n阶圈图关联矩阵的特征值

莫贵圈

(贵州师范学院数学与大数据学院，贵州贵阳550018)

0 引言

图论是数学的一个分支，它是以图为研究对象，研究结点和边组成的图形的数学理论和方法。圈图是图论中的一类图形。目前，已有不少学者对圈图进行了研究，例如文献[1]分别讨论了圈外有0个顶点和t个顶点的单圈图关联矩阵的特征值，并证明了特征值完全反映了圈上的顶点个数和圈外的顶点个数；文献[2]研究了包含一个∞—图为其导出子图的一类双圈图匹配多项式的最大根的取值范围，以及达到极值的图；文献[3]研究了两类连通双圈图的最大特征值，得出了随着n的增大，双圈图Sn(3，3)和θn(3，3)的最大特征值也随之增大；文献[4]研究了给定阶数的k圈图的最大Laplace 分离度，并刻画了相应的极图。

图可以用集合来表示，也可以用矩阵来表示。用矩阵表示图便于用代数方法来研究图的性质，也便于用计算机来处理图。常用的图的矩阵表示有： 关联矩阵、邻接矩阵和可达矩阵。图的关联矩阵用来表示各个结点和每条边之间的关系，是描述一个图中结点与边关联性质的矩阵。关联矩阵也是学者们讨论的热点之一，例如文献[5]研究了关联矩阵的一些特殊性质；文献[6]研究了利用邻接矩阵和关联矩阵来判断无向图同构的方法；文献[7]介绍了邻接矩阵与关联矩阵在图论问题中的一些应用，解决了最大匹配、最小顶点覆盖、选址等问题；文献[8]重点研究了n阶无向圈图的关联矩阵的行列式和秩，以及n阶有向圈图的关联矩阵和邻接矩阵的行列式、秩等代数性质。

1 预备知识

定义1[9]137(1) 设G=〈V，E〉为n(n≥3)阶无向简单图，V={v1，v2，…，vn}，E={(v1，v2)，(v2，v3)，…，(vn-1，vn)，(vn，v1)}，则称G为n阶圈图，记作Cn.

(2) 设D=〈V，E〉为n(n≥2)阶为有向简单图，V={v1，v2，…，vn}，E={〈v1，v2〉，〈v2，v3〉，…，〈vn-1，vn〉，〈vn，v1〉}，则称D为n阶圈图，也可记作Cn.

定义2[9]144设无向图G=〈V，E〉，V={v1，v2，…，vn}，E={e1，e2，…，em}，令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)n×m为G的关联矩阵，记作M(G).

定义3[9]145设G=〈V，E〉为无环的有向图，V={v1，v2，…，vn}，令E={e1，e2，…，em}，令

则称(mij)n×m为G的关联矩阵，记作M(G).

定义4[9]146设有向图D=〈V，E〉，V={v1，v2，…，vn}，|E|=m，令aij(1)为顶点vi邻接到顶点vj的边的条数，称(aij(1))n×n为D的邻接矩阵，记作A(D).

HRCT与常规CT均可见IPF病患的肺部病灶呈弥漫分布，两肺下叶及胸膜下尤甚，其主要征象表现为：（1）胸膜增厚；（2）支气管扩张，呈柱状、囊状性扩张；（3）胸膜下线，其胸膜下10毫米内和胸膜平行、垂直的不均性线形影，尤以背段、外基底段及肺下叶后多见；（4）小叶肺气肿，其表现为小囊腔大量聚集，与蜂窝状相似，多见于下叶；（5）胸膜增厚，小叶间隔性不规则增厚，胸膜下的小叶内出现细网状或细线状影。

2 主要结果及证明

证明：因为Cn是n阶无向圈图，所以Cn的关联矩阵为：

则M(Cn)的特征多项式为：

|λE-M(Cn)|

=(λ-1)n+(-1)1+2n

=(λ-1)n-1

定理2 设Cn是n阶有向圈图，则Cn的关联矩阵M(Cn)的特征值分别为：

证明：因为Cn是n阶有向圈图，所以Cn的关联矩阵为：

|λE-M(Cn)|

=(λ-1)n+(-1)n+1.

证明：因为Cn是n阶有向圈图，所以Cn的邻接矩阵为：

则A(Cn)的特征多项式为：

|λE-A(Cn)|

=(-1)2n+1+λn

=λn-1

应用上面的定理3，可以证明下面的结论。

推论1 复数域上所有n次单位根的和为0.

证明：设Cn是n阶有向圈图，则Cn的邻接矩阵为：