的情况有74-30=44，75-31=44，76-32=44，77-33=44，78-34=44，79-35=44；如果发生退位，则有80-36=44，81-37=44， 82-38=44，83-39=44。

这组提升练习题意在让学生通过适当的推理，灵活运用算理，寻找答案。最后一小题是一道开放式的练习题，可以是退位减法，也可以是不退位减法，有多种可能性。笔者引导学生有序思考，尽可能地把所有情况写出来。由于低年级学生的推理能力存在差异性［4］，通过一系列的分层练习，不同的学生都可以在推理能力方面得到良好的发展。

四、培养良好的思维习惯

在第一学段中，教师应注重培养学生的数学观察能力、动手操作能力和提出简单猜想的能力［5］。教师在教学过程中，应注意将数学问题与实际生活相联系，将数形结合，使学生根据“看”的结果，经历操作的过程，提出一些简单的猜想。

发展小学生的推理能力，就要提高学生有理有据地进行数学表达的能力。对于推理能力，我们要求的不仅是内在的、隐性的思维过程，也要求将内隐的思维过程转化为外在的、显性的推理表达过程与结果［6］。

例如，在教学两位数退位减法时，教师要注意用规范的、简洁的语言进行算理的表述。笔者在讲授教材例题的竖式时，先自己示范说理，然后让学生同桌两人互相说一说，再请个别学生站起来说一说，一定要在理解的基础上引导学生说，这样才能使其更好地内化知识。在进行之后的课堂练习时，教师也要提醒学生使用规范的数学语言进行说理。在说的过程中，学生能巩固算理，教师也能了解学生的思维过程，从而及时地、科学地调整教学。

结语

综上所述，在教学“两位数退位减法”时，不论是大胆猜想，推理验证；还是利用直观，启发说理；又或是适当地开展推理训练等，都是为了有效地创建学生推理能力发展的空间。学生的推理能力并不是一日形成的，需要教师在长期的教学过程中潜移默化地培养。教师在开展课堂教学时，应努力营造和构建有利于学生推理能力发展的教学环境，从而帮助学生形成理性精神［7］。

［参考文献］

闫龙敏.小学高年级数学教学中合情推理能力培养的问题与对策研究［D］.济南：山东师范大学，2019.

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