图论中“弧、圈、键”空间结合物理背景的教学设计

2023-10-12侯胜哲

科学咨询 2023年16期

侯胜哲

（吉林化工学院，吉林吉林 132022）

一、基尔霍夫电路相关教学背景及基本定义

基尔霍夫电路定律[1]包括电流定律KCL和电压定律KVL。电路中支路、顶点、回路可以抽象成数学图论中的弧，顶点，有向圈（旋转方向不一定一致）。D=(V(D),A(D))是一个有向图，V(D)是顶点集，A(D)是弧集。若H是G的边导出子图，GH表示G删除H中的边，树枝是指生成树T的弧，连枝为余树Tˉ=GT上的弧。

如果X,Y⊂A(D)，[X,Y]表示D的一个子集，且里面弧的端点一个在X中，另一个在Y中。当Xˉ=VX，则称S=[X,Y]为D的边割集。如果一个割集的任意真子集都不是割集，则该割集是极小的，称为键。

某一条支路aj的由专业人员实际测得的电流数值记为l°(aj)，如果该支路正电荷定向流动的方向与此支路aj上规定的参考方向相同，则令l(aj) =l°(aj);反之，则令l(aj) = -l°(aj)。l(aj)即为支路aj上的支路电流。记支路电流向量为I=I(D) =。

记一条支路aj的电流相对一个点的电流，即节点电流l(aj→vi) = sgn1(aj→vi) ⋅l(aj)，其中，j∈{1,…,|A(D)|},i∈{1,…,|V(D)|}。

如此便准确地定义了“实际电流”“图中参考方向的支路电流”“节点电流”。于是可以得到用数学符号语言表示的基尔霍夫电流定理：。

利用由专业人员实际测得出所有顶点的实际电势值φ°(vi)，任意选定一个顶点v1规定其电势为φ(v1) = 0，计算其他点相对电势φ(vi) =φ°(vi) -φ°(v1)。定义vi到vk的电压为u°(aj) =φ°(vi) -φ°(vk)，记，人为规定有向无环图D中电压的参考方向，一般电路图中用+极到-极表示（电源则相反），本文图1 恰也表示该电路电压的参考方向。如果a′j的方向与此支路aj上规定的参考方向相同，则令u(aj) =u°(aj)；如果a′j的方向与此支路aj上规定的参考方向相反，则令u(aj) = -u°(aj)。u(aj)即为支路aj上的支路电压。记支路电压向量为U=U(D) =。

图1 D1表示电流（压）方向

∀aj∈W，∃ay∈W，sgn2(aj→ay) =，j,y∈{1,…,|Arc(D)|}，定义弧上aj相对于ay的电压为u(aj→ay) = sgn2(aj→ay) ⋅u(aj)。

如此便较为准确地定义了 “相对电势”“两点之间的电压”“支路电压”，于是可以得到用数学符号语言表示的基尔霍夫电压定理：。

vi的结点电压为

二、有向图的关联矩阵、基本圈矩阵、基本键矩阵定义

有向简单图D的关联矩阵M=M(D) =(mij)是一个|V(D)|×|A(D)|矩阵，其中mij= 1，当弧aj离开点vi；mij= -1，当弧aj进入点vi；mij= 0，当弧aj与点vi不关联。如图1的邻接为

三、基尔霍夫定理与关联、基本圈、割集的关系

定理1：KCL方程用关联矩阵表示为。

证明：由KCL方程∑l( )aj→vi= 0，其中l(aj→vi) = sgn1(aj→vi) ⋅l(aj)，再由关联矩阵的定义知，关联矩阵M的每行乘以I就是该行对应的结点满足KCL方程，其中符号的对应关系为“mij= 1，当弧aj离开点vi”对应“符号函数sgn1(aj→vi) = 1，当aj上的电流离开vi结点”；“mij= -1，当弧aj进入点vi”对应“符号函数sgn1(aj→vi) = -1，当aj上的电流进入vi结点”。

例1：若支路电流为I(D1)=(2 7 9 4 3 6)⊤，可以验证M(D1)·I(D1)=(0 0 0 0)⊤。

定理2：KVL方程用圈矩阵表示为。

证明：由KVL方程，其中u(aj→ay) = sgn2(aj→ay) ⋅u(aj)，再由基本圈矩阵C=C(D) =(cyj)的定义知，由基本圈矩阵C的每行乘以U就是该行对应的圈上的支路电压KVL方程。其中符号的对应关系为“其中cyj= 1，当弧aj在圈Wy中且弧aj与连枝ay在Wy中旋转方向一致”对应“符号函数sgn2(aj→ay) = 1，当aj与ay同向；“当弧aj在圈Wy中且弧aj与连枝ay在圈Wy中旋转方向相反”对应“符号函数sgn2(aj→ay) = -1，当aj与ay反向”。

例3：由例1数据知，

定理5：KCL方程的用键矩阵表示为。

证明：实际上每一个键是把该树枝的一个端点与其他点分开（当两个端点都具备时选定一个），相当于在该点满足KCL方程。

例4：由例1数据可以验证

例6：由例2数据知