基于深度学习的单元复习课教学设计*——以人教A版选择性必修第二册第四章“数列”为例

广东省广州市第九十七中学 (510260) 徐进勇

关于深度学习的内涵,国内外有很多界定,喻平教授认为有几点是相对统一的．(1)深度理解．即学习者对知识本质的理解,对事物或知识意义的理解及对自我生命意义的理解．(2)高阶思维．即学习者在知识建构、问题解决的过程中,要有多种思维形式介入以及元认知的参与．(3)知识迁移．学习者能将一个学科习得知识或方法迁移到另一学科情境或现实情境中去解决问题．(4)实践创新．即学生的问题解决能力、迁移能力和创新能力在学习中能够得到发展[1]．

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》在教学建议中强调:“教学要整体把握教学内容,把握数学知识的本质,理解数学知识产生与发展过程中所蕴含的数学思想,在此基础上,探索通过什么样的途径能够引发学生思考,让学生在掌握知识技能的同时,感悟知识的本质,实现教育价值”[2].章建跃博士认为站在“一般观念”的视角审视数学知识,超越碎片化的知识观,追求数学的整体性,自然生成的就是单元教学．指出单元教学主要特征体现在(1)整体性．基于整体思维的教学设计方式,纵览全局,从整体上掌握数学学习内容,从结构上更好地把握数学知识的整体性．(2)层次性与有序性．强调从单元到课时,先进行单元教学设计,再将本单元内容按知识的发生发展过程、学生的认知过程分解到课时．(3)系统性．同一单元的数学教学内容相对完整,能构成一个相对独立的知识系统和逻辑关系,有助力学生的系统思维发展．单元教学的实施要按“总—分—总”的形式展开,前一个“总”常常以章引言展开,后一个“总”往往是以单元复习课结束．单元复习课对单元的回顾、总结、整合、联系、拓展、升华具有重要意义,是单元教学必不可缺少的重要环节．下面以人教A版选择性必修第二册“数列”为例,基于深度学习的内涵构建单元复习课,促进学生数学核心素养的形成与发展．

1 梳理数列的学习路径,深度理解数列概念,形成“一般观念”

问题1 数列单元主要学习了哪些内容?这些内容是按怎样的逻辑展开的?又是如何研究的?

预设:数列的内容与已学的函数有相似之处,既包括一般数列,又包括特殊数列,因此数列内容的编排采用了与函数相似的框架,这也是研究一个数学对象的基本路径,即数列的事实—数列概念的定义、表示—性质—等差数列与等比数列．等差数列与等比数列的研究,也都采用了与研究基本初等函数类似的路径,即“事实—概念—性质—应用”．等比数列与等差数列在研究思路和方法上有很强的可类比性,都是通过发现取值规律获得定义,通过与相应函数类比探索性质,通过运算、代数变换等一般性的方法解决相关问题等,突出“递推关系—通项公式—求和公式—实际问题”的研究路径,具体如图1．

图1

设计意图：梳理数列的研究内容、研究路径、研究方法与研究视角,形成“数列”这一数学对象的研究套路．让学生形成用“数列”的眼光的看待问题,用“数列”的思维思考问题,用“数列”的语言表达问题的意识与能力,实现“四基”的落实与“四能”的提升．

2 以“一般观念”为指导,创新问题解决,形成高阶思维

教材中章头图(如图2)的背景是辽阔而波涛汹涌的大海以及远处的灯塔,象征着数学的悠久文化与历史传承,数学是指引人类文明进步的“灯塔”．沙滩上画“三角形数”、“四边形数”、“五边形数”传说是古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在海滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,并通过摆成的某些形状来研究数的规律．

图2

问题2 你发现“三角形数”、“四边形数”、“五边形数”分别是多少?

预设:通过观察可得到三角形数1,3,6,10,…,四边形数1,4,9,16,…,五边形数1,5,12,22,….

问题3 按照数列的研究套路,从运算的角度你能发现项与项间存在怎样的关系?

预设:三角形数满足an+1-an=n+1;四边形数满足an+1-an=2n+1;五边形数满足an+1-an=3n+1．

问题4 你能由递推关系求出通项公式吗?

问题5 你能求它们的和吗?

预设:可利用分组求和法,但我不知道12+22+32+…+n2=?

图3

图4

预设:1+3+5+…+(2n-1)=n2.

问题7 如果我们把三角形数中的点扩大到一个小圆圈,再在每个小圆圈按规律填上数字:第1行填1,第2行都填2,…,第n行都填n(如图5(a)),这个三角形所有小圆圈的数字和怎样表示?

图5(a) 图5(b)

图5(c) 图5(d)

预设:1+2×2+3×3+…+n×n=12+22+32+…+n2.

