例2 (2022年顺德区青年教师解题比赛第8题)过点P(1,m)(m∈R)有n条直线与函数f(x)=x·ex图象相切,当n取最大值时,m的取值范围为( ).
例3 (自编)已知函数f(x)=x3-x+1,过点A(0,1)作函数y=f(x)的切线,可做( )条.
A.1 B.2 C.3 D.无数条
分析:这三道例题都在考察曲线切线的条数,区别在于对应的函数不同,所涉及的点与函数的位置也不相同.那么它们有没有什么共性呢?经过笔者的不断尝试,发现切线的条数与函数的凹凸性与渐近线有关联.本文将研究过程展示如下,以飨读者.
二、函数凹凸性及相关性质
1.函数凹凸性的定义及判断方法
图1
图2
函数凹凸性的判断定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导,若在(a,b)内满足:(1)若f″(x)>0,则函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数;(2)若f″(x)<0,则函数y=f(x)在区间[a,b]上为凸函数[1].
2.与切线相关的性质
引理2 函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,对任意x0∈(a,b),设函数y=f(x)在x0处的切线为lx0,设直线lx0与函数y=f(x)在b处的切线lb的交点为A(xA,yA),则有xA引理3 函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,对任意x0∈(a,b),设函数y=f(x)在x0处的切线为lx0,设直线lx0与函数y=f(x)在b处的切线lb的交点为A(xA,yA),则xA的值随x0的变化而变化.
证明:假设存在x1∈(a,b),x2∈(a,b)且x1引理4 函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,对任意x0∈(a,b),设函数y=f(x)在x0处的切线为lx0,设直线lx0与函数y=f(x)在a处的切线la的交点为B(xB,yB),则有xB>a,且xB的值随x0的变化而变化.
证明同上,此略.
现讨论切线问题,如图3,函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,函数y=f(x)在a,b处的切线la,lb以及函数y=f(x)本身将平面区域分成A,B,C,D,E.设函数y=f(x)在x0处的切线为lx0,显然可知直线lx0不经过区域C和E.
图3
引理5 函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,对任意x0∈(a,b),设函数y=f(x)在x0处的切线为lx0,设直线lx0与切线la,lb的交点为B(xB,yB),A(xA,yA),则线段AB⊆区域A中.
证明:设直线lx0与切线lb的交点为A(xA,yA),因为函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,所以lx0的斜率小于lb的斜率,所以线段AB位于曲线y=f(x)的下方且位于lb的上方;同理可知线段AB位于曲线y=f(x)的下方且位于la的上方,综上即可得引理成立.
引理6 函数y=f(x)在区间[a,b]上为凹函数,对任意x1∈(a,b),x2∈(a,b)且x1证明:结合上述引理2以及引理5即可得结论成立,过程略.
由此可得到关于切线条数的相关结论:
定理1 当点M∈区域C或区域E时,过点M作函数y=f(x)的切线有0条.
定理2 当点M∈区域B或区域D时,过点M作函数y=f(x)的切线有且仅有1条.
证明:假设在区域点M∈区域B或区域D时,过点M可作2条函数y=f(x)的切线.与上述引理6相矛盾.
定理3 当点M∈区域A时,过点M作函数y=f(x)的切线有且仅有2条.
证明:如图4,因为函数y=f(x)的连续性,当点M∈区域A时,至少存在一条切线lx0(切点的横坐标为x0).设该切线与la,lb的交点为P,Q.根据引理5可知PQ⊆区域A.
图4
显然函数y=f(x)在[x0,b]上也是凹函数,根据引理4,存在唯一x3∈(x0,b),使得函数y=f(x)在x3的切线经过点M.
综上可知,过点M作函数y=f(x)的切线至少有2条,而在[a,x0)内,根据引理2,在任意一点的切线与lx0的交点的横坐标都小于x0.综上可知原命题成立.
当函数为凸函数时,可模仿上面的过程得到相关的结论,过程略.对于渐进性而言,可理解为无穷远处的切线.
三、实例分析
对于例1,已知函数f(x)=ex为凹函数,y=0是该函数的渐近线,利用函数f(x)=ex与y=0可将原函数分成如图5所示的三个区域.利用上述结论可知,当点(a,b)∈区域A,没有切线;当点(a,b)∈区域B时,有2条切线;当点(a,b)∈区域C时,有1条切线.故选D.
图5
图6
对于例3,点A(0,1)恰好为函数y=f(x)的拐点,过该点仅有1条直线与原函数相切.故选A.