问题8 将这个三角形按顺时针方向旋转120°得到第二个三角形(如图5(b));再将这第二个三角形按顺时针方向旋转120°得到第三个三角形(如图5(c)),将这三个三角形对应位置的小圆圈里的数相加,得到第四个三角形(如图5(d)),则第四个三角形中所有数字之和是多少呢?

设计意图：依据等差、等比数列的研究思路,回归对章头图的研究,一方面让学生经历以“一般观念”为引导的探究式学习,体会“研究套路不变,思想方法不变”,逐步掌握解决数学问题的那个“相似的方法”,同时从相邻两项差为常数转变为相邻两项差是一个变量,实现了高阶思维的跃进,体现方法的高通路迁移;另一方面,教师提供的新材料,也是对“数形理论”拓展,使学生对章头图的涵义有深度理解,彰显数学文化内涵的同时,拓宽了学生视野,培养学生实践创新,过程中有具体形象思维、抽象逻辑思维介入以及元认知的参与,提高了学生的数学直观与数学推理能力．

3 探索一般数列解决方案,形成通性通法,实现知识迁移

等差数列与等比数列是数列中两种特殊数列,高中阶段只学习这两种数列,如何把一般数列转化到这两种数列中去,并通过等差数列、等比数列的通项公式与求和公式解决问题也本单元学习的一个重点和难点.

教材“4.3等比数列”例12:某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头牛,设牧场从今年起每年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,….(1)写出一个递推公式,表示cn+1与cn之间的关系;(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式,其中k,r为常数;(3)求S10=c1+c2+c3,…+c10的值(精确到1)．

问题9 例题向我们说明怎样的解题思路,对你有何启发?

预设:将cn+1=1.08cn-100转化为一个等比数列,体现将一般数列通过变形转化为等差或等比数列．

追问:上述问题的转化方法具有一般性吗?即形如an+1=pan+q(其中p,q为常数),如何求其通项公式．

变式方向一:将常数q变为关于n为变量的代数式．

题1 若数列{an}满足a1=1,an+1=2an+n-1,如何求{an}的通项公式．

分析:由an+1=2an+n-1得an+1+(n+1)=2(an+n),所以{an+n}是等比数列．

题2 若数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2n,如何求{an}的通项公式．

题3 若数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2n,如何求{an}的通项公式

变式方向二:两项间递推关系变为三项间递推关系．

题1 若数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2-2an+1+an=2,如何求{an}的通项公式．

分析:由an+2-2an+1+an=2得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,所以数列{an+1-an}是等差数列．

题2 斐波那契数列{an},a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,如何求{an}的通项公式．

设计意图：从特殊到一般,从常量到变量,从二项到三项,实施“形”与“质”的变化,提高学生的应用迁移能力,发展了学生的高阶思维,使学生对“变形”的目标、策略有清晰的理解．整个过程有利于学生形成对数列的完整认识与本质理解,体会知识的发展过程与相互联系,体现思想的一致性与方法的普适性,学生的“四能”得到发展．

4 用“数列模型”解决综合问题,实践应用中文化育人

随着高科技与信息技术的发展,数学在自然科学、工程技术领域发挥着越来越重要的作用．在用数学方法解决科技和生产领域问题的过程中,关键的一步是建立研究对象的数学模型并计算求解,因此数学建模已成为现代科技工作者必备的重要能力之一．

例题(2019年全国统一高考数学理科试卷新课标Ⅰ第21改编)为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验．试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．现甲、乙两种药的治愈率分别为0.5和0.8．若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,并且有5pi=4pi-1+pi+1(i=1,2,…,7)．请求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

预设:由5pi=4pi-1+pi+1(i=1,2,…,7)整理可得pi+1-pi=4(pi-pi-1),∴{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是以p1-p0为首项,4为公比的等比数列,得pi+1-pi=(p1-p0)·4i=p1·4i,∴p8-p7=p1·47,p7-p6=p1·46,…,p1-p0=p1·40.

设计意图：通过实例让学生体会用数学语言表达现实世界,以高考题为例,更有说服力．一方面向学生说明高考数学题的命题趋势,即提高利用数学知识解决跨学科问题或现实问题,要有较强的迁移能力与建模应用能力．另一方面也能让学生体会数学的“善”—服务于生活,服务于社会及人类的应用价值;欣赏数学的“美”—“掩盖不住冰冷美丽下火热的思考”;崇尚数学的“真”—震撼于数学的理性精神,这一切终将迁移、升华,并内化为学生自身的思维品质与科学素养．

所以,单元复习课的设计要站在知识整体的高度,在整体视角下确定目标、设计情境、把握内容、选择方法、实现应用,要突出联系、迁移与创新,使学习成为一种有生命的意义建构,以达到彻底解决问题和情感的满足,方能实现深度学习的目标,最终让数学核心素养落地．